统计 第四章 平均指标

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1、下面是一个小故事： 一个人到某公司求职，经过调查，得出关于该公司工资的一些数据，如果是你，应该如何选择？挠头的数值挠头的数值公司公司员工的月薪如下：工的月薪如下：我们有三种方法选择集中趋势： （1）根据频数：哪个变量值出现）根据频数：哪个变量值出现次数越多，就选择哪个变量值，比如次数越多，就选择哪个变量值，比如民主决策的表决机制。民主决策的表决机制。 （2）根据居中：比如一个城镇居）根据居中：比如一个城镇居民的生活水平，居中的是小康家庭，民的生活水平，居中的是小康家庭，那么就用小康家庭来代表该城镇的生那么就用小康家庭来代表该城镇的生活水平。活水平。 （3）根据平均：用平均数来代表）根据平均：用

2、平均数来代表变量的平均水平。变量的平均水平。关于集中趋势的一个故事吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小玩意儿。玩意儿。 管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六个亲戚组成。工作人员由个亲戚组成。工作人员由5个领工和个领工和10个工人组成。工厂经营得很顺利，现在个工人组成。工厂经营得很顺利，现在需要一个新工人。需要一个新工人。现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作问题。问题。吉斯莫：我们这里报酬不错。平均薪金吉斯莫：我们这里报酬不错。平均薪金是每周是每周300美元。你在学徒期间每周得美元。你在学徒期间每周得

3、75美元，不过很快就可以加工资。美元，不过很快就可以加工资。萨姆工作了几天之后，要求见厂长。萨姆工作了几天之后，要求见厂长。萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周对过了，没有一个人的工资超过每周100元。平均工资怎么可能是一周元。平均工资怎么可能是一周300元呢？元呢？吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工资是资是300元。我要向你证明这一点。元。我要向你证明这一点。吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得2400元，我弟弟得元，我弟弟得1000元，我的六元，我的六个亲戚每人

4、得个亲戚每人得250元，五个领工每人得元，五个领工每人得200元，元，10个工人每人个工人每人100元。总共元。总共是每周是每周6900元，付给元，付给23个人，对吧？个人，对吧？萨姆：对，对，对！你是对的，平均工萨姆：对，对，对！你是对的，平均工资是每周资是每周300元。可你还是蒙骗了我。元。可你还是蒙骗了我。吉斯莫；我不同意！你实在是不明白。吉斯莫；我不同意！你实在是不明白。我已经把工资列了个表，并告诉了你，我已经把工资列了个表，并告诉了你，工资的中位数是工资的中位数是200元，可这不是平均元，可这不是平均工资，而是中等工资。工资，而是中等工资。萨姆：每周萨姆：每周100元又是怎么回事呢？

5、元又是怎么回事呢？吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣的工资。的工资。吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不懂平均数、中位数和众数之间的区别。懂平均数、中位数和众数之间的区别。萨姆：好，现在我可懂了。我萨姆：好，现在我可懂了。我我我辞职！辞职！n 集中趋势：集中趋势：集中趋势：集中趋势：一组数据向其中心值靠拢的倾向和集中程度；一组数据向其中心值靠拢的倾向和集中程度；一组数据向其中心值靠拢的倾向和集中程度；一组数据向其中心值靠拢的倾向和集中程度；测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值测度集中趋势就是寻

6、找数据一般水平的代表值测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或者中心值；或者中心值；或者中心值；或者中心值；不同类型的数据用不同类型的集中趋势测度值；不同类型的数据用不同类型的集中趋势测度值；不同类型的数据用不同类型的集中趋势测度值；不同类型的数据用不同类型的集中趋势测度值；定类数据：众数；定类数据：众数；定类数据：众数；定类数据：众数；定序数据：中位数；定序数据：中位数；定序数据：中位数；定序数据：中位数；定比和定距数据：均值定比和定距数据：均值定比和定距数据：均值定比和定距数据：均值低层次数据集中趋势的测度适合于高层次数据，低层次数据集中趋势的测度适合于高层次数据，低层次数据集中趋势的测

7、度适合于高层次数据，低层次数据集中趋势的测度适合于高层次数据，但是高层次的不能降序处理但是高层次的不能降序处理但是高层次的不能降序处理但是高层次的不能降序处理平均指标平均指标平均指标平均指标就是表明同质总体在一定条件下就是表明同质总体在一定条件下某一数量标志所达到的一般水平。某一数量标志所达到的一般水平。平均指标平均指标把总体各单位之间的差异加以抽把总体各单位之间的差异加以抽象概括，其中个别标志值的偶然性被相互象概括，其中个别标志值的偶然性被相互抵消，从而反映出总体分布的集中趋势。抵消，从而反映出总体分布的集中趋势。1.同质性同质性，即总体内各单位的性质是相同的，如果，即总体内各单位的性质是相

8、同的，如果各单位性质上存在着差异，就不能计算平均数。各单位性质上存在着差异，就不能计算平均数。2.抽象性抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。差异平均掉了。3.代表性代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表总体一般但我们可以用平均数这一指标值来代表总体一般水平。水平。平均指标具有三个特点：平均指标具有三个特点：可以用来比较同类现象在不同地区、部门、单位（即不可以用来比较同类现象在不同地区

9、、部门、单位（即不同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和同总体）发展的一般水平，用以说明经济发展的高低和工作质量的好坏。工作质量的好坏。可以用来对同一总体某一现象在不同时期上进行比较，可以用来对同一总体某一现象在不同时期上进行比较，以反映该现象的发展趋势或规律。以反映该现象的发展趋势或规律。如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区如对同一地区人均年收入逐年进行比较来反映该地区居民生活水平的发展趋势或规律。居民生活水平的发展趋势或规律。可以用来分析现象之间的依存关系。可以用来分析现象之间的依存关系。例如，分析施肥量和农作物的平均变量的依存关系；例如，分析施肥量和农作物的平均变量的

10、依存关系；劳动生产率和平均单位成本间的依存关系。劳动生产率和平均单位成本间的依存关系。可以估算和推算其他有关数字可以估算和推算其他有关数字平均指标的作用平均指标的作用第一节第一节 算术平均数算术平均数(MEAN) 用总体标志总量除以总体单位数即得算术平均数用总体标志总量除以总体单位数即得算术平均数用总体标志总量除以总体单位数即得算术平均数用总体标志总量除以总体单位数即得算术平均数（Arithematic meanArithematic mean）。）。）。）。通常表示为通常表示为通常表示为通常表示为 算术平均数是反映集中趋算术平均数是反映集中趋势势最常用、最基本最常用、最基本最常用、最基本最常

11、用、最基本的平均指标，的平均指标，也被称为均值。它只适用于定也被称为均值。它只适用于定距以上的变量。距以上的变量。 例：某小区例：某小区例：某小区例：某小区350350户家庭共有居民户家庭共有居民户家庭共有居民户家庭共有居民11901190人。人。人。人。在这个例子中，家庭总数在这个例子中，家庭总数在这个例子中，家庭总数在这个例子中，家庭总数350350户是总体单位数，户是总体单位数，户是总体单位数，户是总体单位数，居民总数居民总数居民总数居民总数11901190人是该总体的标志总量。根据人是该总体的标志总量。根据人是该总体的标志总量。根据人是该总体的标志总量。根据算术平均数的定义算术平均数的

12、定义算术平均数的定义算术平均数的定义 户均人口户均人口户均人口户均人口 （人）（人）（人）（人） 1. 1. 对于未分组资料对于未分组资料对于未分组资料对于未分组资料( (简单算术平均数简单算术平均数简单算术平均数简单算术平均数) ) 注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1, 2, 3, 1, 2, 3, , ,N N ，NN是总体单位数。是总体单位数。是总体单位数。是总体单位数。 例例例例 求求求求7474、8585、6969、9191、8787、7474、69

13、69这些数字的这些数字的这些数字的这些数字的算术平均数。算术平均数。算术平均数。算术平均数。 解解解解 2. 对于分组资料对于分组资料(加权算术平均数加权算术平均数) 注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围1,2,3 ,1,2,3 ,n n，n n是是是是组数组数组数组数，而不是总体单位数。，而不是总体单位数。，而不是总体单位数。，而不是总体单位数。 很显然，算术平均数不仅受各变量值很显然，算术平均数不仅受各变量值很显然，算术平均数不仅受各变量值很显然，算术平均数不仅受各变

14、量值( (XX) )大小的影响，而且受各组单位数大小的影响，而且受各组单位数大小的影响，而且受各组单位数大小的影响，而且受各组单位数( (频数频数频数频数) )的影响。的影响。的影响。的影响。由于对于总体的影响要由频数由于对于总体的影响要由频数由于对于总体的影响要由频数由于对于总体的影响要由频数( ( f f ) )大小所决定，大小所决定，大小所决定，大小所决定，所以所以所以所以 f f 也被称为也被称为也被称为也被称为权数权数权数权数。u 权数对均值的影响：权数对均值的影响：权数对均值的影响：权数对均值的影响： 甲乙两组各有甲乙两组各有甲乙两组各有甲乙两组各有10101010名学生，他们的考

15、试成绩以及名学生，他们的考试成绩以及名学生，他们的考试成绩以及名学生，他们的考试成绩以及人数分布情况如下：人数分布情况如下：人数分布情况如下：人数分布情况如下： 甲组甲组甲组甲组 考试成绩（考试成绩（考试成绩（考试成绩（X X X X）：）：）：）：0 20 1000 20 1000 20 1000 20 100 人数分布（人数分布（人数分布（人数分布（F F F F）：）：）：）：1 1 81 1 81 1 81 1 8 乙组乙组乙组乙组 考试成绩（考试成绩（考试成绩（考试成绩（X X X X）：）：）：）：0 20 1000 20 1000 20 1000 20 100 人数分布（人数分布

16、（人数分布（人数分布（F F F F）：）：）：）：8 1 18 1 18 1 18 1 1 分别计算出平均值？考察权数对于均值的影响。分别计算出平均值？考察权数对于均值的影响。分别计算出平均值？考察权数对于均值的影响。分别计算出平均值？考察权数对于均值的影响。例例 求下表求下表(单项数列单项数列)所示数据的算术平均数所示数据的算术平均数 。 对于对于对于对于组距数列组距数列组距数列组距数列，要用每一组的组中值权充，要用每一组的组中值权充，要用每一组的组中值权充，要用每一组的组中值权充该组统一的变量值。该组统一的变量值。该组统一的变量值。该组统一的变量值。 例例例例 求下表所示数据的的算术平均

17、数求下表所示数据的的算术平均数求下表所示数据的的算术平均数求下表所示数据的的算术平均数 算术平均数练习题：算术平均数练习题： 1 1、某单位年终有、某单位年终有4040名名职工获得技术创新奖，职工获得技术创新奖，奖金的分配情况如右，奖金的分配情况如右，求求4040名职工的平均奖名职工的平均奖金额？金额？ 算术平均数练习题：算术平均数练习题： 2 2、某企业职工、某企业职工15001500人人的工资状况统计如右的工资状况统计如右表，试求出该企业职表，试求出该企业职工的月平均工资？工的月平均工资？ 算术平均数的性质：算术平均数的性质： （1）各变量值与算术平均数的离差之和等于0，即即（X-X-平均

18、数）平均数）0 0或者或者ff（X-X-平均数）平均数）0 0；变量值正负；变量值正负离差离差离差离差大致相等；大致相等； （2）各变量值对算术平均数的离差的平方和，小于它们对任何其他数（X）偏差的平方和。 各变量值与算术平均数的离差的平方和为各变量值与算术平均数的离差的平方和为最小值最小值最小平方性质；最小平方性质；（3 3）算术平均数受抽样变动影响微小，通常）算术平均数受抽样变动影响微小，通常它是总体资料集中趋势的最佳度量；它是总体资料集中趋势的最佳度量； （4 4）算术平均数）算术平均数受极端值受极端值受极端值受极端值的影响颇大，遇到的影响颇大，遇到这种情况时，就不宜用它代表集中趋势了；

19、这种情况时，就不宜用它代表集中趋势了；( (如如: :平均工资平均工资) ) （5 5）分组资料如果遇到开放组距时，不经）分组资料如果遇到开放组距时，不经过过特殊处理将无法特殊处理将无法特殊处理将无法特殊处理将无法得到算术平均数；得到算术平均数； （6 6）用于数值型数据，不能用于定类数据）用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据；和定序数据；算术平均数的应用1、先进平均数、先进平均数运用算术平均方法，计算先进平均数，可运用算术平均方法，计算先进平均数，可为部门、企业管理中制定各类平均先进定为部门、企业管理中制定各类平均先进定额提供基础数据。额提供基础数据。一群数据的算术平均数，将该群分为两

20、部一群数据的算术平均数，将该群分为两部分：一部分是优于算术平均数的数据，另分：一部分是优于算术平均数的数据，另一部分是差于算术平均数的数据。一部分是差于算术平均数的数据。就就优于优于算术平均数的数据，再计算一个新算术平均数的数据，再计算一个新的算术平均数，即为先进平均数。的算术平均数，即为先进平均数。计算步骤1、计算一般算术平均数（总平均数）2、计算优于一般平均数的变量值的平均数。例子根据表中的数据，计算先进平均数。1 1、计算一般算术平均数、计算一般算术平均数 2 2、根据平均值再分组、根据平均值再分组 3 3、计算组中值：、计算组中值： 4 4、假设组中的数据均匀分布，采用按比例均摊的方法

21、，推算出这、假设组中的数据均匀分布，采用按比例均摊的方法，推算出这一组中一组中 工人数工人数=(12-10.4)/(12-10)*17=14=(12-10.4)/(12-10)*17=14 5 5、计算先进平均数：、计算先进平均数：2 2、交替标志平均数、交替标志平均数 1 1、概念：、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。的标志。 如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。非标志来反映。 2 2、表示形式：、表示形式： 1 1：具有某种属性的单位

22、标志值。：具有某种属性的单位标志值。 0 0：不具有某种属性的单位标志值。：不具有某种属性的单位标志值。 N N：全部总体单位数。：全部总体单位数。 N N1 1：具有某种属性的总体单位数。：具有某种属性的总体单位数。 N N2 2：不具有某种属性的总体单位数。：不具有某种属性的总体单位数。 P= N P= N1 1 /N /N：具有某种属性的单位数所占的比重。：具有某种属性的单位数所占的比重。 Q= N Q= N2 2 /N /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。：不具有某种属性的单位数所占的比重。 其中：其中：P+Q=1P+Q=1例子某工厂某一批产品的合格情况平均数即为合格率第二节 中位

23、数（Median) 把总体单位某一数量标志的各个数值按大小把总体单位某一数量标志的各个数值按大小把总体单位某一数量标志的各个数值按大小把总体单位某一数量标志的各个数值按大小顺序排列，位于顺序排列，位于顺序排列，位于顺序排列，位于正中正中正中正中处的变量值，即为中位数，处的变量值，即为中位数，处的变量值，即为中位数，处的变量值，即为中位数，用用用用MMd d表示。表示。表示。表示。 M Md d可用于定序、定距、定比资料。可用于定序、定距、定比资料。1. 1. 对未分组资料对未分组资料对未分组资料对未分组资料 先把所有数据按大小顺序排列，先把所有数据按大小顺序排列，先把所有数据按大小顺序排列，先

24、把所有数据按大小顺序排列， 如果总体单位数为奇数，则取第如果总体单位数为奇数，则取第如果总体单位数为奇数，则取第如果总体单位数为奇数，则取第（N+1N+1）/2 /2 位上的变量值为中位数位上的变量值为中位数位上的变量值为中位数位上的变量值为中位数; ; 如果总体单位数为偶数。因为居如果总体单位数为偶数。因为居如果总体单位数为偶数。因为居如果总体单位数为偶数。因为居中的数值不存在，按惯例，取第中的数值不存在，按惯例，取第中的数值不存在，按惯例，取第中的数值不存在，按惯例，取第 N/2N/2位和第位和第位和第位和第N/2+1 N/2+1 位上的两个变量位上的两个变量位上的两个变量位上的两个变量值

25、的值的值的值的平均平均平均平均作为中位数。作为中位数。作为中位数。作为中位数。例题求下列两数列的中位数 A：3 6 7 8 10 13 14 B： 3 6 7 8 10 13 14 16 求54，65，78，66，43这些数字的中位数。求54，65，78，66，43，38 这些数字的中位数。你会吗？练习题 2. 对于分组资料对于分组资料 （1）单项数列单项数列 根据根据N/2在在累计频数分布累计频数分布中找到中位数所在组，中找到中位数所在组，该组变量值就是该组变量值就是MMd d 。中位数（2 2）组距数列组距数列组距数列组距数列按中位数所在组的下限：按中位数所在组的下限：按中位数所在组的上限

26、：按中位数所在组的上限： 当根据组距数列求中位数时，要采用所谓的比当根据组距数列求中位数时，要采用所谓的比例插值法：先根据例插值法：先根据N N2 2在累计频数分布中找到中位在累计频数分布中找到中位数所在组，然后假定该组中各变量值是均匀分布的，数所在组，然后假定该组中各变量值是均匀分布的，再用以下任何一种方法求出中位数再用以下任何一种方法求出中位数( (注意：此处用注意：此处用的是向上累计的是向上累计) )。 例例例例 某年级学生身高如下，求中位数某年级学生身高如下，求中位数某年级学生身高如下，求中位数某年级学生身高如下，求中位数 解解 第一种方法第一种方法 168168 6 6 170170

27、29(29(厘米厘米) ) 请你用第二种方法来做一下3. 中位数的性质中位数的性质 (1)各变量值对中位数之差的绝对值总和，各变量值对中位数之差的绝对值总和，小于它们对任何其他数的绝对值总和。小于它们对任何其他数的绝对值总和。 (2)中位数不受极端值的影响。中位数不受极端值的影响。 (3)分组资料有不确定组距时，仍可求得中位数。分组资料有不确定组距时，仍可求得中位数。不涉及到组中值，仅仅是根据所在组（中间位置的）的上限、下限、组距求得，与其它是没有关系的； (4)中位数受抽样变动的影响较算术平均数略大。中位数受抽样变动的影响较算术平均数略大。第三节第三节 众数众数(Mode) 众数是在一组资料

28、中，出现次数众数是在一组资料中，出现次数众数是在一组资料中，出现次数众数是在一组资料中，出现次数( (或频或频或频或频数数数数) )呈现出呈现出呈现出呈现出“ “峰峰峰峰” ”值的那些变量值，用值的那些变量值，用值的那些变量值，用值的那些变量值，用MMo o表示。表示。表示。表示。 众数只与次数有关，可以用于定类、定序、众数只与次数有关，可以用于定类、定序、定距、定比资料。定距、定比资料。 1. 对于未分组资料对于未分组资料 直接观察 首先，将所有数据顺序排列；然后，只要观察到某些变量值(与相邻变量值相比较)出现的次数(或频数)呈现“峰”值，这些变量值就是众数。 2. 2. 对于分组资料对于分

29、组资料对于分组资料对于分组资料 单项式：单项式：单项式：单项式：观察频数分布观察频数分布 ( (或频率分布或频率分布 ) ) 组距式：组距式：组距式：组距式：找出频数最高的一组找出频数最高的一组 L 为众数组下限； 为众数组频数与前一组频数之差； 为众数组频数与后一组频数之差； ho为众数组组距。求下表中的众数求下表中的众数众众数数例例 现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，得到资料如下表所示：如何计算众数？间，得到资料如下表所示：如何计算众数？计算 众数位于第三组众数位于第三组 L=800 U=1000 h=1000-800=200 L=800 U=10

30、00 h=1000-800=200 244-161244-16183 83 244-157244-15787 87 也可以作图求解众数也可以作图求解众数方法方法:即先画相邻三组次数分布直方图即先画相邻三组次数分布直方图,然后连接相邻两组次数差的对角线然后连接相邻两组次数差的对角线,再以对角线的交点向再以对角线的交点向x轴引一条垂线轴引一条垂线,它与它与X轴的交点即为众数轴的交点即为众数.也可以作图求解众数也可以作图求解众数M M0 0=897.65=897.65方法方法:即先画相邻三组次数分布直方图即先画相邻三组次数分布直方图,然后连接相邻两组次数差的然后连接相邻两组次数差的对角线对角线,再以

31、对角线的交点向再以对角线的交点向x轴引一条垂线轴引一条垂线,它与它与X轴的交点即为众数轴的交点即为众数.练习练习练习练习: :求下表中的众数求下表中的众数求下表中的众数求下表中的众数众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不受众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不受众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不受众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不受极端值影响，对开口组仍可计算众数；极端值影响，对开口组仍可计算众数；极端值影响，对开口组仍可计算众数；极端值影响，对开口组仍可计算众数；受抽样变动影响大；受抽样变动影响大；受抽样变动影响大；受抽样变动影响大；众数标示为其峰值所对应的变量值，能很容易众数标示为

32、其峰值所对应的变量值，能很容易众数标示为其峰值所对应的变量值，能很容易众数标示为其峰值所对应的变量值，能很容易区分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋区分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋区分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋区分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋势的频数分布，用众数最合适。势的频数分布，用众数最合适。势的频数分布，用众数最合适。势的频数分布，用众数最合适。众数不唯一确定。众数不唯一确定。众数不唯一确定。众数不唯一确定。众数可能有一个，可能有两个以及两个以上，众数可能有一个，可能有两个以及两个以上，众数可能有一个，可能有两个以及两个以上，众数可能有一个，可能有两个以及两个

33、以上，也可能没有也可能没有也可能没有也可能没有 众数的性质众数的性质三组数据:A: 71,75,83,75,61,68,81B: 71,75,83,74,61,68,81C: 71,75,83,75,83,68,81第四节几何平均数几何平均数是n个变量连乘积的n次根。几何平均数一般适用于各变量值之间存在环比关系的事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均法。计算方法计算方法1 1、简单几何平均法、简单几何平均法 2 2、加权几何平均法、加权几何平均法（二）应注意的问题（二）应注意的问题1 1、变量数列中任何一个变量值不能为、变量数列中任何一个变量值不能为0

34、0，一个，一个为为0 0，则几何平均数为，则几何平均数为0 0。2 2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。最末水平的影响。3 3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。、几何平均法主要用于动态平均数的计算。例子例子 假定某地储蓄年利率（按复利计算）：假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%5%持续持续年，年，3%3%持续年，持续年，2.2%2.2%持续持续1 1年。请问此年。请问此5 5年内该地年内该地平均储蓄年利率。平均储蓄年利率。几何平均数的应用1 1、计算平均发展速度；、计算平均发展速度； 2 2、计算、计算呈等比关系呈等比关系呈等

35、比关系呈等比关系数列的平均数；数列的平均数；例题：在医疗统计中，流行性感冒抗体水平，血凝例题：在医疗统计中，流行性感冒抗体水平，血凝抑制效价分析，测出数据为抑制效价分析，测出数据为5 5的的7 7名，为名，为1010的的3 3名，名，为为2020的的1 1名，为名，为4040的的1 1名，求平均抑制效价？名，求平均抑制效价？计算第五节调和平均数第五节调和平均数调和平均数的概念及计算方法调和平均数的概念及计算方法 调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。数的倒数。应用调和平均数应注意问题应用调和平均数应注意问题1、变量x的值不能为0。

36、2、调和平均数易受极端值的影响。3、要注意其运用的条件。当掌握的情况是总体标志总量而缺少总体单当掌握的情况是总体标志总量而缺少总体单位数的资料时，采用调和平均数位数的资料时，采用调和平均数调和平均数的应用：调和平均数的应用： 1 1、作为算术平均数的作为算术平均数的作为算术平均数的作为算术平均数的变形使用变形使用变形使用变形使用；如右边表格：如右边表格：假如有（假如有（1 1）（）（2 2），），求平均价格？求平均价格？假如有（假如有（1 1）（）（3 3），），求平均价格？求平均价格？若掌握第若掌握第1 1、2 2项资料：项资料：平均价格：平均价格：而第而第2 2项资料有时很难获得，掌握第项

37、资料有时很难获得，掌握第1 1、3 3项资项资料：料：平均价格：平均价格： 启示：启示：由平均数或者相对数再来计算平均数时，如果掌握的资料是分母资料分母资料，那就用加权算术平均数的方法；如果掌握的是分子资料分子资料，就要用加权调和平均数；例例 题题 例例1 1 水果甲级每元水果甲级每元1 1公斤，乙级每元公斤，丙级每元公斤，乙级每元公斤，丙级每元2 2公斤。公斤。问：问： （1 1）若各买）若各买1 1公斤，平均每元可买多少公斤？公斤，平均每元可买多少公斤？ （2 2）各买公斤，平均每元可买多少公斤？）各买公斤，平均每元可买多少公斤？ （3 3）甲级）甲级3 3公斤，乙级公斤，乙级2 2公斤，

38、丙级公斤，丙级1 1公斤，平均每元可买公斤，平均每元可买几公斤？几公斤？ （4 4）甲乙丙三级各买）甲乙丙三级各买1 1元，每元可买几公斤？元，每元可买几公斤？ 例例2 2 自行车赛自行车赛时速时速：甲：甲3030公里，乙公里，乙2828公里，丙公里，丙2020公里，全公里，全程程200200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2 2小时，平均时速是多少？小时，平均时速是多少？解答：例解答：例1 1 （1 1 1 1） （2 2 2 2） （3 3 3 3） （4 4 4 4）例例2 21.1.众数、中位数、平均数的特点和应用众数、中位数

39、、平均数的特点和应用众数众数 不受极端值影响不受极端值影响 具有不惟一性具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用中位数中位数 不受极端值影响不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用平均数平均数 易受极端值影响易受极端值影响 数学性质优良数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用数据对称分布或接近对称分布时应用第六节第六节 几种平均数的关系几种平均数的关系（一）对称分布情况下（一）对称分布情况下（二）偏态分布情况下（二）偏态分布情况下（三）三者近似关系（三）三者近似关系2.算术平均数、众数、中位数数值关系算术平均数、众数、中位数数值关系当

40、偏态不太显著时，中位数与算术平均数之间的距离约等于中位数与众数之间的距离的一半。众数、中位数和平均数的关系图示众数、中位数和平均数的关系图示左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数对称分布对称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值= = 中位数中位数中位数中位数= = 众数众数众数众数右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数 均值均值均值均值3、算术平均数、几何平均数和调和平均数的关系算术平均数、几何平均数和调和平均数都称为数值平均数： 算术平均数和调和平均数受极端值极端值影响很大； 对于同一组数据：算术平均

41、数算术平均数 几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数习题:填空题 1 1某班级中男生人数所占比重是某班级中男生人数所占比重是66.7%66.7%，则男生和女生，则男生和女生的比例关系是（的比例关系是（ ）。）。 2 2在频数分布图中，（在频数分布图中，（ ）标示为曲线的最高点所对）标示为曲线的最高点所对应的变量值。应的变量值。 3 3在频数呈偏态分布时，（在频数呈偏态分布时，（ ）必居于中间。）必居于中间。 4 4算术平均数、调和平均数、几何平均数又称为（算术平均数、调和平均数、几何平均数又称为（ ）平均数，众数、中位数又称为（平均数，众数、中位数又称为（ ）平均数，其中（）平均数，其中（

42、）平均数不受极端变量值得影响。）平均数不受极端变量值得影响。 5 5调和平均数是根据（调和平均数是根据（ ）来计算的，所以又称为（）来计算的，所以又称为（ ）平均数。）平均数。 6 6对于未分组资料，如总体单位数是偶数，则中间位置对于未分组资料，如总体单位数是偶数，则中间位置的两个标志值的算术平均数就是（的两个标志值的算术平均数就是（ ）。）。 习题:单选题 1.1.对于一组数据对于一组数据, ,可能不存在的平均数是可能不存在的平均数是( )( ) A.A.算术平均数算术平均数;B.;B.几何平均数几何平均数;C;C中位数中位数;D;D众数众数 2.2.在加权算术平均数中在加权算术平均数中,

43、,各变量的权数对计算结果各变量的权数对计算结果( (平均数平均数) )的影响作用取决于的影响作用取决于 ( ) ( ) A.A.各个数本身绝对值的大小各个数本身绝对值的大小 B. B.各个权数是否相同各个权数是否相同 C.C.各个变量值本身的大小各个变量值本身的大小 D. D.各个权数在全部权数总体中各个权数在全部权数总体中所占比重的大小所占比重的大小 3.3.中位数是中位数是( )( ) A.A.一个根据位置来确定的平均数一个根据位置来确定的平均数 B B处于任意数列中间位置的那个变量值处于任意数列中间位置的那个变量值 C.C.易受极端值影响的平均数易受极端值影响的平均数; ; D.D.在顺

44、序排列的数列中在顺序排列的数列中, ,位于位于(N+1)/2(N+1)/2位置上的变量值位置上的变量值4.4.算术平均数的性质之一算术平均数的性质之一, ,是各变量值对算术平均是各变量值对算术平均数的偏差代数和数的偏差代数和( )( )A.A.为零为零 B. B.为最小为最小 C. C.为最大为最大 D. D.可大可小可大可小5.5.算术平均数的优点是算术平均数的优点是( )( )A.A.受极端值影响不大受极端值影响不大 B. B.遇到开放组距资料可以一遇到开放组距资料可以一样计算样计算 C. C.很容易区分单峰与多峰分布很容易区分单峰与多峰分布 D. D.受抽样受抽样变动影响微小变动影响微小

45、个变量值连乘积的个变量值连乘积的N N次方根，即为（次方根，即为（ ）A A 几何平均数几何平均数 B B 算术平均数算术平均数 C C 中位数中位数 D D 调和平均数调和平均数7 7由右边的变量数列可知：由右边的变量数列可知：（ ） Md Md ； Mo Mo ； 30; 30; 30 308某车间三个小组，生产同种产品，其劳动生产率某月分别为150，160，165（件/工日），产量分别为4500，4800，5775（件），则该车间平均劳动生产率计算式为（ ）A （件/工日）B （件/工日）C （件/工日）D （件/工日）9.9.在社会统计学中，（在社会统计学中，（ ）是反映集中趋势最）是

46、反映集中趋势最常用、最基本的平均指标。常用、最基本的平均指标。A A 中位数中位数 B B算术平均数算术平均数C C 众数众数 D D几何平均数几何平均数10.10.对于钟型分布，当对于钟型分布，当 MoMo0 0时为（时为（ ）A A 正偏正偏 B B 负偏负偏 C C 正态正态 D D不一定不一定11.计算平均发展速度最适宜的平均数是( )A.简单算术平均数; B.调和平均数C.加权算术平均数; D.几何平均数12.已知某单位职工消费支出中月支出1200元的人最多,平均消费支出1300元,则该单位职工消费支出分度是( )A.正偏 B.负偏 C.无偏 D.其它多选题 1 1算术平均数的特点是

47、（算术平均数的特点是（ ）。）。 A A 受抽样变动影响微小；受抽样变动影响微小； B B 受极端值影响大；受极端值影响大； C C 在频数分布图中，标示为曲线最高点所对应的变量值；在频数分布图中，标示为曲线最高点所对应的变量值； D D 如遇到开口组时，不经特殊处理往往算不出来；如遇到开口组时，不经特殊处理往往算不出来； E E 如遇到异距分组时，不经特殊处理往往算不出来。如遇到异距分组时，不经特殊处理往往算不出来。 2 2当遇到分组资料有开口组的情况时，非经特殊处理，当遇到分组资料有开口组的情况时，非经特殊处理，下面无法求出的统计指标有（下面无法求出的统计指标有（ ）。）。 A A算术平均

48、数算术平均数 B B几何平均数几何平均数 C C中位数中位数 D D众数众数 E E 调调和平均数和平均数 3 3（ ）可统称为数值平均数）可统称为数值平均数 A A 算术平均数算术平均数 B B、几何平均数、几何平均数 C C调和平均数调和平均数 D D 众数众数 E E中位数中位数 4 4如果变量值中有一项为零，则不能计算（如果变量值中有一项为零，则不能计算（ ） A A 算术平均数算术平均数 B B 几何平均数几何平均数 C C中位数中位数 D D众数众数 E E 调和平均数调和平均数 5.5.平均指标平均指标( )( ) A.A.反映现象发展的一般水平反映现象发展的一般水平 B. B.

49、是总体分布集中趋势的度量是总体分布集中趋势的度量 C.C.是总体分布离中趋势的度量是总体分布离中趋势的度量 D. D.只能根据同质总体计算只能根据同质总体计算 E E可用来分析现象之间的依存关系可用来分析现象之间的依存关系参考答案参考答案一、填空一、填空一、填空一、填空1 12:1 22:1 2众数众数 3 3中位数中位数 4 4数值、位置、数值、位置、位置位置 5 5变量值的倒数、倒数变量值的倒数、倒数6 6中位数中位数二二. .单选单选D D A A D A B C B A D AD D A A D A B C B A D A三三. .多选多选作业1 1、某年级学生一次考、某年级学生一次考

50、试成绩分布如表，试试成绩分布如表，试求算术平均数，中位求算术平均数，中位数，众数。数，众数。使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！使用时，直接删除本页！使用时，直接删除本页！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！精品课件，你值得拥有精品课件，你值得拥有！ 2 2、某市场有四种规格的苹果，每斤价格分别为元，元元、某市场有四种规格的苹果，每斤价格分别为元，元元和元。和元。 试问试问（1 1）四种苹果各买）四种苹果各买1 1斤，平均每斤多少元？斤，平均每斤多少元？ （2 2）四种苹果各买）四种苹果各买1 1元，平均每斤多少元？元，平均每斤多少元？ 3 3、试求下述资料的几何平均数、试求下述资料的几何平均数