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1、第五节第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系第二型曲面积分第二型曲面积分 第十一章第十一章 一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分内侧和外侧设连通曲面设连通曲面 S 上处处有连续上处处有连续设设 M0 为曲面为曲面 S 上一点，确定上一点，确定方向为正方向，另一个方向为负方向方向为正方向，另一个
2、方向为负方向. L 为为 S 上任一经过点上任一经过点 M0 且不超出且不超出 S 边界的闭曲线边界的闭曲线.设点设点 M 从从 M0 动身，沿动身，沿 L 连续移动，连续移动， M 在在 M0 点与点与M0变动的切平面或法线）变动的切平面或法线）曲面在曲面在M0 点的一个法线点的一个法线有相同的法线方向，有相同的法线方向，当点当点 M 连续移动时，其法线方向连续移动时，其法线方向也连续变动，最后当也连续变动，最后当 M 沿沿 L 回到回到M0 时，若这时时，若这时 M 的的法线方向仍与法线方向仍与 M0 点的法线方向一致，则称此曲面点的法线方向一致，则称此曲面 S 为为双侧曲面；若与双侧曲面
3、；若与 M0 法线方向相反，则称法线方向相反，则称 S 为单侧曲面为单侧曲面曲面的分类曲面的分类: :1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 单侧曲面的单侧曲面的 一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(Mbius)带带. 它的构造方它的构造方 法如下法如下: 取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD (如图如图22-4(a), 将其将其 一端扭转一端扭转 后与另一端粘合在一起后与另一端粘合在一起 ( 即让即让 A 与与 C 重合重合, B 与与 D 重合重合, 如图如图1所示所示
4、 ). 莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和右侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 曲面法向量的指向决定曲面的侧曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面决定了侧的曲面称为有向曲面.通常由通常由 所表示的曲面都是双侧曲面所表示的曲面都是双侧曲面, 其法其法 线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧另一侧称为下侧. 当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 的一侧称为外侧，另一侧称为内侧的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 习惯上
5、把上侧习惯上把上侧 作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为又把封闭曲面的外侧作为 正侧正侧, 内侧作为负侧内侧作为负侧.第二型曲面积分的概念与性质第二型曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . 分析分析: 假设假设 是面积为是面积为S 的平面的平面, 则流量则流量法向量法向量: 流速为常向量流速为常向量: 对一般的有向曲面对一般的有向曲面 ,用用“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极取极限限” 对稳定流动的不可压缩流体的对稳
6、定流动的不可压缩流体的速度场速度场进行分析可得进行分析可得, 那么那么 设设 为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面, 在在 上定义了一个上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点意分割和在局部面元上任意取点,分分,记作记作P, Q, R 叫做被积函数叫做被积函数; 叫做积分曲面叫做积分曲面.或第二类曲面积分或第二类曲面积分.下列极限都存在下列极限都存在向量场向量场若对若对 的任的任 则称此极限为向量场则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义：定义：引例中引例中, 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上对
7、上对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上对上对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上对上对 y, z 的曲面积分的曲面积分;若记若记 正侧的单位法向量为正侧的单位法向量为令令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式3. 性质性质(1) 假假设设之间无公共内点之间无公共内点, 那那么么(2) 用用 表示表示 的反向曲面的反向曲面, 那那么么三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面取上侧取上侧,是是 上的连续函数上的连续函数, 那那么么证证: 取上侧
8、取上侧, 假设假设则有则有 假假设设则有则有(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)说明说明:如果积分曲面如果积分曲面 取下侧取下侧, 那那么么例例1. 计算计算其中其中 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 a 的正立方的正立方体的整个表面的外侧体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性利用对称性.原式原式 的顶部的顶部 取上侧取上侧 的底部的底部 取下侧取下侧解解: 把把 分为上下两部分分为上下两部分根据对称性根据对称性 考虑考虑: 下述解法是否正确下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为球面为球面外侧在第一和第八卦限部分外侧在第一和第八卦限部分. 例例3. 设
9、设S 是球面是球面的外侧的外侧 , 计算计算解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性, 有有四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画曲面的方向用法向量的方向余弦刻画令令向量形式向量形式( A 在在 n 上的投影上的投影)例例5. 设设是其外法线与是其外法线与 z 轴正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算解解: 例例6. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有 原式原式 =旋转抛物面旋转抛物面介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之间部分的下侧之间部分的下侧. 原式原式 =原式原式 =内容小结内容
10、小结定义定义:1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 性质性质:联络联络:考虑考虑:的方向有关的方向有关, 上述联系公式是否矛盾上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与两类曲面积分的定义一个与 的方向无关的方向无关, 一个与一个与 2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分面积分第一类第一类 (对面积对面积)第二类第二类 (对坐标对坐标)二重积分二重积分(1) 统一积分变量统一积分变量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同时分片积分方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影积分元素投影第一类：第一类： 面积投影面积投影第二类：第二类： 有向投影有向投影(4) 确定积分域确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化当当时，时，（上侧取（上侧取“+”, 下侧取下侧取“ ”)类似可考虑在类似可考虑在 yOz 面及面及 zOx 面上的二重积分转化公式面上的二重积分转化公式 .备用题备用题 求求取外侧 .解解:注意号其中利用轮换对称性
