《结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 基本要求：领会变形体虚功方程。掌握实功与虚功、广义力与广义位移确 定，掌握互等定理；支座移动和温 度改变引起的位移计算。熟练掌握荷载产生的位移计算、用图乘 法求位移。虚功及虚功原理理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改变产生的位移计算支座移动产生的位移计算线弹性体互等定理241 位移计算概述a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析 打基础； -t+t不产生内力，产生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差不产生内力和变形产生刚体移动位移是几何量，自然可用几何法来求，但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；2 2、产生位移的主要原因：、产生位移的
2、主要原因： 计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。1 1、计算位移目的、计算位移目的：l342刚体虚功原理及应用荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。元功 dT=PdP2在自身引起的位移22上作的功：在12过程中，P1的值不变，12与P1无关PP111dTOAB1 1、静力加载过程静力加载过程一、刚体虚功原理一、刚体虚功原理4 2 2、实功与虚功实功与虚功 实功：是力在自身引起的位移上所作的功。实功：是力在自身引起的位移上所作的功。 如如 T11，T22。实功恒为正。实功恒为正。 虚功：是力在其它
3、原因产生的位移上作的功。虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正，如力与位移同向，虚功为正， 如力与位移反向，虚功为负如力与位移反向，虚功为负kj位移发生的位置位移发生的位置产生位移的原因产生位移的原因3 3、广义力、广义力与广义位移与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S；与位有关的因素，称为广义位移；与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积系是：它们的乘积是功的量纲。是功的量纲。即：即：T=S5P广义力广义位移单个力力作用点沿力作用方向上的
4、线位移单个力偶力偶作用截面的转角等值反向共线的一对力两力作用点间距的改变，即两力作用点的相对位移一对等值反向的力偶两力偶作用截面的相对转角mPPttABBAT=PA+PB=P（ A+B） =PABmmABT=mA+mB=m（ A+ B）=m6PXP 1 二、虚功原理二、虚功原理的应用的应用1 1）虚设）虚设位移求未知力（虚位移原理）位移求未知力（虚位移原理）2 2）虚设）虚设力系求位移（虚力原理）力系求位移（虚力原理） 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。4 4、刚体、刚体虚功原理虚功原理abACBPX1 1、需设位移求静定结构的需设位移求
5、静定结构的未知力未知力（虚位移原理）（虚位移原理）X =1，P=b/aW=07虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设位移求未知力（虚位移原理）1 1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡方程。 2 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方便，可以随意虚设，如设以随意虚设，如设X X=1=1。 3 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解静力平衡问题。衡问题。 作出机构可能发生的刚体虚位移图； 应用虚功原理求静定结构的某一约束力应用虚功原理求静定
6、结构的某一约束力X的步骤：的步骤：1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度的机构， 使原来的约束力X变成主动力。2）沿X方向虚设单位虚位移。利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。3）建立虚功方程，求未知力。8a 2aa 2aaqaqa2qFEDCBAqaqa2QCQC 10.50.250.25/a+qa0.25 qa20.25/aq(12a/2+0.5 a/2 )0QC=1.25qa 虚功方程为: QC192 2、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法）、虚设力系求位移（虚力原理、单位荷载法） b acP=1建立虚功方程：P+Rac=0（）1 1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是
7、几何方程。）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。2 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，可以 随意虚设，如设随意虚设，如设P=1P=1。故称单位荷载法。故称单位荷载法。3 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何问题。10状态 1 是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2 各微段的变形上作的内虚功之和T12 012即：T12=N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMdsdsdsd
8、2=2dsd2=2ds微段的变形可分为2ds，2ds，2ds+=dsMdsQdsN1dVV212121212kge变变变12dV=N12ds+Q12ds+M12ds+dsMdsQdsN121212kgeT12= d2=2ds43变形体虚功原理及其应用一、变形体虚功原理一、变形体虚功原理11P1P2t1t2222位移状态 2c1KKKHP=1虚拟力状态 11R需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.()+=+D iiKH dsMQNcR2221kge()-+=DiicR dsMQN222kge 该式是结构位移计算的一般公式, 1) 适用于静定结构和超静定结构。 2
9、) 适用于不同的材料、产生位移的各 种原因、不同的变形类型。 3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。二、变形体虚功原理的应用二、变形体虚功原理的应用12 44荷载作用下的位移计算NP QP MP真实位移状态 注:（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。（2）NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 虚设单位荷载引起的内力是 正负号规定： 轴力轴力 NP 、 拉力为正；剪力剪力：QP、 ， 顺时针转动为正；弯矩弯矩：MP、 ，同侧纤维受拉取正dsEIMMP（5）桁架 =EANNPds =（6）桁梁混合结构 用于梁式杆用于桁架杆（7
10、）拱常只考虑弯曲变形的影响； 对扁平拱需考虑轴向变形。dsEIMMPEANNP+=（3）公式右边各项分别是轴向、剪切、弯曲变形产生的位移。（4）梁和刚架=一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式13（8）该公式适用于静定和超静定结构，但必须是弹性体系。 （9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设 相应的广义单位荷载。相应的广义单位荷载。P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角位移方向未知时无法直
11、接虚拟单位荷载！14例：图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。求C的竖向位移。柱 q解：1)将q化为结点荷载P=ql/4-4.74P-4.42P4.5P3.0P2)求3)求NPPPPP/2P/20.287l0.25l0.222l0.25l0.263l0.263lADCEGBFl/12 l/122P2P继续继续继续继续二、荷载作用下的位移计算举例二、荷载作用下的位移计算举例15ADCEGBF11/21/21.501.50-1.58-1.58002)求4)求C材料杆件NPAlNEAlNNP钢筋混凝土钢筋ADCDDECEAEEG1.581.58001.501.504.74P4.42P4.50
12、P3.00P0.263l0.263l0.088l0.278l0.278l0.222lAbAb0.75AbAg3Ag2Ag1.97Pl/AbEb1.84Pl/AbEb000.63Pl/AgEg0.5Pl/AgEgC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)23)求NP继续继续16dGAPRdEAPREIPR+=cossin20203q qk qqpp22PP=1例：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载q cos=Qq sin-=Nq sin-=RMqcos=PQPqsin-= PNPqsin-= PRMP虚拟荷载3）QNMD+D+D=PPPGAdsQQEAdsNNEI
13、dsMM+=DGAPREAPREIPR+=D4443pk ppds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101R如17Pl/2l/2EIABxx例：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1MP（x）=Px/2 0xl/2MP（x）=P（lx）/2 l/2 xl0xlEIdsMMlPB0=积分常可用图形相乘来代替2）MP须分段写18ki
14、dsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0A=yEI01A=xtgEI01Aa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0x0注注：表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积A与竖标y0在杆的同侧， A y0 取正号，否则取负号。y0=x0tg45 图乘法计算位移19几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线A=2hl/
15、3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线A=hl/3二次抛物线A=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点20当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1llqAB例:求梁B段转角。例:求梁B点竖向位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。21PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度
16、。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=DA5Pl/6？23非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/3A1A1y1y2()bcadbdacl+=226dc+323bl+2dc+332al=2yydxMMki+=2211AA 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S = 9/6（262+243+63+42） =11132649242364（3）9（ 2）32649（4）236925labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准
17、抛物线成直线形26EI=3.6465 104Nm2200378P=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABCA1y13()1332211+=DyyyEIwwwy3A2y2求C点竖向位移。2796kN2kN/m2kN/m 6m3m3mAB求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+-2639632(+-+-=DEI61833631826362661EI=常数9 9 999928P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25 . 023232212+-
18、lqllqllqllqllEI8222822265 . 0212222+lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102+=DLq？ql2/8l/2？ql2/32y029dxMMEIlP+021dxMMEIEIlP-=021111dxEIMMdxEIMMlPlP020211dxEIMMdxEIMMllPlPVB+=D20111上式中的两项积分都是标准图形相乘。如l1=l/2，EI2=2EI1，则1325617EIql=214323121llqlEI+2112432831211llqlEIEIVB-=DMPP=1xl1lqA BEI
19、2EI1ql2/2 lql2/8l/230aEI2aEI1allEI2aEI2+allEI2aEI1=aEI131静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入()-+=DiicR dsMQN222kge得到：仅用于静定结构abl/2l/2h1 146 支座移动而产生的位移计算1h1h00321）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h2t0=（h1t2+h2t1）/ht=t2-t13）微段的变形 dsdat0dsk=d/ds =a（t2-t1）ds/hds = at/h=0 () -+=DiicR ds
20、MQN222kgeD+=MNhttAaAa0D+=dsMhtdsNtaa0D+=DdshtMdstNaa0该公式仅适用于静定结构e=at0at1dsat2ds47 温度改变、制造误差而产生的位移计算() +=D MQNu制造制造误差误差温度温度改变改变33例8-11求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CP=1P=11aN34应用条件:1)P ; 2)小变形。 即:线弹性变形体系。P1P2F1F2N1 M1 Q1N2 M2 Q21 1、功的互等定理、功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21
21、。 即： W12= W2148互等定理352 2、位移互等定理、位移互等定理P1=1P2=1位移互等定理：位移互等定理：由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。d 21d 122112dd=jijijPdD=等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。d=d21121d= d21121363 3、反力互等定理、反力互等定理C1=1C2=1r11r21r22r12r1r+=221201rr+21110等于cj=1所引起的与ci相应的反力。
22、反力互等定理：反力互等定理： r12=r21，在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移C2=1所引起的与位移C1相应的反力r12 。 注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用与超静定结构。r21r=12jijijcRr=37由两个状态应用功的互等定理，则有 主功力与反力的功相反 相差一负号 （由（由1=1引起引起21 ）211211 （由（由P2 =1引起引起k12）P21k1212这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。4 4、反力位移互等定理、反力位移互等定理38反力位移互等定理反力位移互等定理反反力位移互力位移互等定理：等定理： 单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反.
