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1、-直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 上一节上一节,我们把向量从平面推行到空间我们把向量从平面推行到空间,并并利用空间向量处理了一些立体几何问题利用空间向量处理了一些立体几何问题.本节本节我们进一步学习立体几何中的向量方法我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研讨的根本对象是点、直线、平立体几何研讨的根本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形面以及由它们组成的空间图形.为了用空间向为了用空间向量处理立体几何问题量处理立体几何问题,首先必需把点、直线、首先必需把点、直线、平面的位置用向量表示出来平面的位置用向量表示
2、出来.思索如何确定一个点在空如何确定一个点在空间的位置的位置? ?在空在空间中中给一个一个定点定点A A和一个定方向和一个定方向( (向量向量),),能确定一条直能确定一条直线在空在空间的位置的位置吗? ?给一个定点和两个定方向一个定点和两个定方向( (向量向量),),能能确定一个平面在空确定一个平面在空间的位置的位置吗? ?给一个定点和一一个定点和一个定方向个定方向( (向量向量),),能确定一个平面在空能确定一个平面在空间的位置的位置吗? ?AP1、点的位置向量、点的位置向量ABP2、直线的方向向量、直线的方向向量这样这样,点点A和向量和向量 不仅可以不仅可以确定直线确定直线l的位置的位置
3、,还可以详还可以详细表示出细表示出l上的恣意一点上的恣意一点.obaP3、平面的法向量、平面的法向量这样这样,点点O与向量与向量不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位置的位置,还可以详细还可以详细表示出表示出 内的恣意一内的恣意一点点法向量：假法向量：假设表表示向量示向量a的有向的有向线段所在直段所在直线垂直垂直于平面于平面，那么称，那么称这个向量垂直于个向量垂直于平面平面，记作作a，假，假设a ，那，那么向量么向量a叫做平面叫做平面的法向量的法向量la类似于直线的方向向量，还可以用平面的类似于直线的方向向量，还可以用平面的法向量表示空间中平面的位置法向量表示空间中平面的位置问题：法向量如何确
4、定平面的位置？：法向量如何确定平面的位置？A给定一点定一点A和一个向量和一个向量a,那么，那么，过点点A,以向以向量量a为法向量的平面是完全确定的。法向量的平面是完全确定的。由于方向向量与法向量可以确定直由于方向向量与法向量可以确定直线和平面的和平面的位置，所以我位置，所以我们可以利用直可以利用直线的方向向量与平的方向向量与平面的法向量表示空面的法向量表示空间直直线、平面、平面间的平行、垂的平行、垂直、直、夹角等位置关系。角等位置关系。4、法向量的运用、法向量的运用例例1 (1)设 分分别是直是直线 的方向向量的方向向量,根据以下根据以下条件判条件判别 与与 的位置关系的位置关系: 分析分析:
5、直线方向向量与直线位置关系直线方向向量与直线位置关系,据此可判别两直线的位置关系据此可判别两直线的位置关系平行平行垂直垂直相交或异面相交或异面例例1 (2)设 分分别是平面是平面 的法向量的法向量,根据以下条件根据以下条件判判别 与与 的位置关系的位置关系: 分析分析:平面法向量与两平面位置关系平面法向量与两平面位置关系,据此可判别两平面的位置关系据此可判别两平面的位置关系垂直垂直平行平行相交相交(不垂直不垂直)分析分析:直线方向向量与平面法向量关系和直直线方向向量与平面法向量关系和直线与平面位置关系线与平面位置关系,据此可判别直线和平面的位置关系据此可判别直线和平面的位置关系例例1 (3)设
6、 是平面是平面 的法向量的法向量, 是直是直线 的方向向的方向向量量,根据以下条件判根据以下条件判别 与与 的位置关系的位置关系: 垂直垂直相交相交(斜交斜交)例例2 知平面知平面 经过三点经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0),试求平面试求平面 的一个法向量的一个法向量.解解: A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0)设平面平面 的法向量是的法向量是依依题意意,有有 ,即即 解得解得z=0且且x=2y,令令y=1,那么那么x=2平面平面 的一个法向量是的一个法向量是例例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直一条直线与一个平面内两条相交直线
7、都垂直,那么该直线与此平面垂直那么该直线与此平面垂直.知知:直直线m,n是平面是平面 内的恣意两条相交直内的恣意两条相交直线,且且lm,l n.求求证:l 证明明:设直直线l,m,n的方向向量分的方向向量分别为由于由于lm,l n,所以所以 同理同理由于由于m,n ,且且m,n相交相交,所以所以 内任不断内任不断线的方向向量的方向向量 可以表示可以表示为 由于由于所以所以 与与 内任不断内任不断线垂直垂直. 因此因此 小结小结1.直线的方向向量和平面的法向量是用空直线的方向向量和平面的法向量是用空间向量处理立体几何问题的两个重要工间向量处理立体几何问题的两个重要工具具,是实现空间问题的向量方法的媒介是实现空间问题的向量方法的媒介.2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的要熟练掌握用直线的方向向量和平面的法向量来研讨直线、平面之间关系的原法向量来研讨直线、平面之间关系的原理与方法理与方法,特别是直线、平面的位置关系特别是直线、平面的位置关系与方向向量、法向量之间的联络与方向向量、法向量之间的联络.P104 练习 1 2P111 习题3.2 2 作业作业
