第五节第五节 隐函数的求导法则隐函数的求导法则一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、由方程组确定的反函数的求导三、由方程组确定的反函数的求导 公式公式 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy = =，，它满足条件并有 . .隐函数的求导公式一、一个方程的情形 解解令令则则例１ 例１ 验证方程验证方程在点在点的某邻的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且域内能唯一确定一个单值可导、且时时的隐函数的隐函数，并求这函数的一阶和二阶导，并求这函数的一阶和二阶导数在数在的值的值.依定理知方程依定理知方程在点在点的某邻域的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且内能唯一确定一个单值可导、且时时的的函数函数．． 函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为 .解解令令则则例例2 2已知已知求求 隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个，，它满足条件 单值连续且具有连续偏导数的函数 并有： 解解令令则则 .例例3 3 设设，求，求 解解令令则则思路：思路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得，，把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得，，把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得.例例4 4 设设，求，求，，，，. 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得整理得整理得把把x看成看成yz,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得 整理得整理得把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得整理得整理得 隐函数存在定理3 3 设在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且, ,，，且偏导数所组成的函数行列式（（或称雅可比式）, ,二、方程组的情形 在点不等于零，则方程组 在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，，，，它们满足条件, ,，，并有 解解1 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，求求 ，，，，和和.例例5 5 设设，，，，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得在在的条件下，的条件下， 定理定理4 4设设函数 ， 在点函数 ， 在点的的某邻域内连续且有连续的偏导数，又某邻域内连续且有连续的偏导数，又，，，，则则该方程组在 的某一邻域内唯一确定该方程组在 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数一组单值连续且有连续偏导数的反函数三、由方程组确定的反函数的求导公式 且有且有其中其中 例例6 6设设，求，求解解两边对 求导，得两边对 求导，得由于由于 所以所以 。