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1、第五章第五章 随机时间序列分析模型随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性一、时间序列模型的基本概念及其适用性二二、随机时间序列模型的平稳性条件随机时间序列模型的平稳性条件三三、随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的识别四四、随机时间序列模型的估计随机时间序列模型的估计五五、随机时间序列模型的检验随机时间序列模型的检验经典计量经济学模型与时间序列模型经典计量经济学模型与时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列确定性时间序列模型与随机性时间序列模型模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性一、时间序列模型的基本概念及其适用性（一）时间序列模型的基本概念（一）时间序列模型的基
2、本概念 随随机机时时间间序序列列模模型型（time series modeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题： (1)模型的具体形式模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期时序变量的滞后期 (3)随机扰动项的结构随机扰动项的结构 例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ t =t），模型将是一个1阶自回归过程阶自回归过程AR(1)： Xt=Xt-1+ t这里， t特指一白噪声一白噪声。 一般的p阶自回归过程阶自回归过程AR(
3、p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯纯AR(p)过过程程（pure AR(p) process），记为 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（移动平均（moving average）过程过程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式给出了一个纯纯MA(q)过过程程（pure MA(p) process）。 将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动自回归移动平均（平均（
4、autoregressive moving average）过程过程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 该式表明：该式表明：（1）一一个个随随机机时时间间序序列列可可以以通通过过一一个个自自回回归归移移动动平平均均过过程程生生成成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如如果果该该序序列列是是平平稳稳的的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那那么么就就可可以以通通过过该该序序列列过过去去的的行行为为来来预预测未来。测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。 经典回归模
5、型的问题：经典回归模型的问题： 迄迄今今为为止止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（结构式模型（structural model）。 然然而而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。 有有时时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难
6、，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。（二）时间序列分析模型的适用性（二）时间序列分析模型的适用性 例例如如，时时间间序序列列过过去去是是否否有有明明显显的的增增长长趋趋势势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？ 或者时时间间序序列列显显示示出出循循环环周周期期性性行行为为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？ 随随机机时时间间序序列列分分析析模模型型，就就是是要要通通过过序序列列过过去去的的变变化化特征来预测未来的变化趋势特征来预测未来的变化趋势。 使用时间序列分析模型的另一个原因在于使用时间序列分析模型的另一个原因在于： 如果
7、经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。 在这些情况下，采用另一条预测途径在这些情况下，采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。 例如，例如，对于如下最简单的宏观经济模型： 这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。 Ct与与Yt作作为为内内生生变变量量，它它们们的的运运动动是是由由作作为为外外生生变变量量的的投投资资It的的运运动动及及随随机机扰扰动动项项 t的的变变化化决决定定的。的。上述模型可作变形如下： 两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成
8、一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。 如如果果It是是一一个个白白噪噪声声，则消费序列Ct就成为一个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。二、随机时间序列模型的平稳性条件二、随机时间序列模型的平稳性条件 自回归移动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析模型的普遍形式，自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）是它的特殊情况。 关于这几类模型的研究，是时时间间序序列列分分析析的的重重点点内内容容：主要包括主要包括模型的平稳性分析模型的平稳性分析、模型的识别模型的识别和和模型的估计模型
9、的估计。 （一）一）AR(pAR(p) )模型的平稳性条件模型的平稳性条件 随随机机时时间间序序列列模模型型的的平平稳稳性性，可可通通过过它它所所生生成成的的随随机机时时间间序列的平稳性来判断序列的平稳性来判断。 如如果果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的， 否则否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*)引入滞后算子（滞后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p(*)式变换为 (1-1L- 2L2
10、-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2-pLp),则称多项式方程 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0为AR(p)的特征方程特征方程(characteristic equation)(characteristic equation)。 可以证明，可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于（根的模大于1 1），则），则AR(p)AR(p)模型是平稳的。模型是平稳的。 例例5.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差由于Xt仅与t相关，因此，E(Xt-1t)=0。如果该模型稳
11、定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 |1。 而AR(1)的特征方程的根为 z=1/ AR(1)稳定，即 | 1，意味着特征根大于1。例例5.2 AR(2)模型的平稳性。 对AR(2)模型 方程两边同乘以Xt，再取期望得： 又由于于是 同样地，由原式还可得到于是方差为 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+21, 2-11, |2|1这就是AR(2)的平稳性条件的平稳性条件，或称为平稳域平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 对应的特征方程1-1z-2z2=0 的两个根z1、z2
12、满足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2 AR(2)模型解出1，2由AR(2)的平稳性，|2|=1/|z1|z2|1，有于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同样的结果。 对高阶自回模型对高阶自回模型AR(p)来说来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： (1)AR(p)模型稳定的必要条件是模型稳定的必要条件是： 1+2+p1 (2)(2)由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模模型稳定的充分条件是：型稳定的充分条件是： |1|+|2|+|p|1 对于移动平均
13、模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一个白噪声，于是 （二）（二）MA(q)模型的平稳性模型的平稳性 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的有限阶移动平均模型总是平稳的。 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q （三）（三）ARMA(p,q)模型的平稳性模型的平稳性 而而MA(q)模型总是平稳的，因此模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平模型的平稳性取决于稳性取决于AR
14、(p)部分的平稳性。部分的平稳性。 当当AR(p)部分平稳时，则该部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，模型是平稳的，否则，不是平稳的。否则，不是平稳的。 最后最后 （1 1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机）一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；过程或模型； （2 2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方）一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。应的平稳随机过程或模型。 因此，因此，如果我们将一个非平稳时间序列
15、通过如果我们将一个非平稳时间序列通过d d次差分，将次差分，将它变为平稳的，然后用一个平稳的它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作为它的模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移自回归单整移动平均（动平均（autoregressive integrated moving averageautoregressive integrated moving average）时时间序列，记为间序列，记为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。 例如，例如，一个一个ARIMA(2,1,2)ARIMA(
16、2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作为它的生成模模型作为它的生成模型的。型的。 当然，当然，一个一个ARIMA(p,0,0)ARIMA(p,0,0)过程表示了一个纯过程表示了一个纯AR(p)AR(p)平稳过平稳过程；一个程；一个ARIMA(0,0,q)ARIMA(0,0,q)表示一个纯表示一个纯MA(q)MA(q)平稳过程。平稳过程。三、随机时间序列模型的识别三、随机时间序列模型的识别 所所谓谓随随机机时时间间序序列列模模型型的的识识别别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找
17、出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。 所所使使用用的的工工具具主要是时间序列的自自相相关关函函数数（autocorrelation function，ACF）及偏偏自自相相关关函函数数（partial autocorrelation function， PACF ）。 （一）一）AR(pAR(p) )过程过程 1.1.自相关函数自相关函数ACFACF 1阶自回归模型阶自回归模型AR(1) Xt=Xt-1+ t 的k阶滞后自协方差自协方差为：=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数自相关函数为 =1,2, 由由AR(1)的稳定
18、性知的稳定性知| | |1，因此，因此，k k时，呈指数时，呈指数形衰减，直到零形衰减，直到零。这种现象称为拖尾拖尾或称AR(1)有无穷记有无穷记忆忆（infinite memory）。 注意注意， 0时，呈振荡衰减状。 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1, 2分别为阶自回归模型阶自回归模型AR(2) 类似地,可写出一般的一般的k期滞后自协方差期滞后自协方差： (K=2,3,)于是,AR(2)的k 阶自相关函数阶自相关函数为： (K=2,3,)其中 :1=1/(1-2), 0=1如果如果AR(2)AR(2)稳定，则由稳定，则由 1 1+ + 2
19、211知知| | k k| |衰减趋于零，呈拖尾衰减趋于零，呈拖尾状。状。至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的实虚性，特征根的实虚性，若为实根，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。 一般地，p阶自回归模型阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + tk期滞后协方差为: 从而有自相关函数 : 可见，无论无论k k有多大，有多大， k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后阶滞后的自相关函数有关的自相关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾状。 如果如果AR(p)AR
20、(p)是稳定的，则是稳定的，则| | k k| |递减且趋于零递减且趋于零。 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数偏自相关系数为零。 AR(p)的一个主要特征是的一个主要特征是:kp时，时， k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即即 k*在在p以后是截尾的。以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则：若若XtXt的的偏偏自自相相关关函函数数在在p p以以后后截截尾尾，即即kp时时， k*=0=0，而而它它的的自自相相关关函函数数 k是是拖拖尾尾的的，则则此此序序列列是是自自回回归归AR
21、(p)AR(p)序序列。列。 在实际识别时，由于样本偏自相关函数rk*是总体偏自相关函数k*的一个估计，由于样本的随机性，当kp时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kp时，rk*服从如下渐近正态分布: rk*N(0,1/n)式中n表示样本容量。 因此，如果计算的rk*满足 需指出的是需指出的是，我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截尾。 对MA(1)过程 （二）MA(qMA(q) )过程过程 可容易地写出它的自协方差系数自协方差系数： 于是，MA(1)过程的自相关函数自相关函数为：可见，当当k1时，时， k k0，即，即Xt与与Xt-k不相关，不相关，MA(1)M
22、A(1)自自相关函数是截尾的。相关函数是截尾的。 MA(1)过程可以等价地写成过程可以等价地写成 t t关于无穷序列关于无穷序列X Xt t，X Xt-1t-1，的线性组合的形式：的线性组合的形式：或（*） (*)是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。的。 注意注意: : (*)式只有当|1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。 因此，我们把把| | |1|q时， Xt与与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当当kq时，时， k k=0是是MA(q)
23、的一个特征的一个特征。 于是：可可以以根根据据自自相相关关系系数数是是否否从从某某一一点点开开始始一一直直为为0 0来判断来判断MA(q)MA(q)模型的阶。模型的阶。 与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。 MA(q)模型的识别规则：模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾，若随机序列的自相关函数截尾，即自即自q q以后，以后， k k=0=0（ kqkq）；）；而它的偏自相关函数是拖尾的，而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均则此序列是滑动平均MA(q)MA(q)序列。序列。 同样需要注意的是同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数r
24、k是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当kq时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kq时，rk服从如下渐近正态分布: rkN(0,1/n)式中n表示样本容量。 因此，如果计算的如果计算的r rk k满足：满足：我们就有就有95.5%95.5%的把握判断原时间序列在的把握判断原时间序列在q q之后截尾之后截尾。 ARMA(p,q)的自相关函数的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。 当当p=0时，它具有截尾性质时，它具有截尾性质； 当当q=0时，它具有拖尾性质；时，它具有拖尾性质； 当当p、q都不为都不为0时，它具有拖尾性质时，它
25、具有拖尾性质 从识别上看，通常：从识别上看，通常： ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（过程的偏自相关函数（PACF）可能在可能在p阶滞阶滞后前有几项明显的尖柱（后前有几项明显的尖柱（spikes），），但从但从p阶滞后项开始逐渐阶滞后项开始逐渐趋向于零；趋向于零； 而而它的自相关函数（它的自相关函数（ACF）则是在则是在q阶滞后前有几项明显阶滞后前有几项明显的尖柱，从的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。阶滞后项开始逐渐趋向于零。 （三）（三）ARMA(pARMA(p, q), q)过程过程 表表5.1 ARMA(p,q)模型的模型的ACF与与PACF理论模式理论模式 模型 ACF PAC
26、F 白噪声 0=kr 0*=kr AR(p) 衰减趋于零（几何型或振荡型） P阶后截尾：0*=kr，kp MA(q) q阶后截尾：，0=kr，kq 衰减趋于零（几何型或振荡型） ARMA(p,q) q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） 图图4.2 ARMA(p,q)模型的模型的ACF与与PACF理论模式理论模式 ACF PACF 模型模型1： tttXXe+=-17 . 00.00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1四、随机时间序列模型的估计四、随机时间序列模型的估计 AR(p)、MA(q)、A
27、RMA(p,q)模型的估计方法较多，大大体上分为体上分为3类：类： （1）最小二乘估计；）最小二乘估计； （2）矩估计；）矩估计； （3）利用自相关函数的直接估计）利用自相关函数的直接估计。 下面有选择地加以介绍。结构阶数模型识别确定估计参数（一）（一）AR(pAR(p) )模型的模型的Yule WalkerYule Walker方程估计方程估计 在AR(p)模型的识别中，曾得到 利用k=-k，得到如下方程组： 此方程组被称为此方程组被称为Yule Walker方程组方程组。该方程组建该方程组建立了立了AR(p)AR(p)模型的模型参数模型的模型参数 1 1, , 2 2, , , p p与自
28、相关函数与自相关函数 1 1, , 2 2, , , p p的关系，的关系， 利利用用实实际际时时间间序序列列提提供供的的信信息息，首首先先求求得得自自相相关关函函数数的的估计值估计值 然后然后利用利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计方程组，求解模型参数的估计值值由于 于是 从而可得 2 2的估计值的估计值 在具体计算时，可用样本自相关函数rk替代。（二）（二）MA(qMA(q) )模型的矩估计模型的矩估计 将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到： 首先首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一个包含(q+1)个待估参数 (*)的非线性方程组，可以用直接法直接
29、法或迭代法迭代法求解。 常常用用的的迭迭代代方方法法有有线线性性迭迭代代法法和和Newton-Raphsan迭代法迭代法。 1.MA(1)1.MA(1)模型的直接算法模型的直接算法 对于MA(1)模型，（*）式相应地写成于是 或有于是有解 由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件|1|1的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参数： 由（*）式得 第一步第一步，给出的一组初值，比如代入（*）式，计算出第一次迭代值 （*） 第二步第二步，将第一次迭代值代入（*）式，计算出第二次迭代值 按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与第m-1步的迭代值相差不大时（满足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代结果
30、作为（*）的近似解。 （三）（三）ARMA(p,qARMA(p,q) )模型的矩估计模型的矩估计 在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数1,2,p与1,2,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下： 第一步第一步，估计1,2,p 是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk代替。 第二步，第二步，改写模型，求1,2,q以及2的估计值 将模型 改写为： 令 于是(*)可以写成： (*) 构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到1,2,q以及2的估计值。 （四）（四）AR(pAR(p) )的最小二乘估计的最小二乘估计 假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有 残差的平
31、方和为： (*) 根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是下列方程组的解： 即 j=1,2,p (*) 解该方程组，就可得到待估参数的估计值。 为了与AR(p)模型的Yule Walker方程估计进行比较，将(*)改写成： j=1,2,p由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值 代入，上式表示的方程组即为： 或 j=1,2,pj=1,2,p解该方程组，得到： 即为参数的最小二乘估计。 Yule Walker方程组的解比较发现，当n足够大时，二者是相似的。 2的估计值为： 需要说明的是，需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，论中，ARMA(p
32、,q)模型中均未包含常数项。模型中均未包含常数项。 如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。 对含有常数项的模型 方程两边同减/(1-1-p)，则可得到 其中五、模型的检验五、模型的检验 由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。 如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪如果通过所
33、估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。 在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。（一）残差项的白噪声检验（一）残差项的白噪声检验 可用可用QLB的统计量进行的统计量进行 2检验检验：在给定显著性水平下，可计算不同滞后期的QLB值，通过与 2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。 若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。 （二）（二）AICAIC与与SBCSBC模型选择标准模型选择标准 另外一个遇到的问题是
34、，在实际识别ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p,q）值都能通过识别检验。 显然，增加增加p与与q的阶数，可增加拟合优度的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了但却同时降低了自由度自由度。 因此，对可能的适当的模型，存在着模型的对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性简洁性”与模与模型的拟合优度的权衡选择问题。型的拟合优度的权衡选择问题。 其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residual sum of squares）。 在选择可能的模型时，在选择可能的模型时，AIC与与SBC越小越好越小越好 显显然然，如如
35、果果添添加加的的滞滞后后项项没没有有解解释释能能力力，则则对对RSSRSS值值的的减减小小没没有有多多大大帮帮助助，却却增增加加待待估估参参数数的的个个数数，因因此此使使得得AICAIC或或SBCSBC的值增加。的值增加。 需需注注意意的的是是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。 常用的模型选择的判别标准有：常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法赤池信息法（Akaike information criterion，简记为简记为AIC）与施瓦兹施瓦兹贝叶斯法贝叶斯法（Schwartz Bayesian criterion，简记为简记为SBC）： 由第一节知：中国支出法GDP是非平稳的
36、，但它的一阶差分是平稳的，即支出法GDP是I(1)时间序列。 可以对经过一阶差分后的GDP建立适当的ARMA(p,q)模型。 记GDP经一阶差分后的新序列为GDPD1，该新序列的样本自相关函数图与偏自相关函数图如下： 例例4.3 中国支出法中国支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估计。模型估计。 图形：图形：样本自相关函数图形呈正弦线型衰减波，而偏自相关函数图形则在滞后两期后迅速趋于0。因此可初步判断该序列可初步判断该序列满足满足2 2阶自回归过程阶自回归过程AR(2)AR(2)。 自相关函数自相关函数与偏自相关函数偏自相关函数的函数值：函数值： 相关函数具有明显的拖尾性； 偏自相关函数值在
37、k2以后，可认为：可认为：偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的GDPGDP满足满足AR(2)AR(2)随机过程。随机过程。表表5.2 中国中国GDP一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0
38、.216-0.02250.0870.07711-0.282-0.19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002设序列GDPD1的模型形式为 有如下Yule Walker 方程： 解为： 用用OLSOLS法回归的结果为：法回归的结果为： （7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有时，在用回归法时，也可加入常数项有时，在用回归法时，也可加入常数项。 本例中加入常数项的回归为： （1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22 模型检验
39、模型检验 下表列出三模型的残差项的自相关系数及QLB检验值。 模型1与模型3的残差项接近于一白噪声，但模型2存在4阶滞后相关问题，Q统计量的检验也得出模型2拒绝所有自相关系数为零的假设。因此: 模型模型1 1与与3 3可作为描述中国支出法可作为描述中国支出法GDPGDP一阶差分序列的随机生成过程。一阶差分序列的随机生成过程。表表 5.3 模型残差项的自相关系数及模型残差项的自相关系数及Q检验值检验值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014
40、 3.3893 -0.139 2.0077 -0.040 1.5646 3 -0.132 3.8427 -0.246 3.5677 -0.059 1.6554 4 -0.341 7.0391 -0.529 11.267 -0.328 4.6210 5 -0.170 7.8910 -0.300 13.908 -0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17.541 0.076 10.059 9 -0.019
41、10.745 0.097 17.914 0.011 10.064 10 -0.146 11.685 -0.036 17.969 -0.123 10.728 11 -0.233 14.329 -0.136 18.878 -0.230 13.319 12 -0.049 14.461 0.064 19.104 -0.012 13.328 用建立的用建立的AR(2)模型对中国支出法模型对中国支出法GDP进行外推预测。进行外推预测。 模型模型1可作如下展开： 于是，当已知t-1、t-2、t-3期的GDP时，就可对第t期的GDP作出外推预测。 模型模型3的预测式与此相类似，只不过多出一项常数项。 对对20
42、012001年中国支出法年中国支出法GDPGDP的预测结果（亿元）的预测结果（亿元） 预测值预测值 实际值实际值 误差误差 模型模型1 95469 95933 -0.48%1 95469 95933 -0.48% 模型模型3 97160 95933 1.28%3 97160 95933 1.28% 由由于于中国人均居民消费（CPC）与人均国内生产总值（GDPPC）这两时间序列是非平稳的，因此不宜直接建立它们的因果关系回归方程。 但但它它们们都都是是I(2)I(2)时时间间序序列列，因此可以建立它们的ARIMA(p,d,q)模型。 下下面面只只建建立立中中国国人人均均居居民民消消费费（CPCCP
43、C）的的随随机机时时间间序序列列模模型。型。 中国人均居民消费（CPC）经过二次差分后的新序列记为CPCD2，其自相关函数、偏自相关函数及Q统计量的值列于下表： 例例4.4 中国人均居民消费的中国人均居民消费的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型模型 在5%的显著性水平下，通过Q统计量容易验证该序列本身就接近于一白噪声，因此可考虑采用零阶考虑采用零阶MA(0)MA(0)模型模型: 由于k=2时，|r2|=|-0.29| 因此,也可考虑采用下面的MA模型： 表表5.45.4 CPCD2CPCD2 序列的自相关函数、偏自相关函数与序列的自相关函数、偏自相关函数与Q Q 统计量值统计量值 k A
44、CF PACF Q k ACF PACF Q 1 0.125 0.125 0.269 7 0.196 0.014 6.286 2 -0.294 -0.314 1.882 8 -0.218 -0.335 8.067 3 -0.034 0.060 1.906 9 -0.010 0.024 8.072 4 -0.213 -0.350 2.919 10 0.102 -0.147 8.650 5 -0.258 -0.193 4.576 11 -0.071 0.001 9.025 6 0.131 0.017 5.057 12 0.006 -0.119 9.029 当然，还可观察到自相关函数在滞后4、5、8
45、时有大于0.2的函数值，因此，可考虑在模型中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同模型的回归结果列于表不同模型的回归结果列于表4.54.5。 可以看出可以看出: :在纯在纯MAMA模型中，模型模型中，模型4 4具有较好的性质，但由具有较好的性质，但由于于MA(5)MA(5)的的t t检验偏小，因此可选取模型检验偏小，因此可选取模型3 3。表表 5.55.5 中国居民人均消费水平的中国居民人均消费水平的ARMAARMA模型模型 模型 a MA(2) MA(4) MA(5) MA(8) AR(1) R2 SSR AIC 1 24.57 0 93137.4 8.94 2 32.4 -0.89
46、0.42 53699.9 8.54 (3.62) (-7.43) 3 14.07 -0.72 -1.71 0.7 28128.8 8.03 (8.75) (-3.07) (-5.08) 4 11.73 -1.09 -1.99 -1.3 0.82 17480.8 7.7 (17.81) (-3.38) (-4.61) (-1.58) 5 11.79 -1.07 -1.91 -1.25 -0.34 0.81 17402.7 7.84 (14.93) (-3.10) (-2.56) (-1.42) (-0.15) 6 14.95 -0.66 -1.27 -1.99 0.75 22924.2 7.97
47、 (5.16) (-2.14) (-1.77) (-1.29) 7 214.25 -2.53 -2.45 -6.52 1.39 0.99 8943.7 7.06 (63.83) (-2.25) (-2.53) (-2.23) (98.26) 最后，给出通过模型最后，给出通过模型3 3的外推预测。的外推预测。 模型3的展开式为： 即 由于t表示预测期的随机扰动项，它未知，可假设为0，于是t期的预测式为: 为模型3中滞后2期与滞后4期的相应残差项的估计值。 表5.6列出了采用模型3对中国居民人均居民消费水平的2期外推预测。 为了对照，表中也同时列出了采用2.10的模型的预测结果。 表表 5.6 5
48、.6 中国居民人均消费水平中国居民人均消费水平2 2 期外推预测比较（单位：元）期外推预测比较（单位：元） 实际值 ARMA模型 因果关系模型 预测值 相对误差（%） 预测值 相对误差（%） 1997 2834 3048 7.6 2822 -0.4 1998 2972 3407 14.6 2977 0.2 例例例例5.5 5.5 利用自相关和偏自相关系数利用自相关和偏自相关系数利用自相关和偏自相关系数利用自相关和偏自相关系数 识别识别识别识别ARMAARMA模型并检验序列相关性模型并检验序列相关性模型并检验序列相关性模型并检验序列相关性 考考察察美美国国1947年年第第1季季度度1995年年第
49、第1季季度度的的消消费费和和GDP之之间间的的关关系系，发发现现残残差差存存在在序序列列相相关关，并并且且例例4.4用用AR(3) 模模型型修修正正了了残残差差的的序序列列相相关关性性。但但是是，并并没没有有说说明明是是通通过过怎怎样样的的方方法法来来判判断断残残差差服服从从一一个个AR(3) 模模型型。这这个个例例子子将将借借助助Q-统统计计量量、自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数图，说明如何判断模型的阶数。回归方程：图，说明如何判断模型的阶数。回归方程： 图图5.3 5.3 原方程的残差图原方程的残差图 从从残残差差图图4.34.3可可以以观观察察到到，残残差差序序列列基基本
50、本是是平平稳稳的的，这这一一点点还还可可以以用用下下一一节节介介绍绍的的单单位位根根检检验验来来验验证证。下下面面计算残差序列的自相关系数和偏自相关系数。计算残差序列的自相关系数和偏自相关系数。图图5.4 原方程的残差序列的相关图原方程的残差序列的相关图 自自相相关关系系数数呈呈震震荡荡式式递递减减，偏偏自自相相关关系系数数除除了了1、2和和3阶阶显显著著不不为为0以以外外，其其他他各各项项均均接接近近于于0，因因此此，我我们们可可以以猜猜测测残残差差序序列列的的自自相相关关结结构构可可以以用用AR(3) 模模型型来来纠纠正正，模型建立如下：模型建立如下： 图图5.5 5.5 修正序列相关后的
51、回归方程的相关图修正序列相关后的回归方程的相关图 5. 模型的识别与建立模型的识别与建立 引引入入自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数这这两两个个统统计计量量来来识识别别ARMA(p,q) 模模型型的的系系数数特特点点和和模模型型的的阶阶数数。但但是是，在在实实际际操操作作中中，自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数是是通通过过要要识识别别序序列列的的样样本本数数据据估估计计出出来来的的，并并且且随随着着抽抽样样的的不不同同而而不不同同，其其估估计计值值只只能能同同理理论论上上的的大大致致趋趋势势保保持持一一致致，并并不不能能精精确确的的相相同同。因因此此，在在实实际际的
52、的模模型型识识别别中中，自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数只只能能作作为为模模型型识识别别过过程程中中的的一一个个参参考考，并并不能通过它们准确的识别模型的具体形式。不能通过它们准确的识别模型的具体形式。例例例例5.6 5.6 利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模 本本例例将将用用ARMA模模型型模模拟拟1990年年1月月2004年年12月月的的居居民民消消费费价价格格指指数数CPI（上上年年同同月月=100）的的变变化化规规律律。实实际际上上用用后后面面学学到到的的单单位位根根检
53、检验验可可知知CPI序序列列是是一一个个非非平平稳稳的的序序列列，但但是是它它的的一一阶阶差差分分序序列列 CPI是是平平稳稳的的。首首先先观观察察 CPI序序列列的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数的图形的图形 图图5.6 CPI序列的相关图序列的相关图 从从图图5.6可可以以看看出出 CPI序序列列的的自自相相关关系系数数是是拖拖尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数在在1阶阶结结尾尾。由由前前面面的的知知识识可可以以判判断断 CPI序列基本满足序列基本满足AR(1)过程。建模得到过程。建模得到 图图5.7 左边是左边是CPI序列的实际值和拟合值，右边是残差序列序列的实际值和拟
54、合值，右边是残差序列 由由图图5.7可可以以观观察察到到AR(1) 模模型型比比较较好好的的拟拟合合了了CPI序序列列，回回归归方方程程的的残残差差序序列列基基本本上上也也是是一一个个零零均均值值的平稳序列。的平稳序列。 图图5.8 CPI序列方程残差序列的相关图序列方程残差序列的相关图 从从图图5.8的的回回归归方方程程的的残残差差序序列列的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数可可以以看看到到不不存存在在序序列列相相关关。因因此此，在在实实际际建建模模中中，可可以以借借助助ARMA(p,q)模模型型去去拟拟和和一一些些具具有有平平稳稳性性的的经经济济变量的变化规律。变量的变化规律。
