平面向量的基本定理

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1、人教版高一数学第二学期第五章人教版高一数学第二学期第五章第第5.3.2节节主讲：特级教师主讲：特级教师 王新敞王新敞高中数学同步辅导课程高中数学同步辅导课程平面向量的基本定理平面向量的基本定理9/6/20241教学目的：教学目的：教学重点：教学重点：教学难点教学难点：1了解平面向量基本定理的证明了解平面向量基本定理的证明2. 掌握平面向量基本定理及其应用：掌握平面向量基本定理及其应用： 平面内的任何一个向量都可以用两个不平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；共线的向量来表示； 能够在解题中适当地选择基底，使其能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示它向量能够用选

2、取的基底表示平面内任一向量用两个不共线非零向量表示平面内任一向量用两个不共线非零向量表示. 平面向量基本定理的理解平面向量基本定理的理解. 9/6/20242一、复习引入一、复习引入ABDCABC9/6/20243一、复习引入一、复习引入其方向和长度规定如下:如：当如：当3时的图示时的图示9/6/20244一、复习引入一、复习引入已知 和 ,试作出d=2 +3 OD OD = d =若已知 ，能用 、 表示吗？9/6/20245 火箭在飞行过程中的某一时刻火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。在利用平行四边前的两个分速度。在利用平

3、行四边形法则对速度进行分解的过程中，形法则对速度进行分解的过程中，我们看到一个速度可以分解为两个我们看到一个速度可以分解为两个不共线方向的速度之和。不共线方向的速度之和。 那么平面内的任一向量能否用那么平面内的任一向量能否用两个不共线的向量来表示呢？两个不共线的向量来表示呢？9/6/20246二、重难点讲解二、重难点讲解 我们研究我们研究 与与 、 之间的关系。之间的关系。 设设 、 是同一平面内的两个不共线的是同一平面内的两个不共线的向量，向量， 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，OANM9/6/20247二、重难点讲解二、重难点讲解 平面向量基本定理平面向量基本定理: : 有

4、且只有一对实数有且只有一对实数 、 使使向量，那么对于这一平面内的任向量，那么对于这一平面内的任一向量一向量 如果如果 、 是同一平面内的两个不是同一平面内的两个不共线共线这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组基底基底。我们把不共线的向量我们把不共线的向量 、 叫做表示叫做表示研究更一般的情况研究更一般的情况9/6/20248二、重难点讲解二、重难点讲解 (4)基底基底 给定时，分解形式唯一给定时，分解形式唯一. 平面向量基本定理平面向量基本定理: : 探究：探究：(1)我们把我们把不共线不共线向量向量 、 叫做表示这一叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；平面内所有向量的一组基底；

5、(2)基底不唯一，关键是不共线；基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量由定理可将任一向量 在给出基底在给出基底 、 的条件下进行分解；的条件下进行分解；是由是由 、 、 唯一确定的数量唯一确定的数量9/6/20249二、重难点讲解二、重难点讲解 平面向量基本定理平面向量基本定理 探究：探究：（5 5）一组平面向量的基底有多少对？）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）（有无数对） (6)若基底选取不同，则表示同一向量的实数若基底选取不同，则表示同一向量的实数 、 是否相同？是否相同？ （可以不同，也可以相同）（可以不同，也可以相同）(7)特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有

6、且只有，则有且只有 ：= 0(8)特别的，若特别的，若 与与 共线，则有，共线，则有，使得使得:9/6/202410三、例题讲解三、例题讲解 例例1 已知向量已知向量 、 ，求作向量，求作向量 .OABC解解:作图顺序如下：作图顺序如下：9/6/202411例例2 如图如图 ， ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M,且且 、 ，用，用 、 表示表示 、 、 和和 ABCDM解解在在 ABCD中中9/6/202412例例3 如图，如图， 、 不共线，不共线， ， 用用 、 , 表示表示 .OABP解：解：9/6/202413 例例4 4 ABCD ABCD中，中，E E、F F分分

7、别是别是DCDC和和ABAB的中点，试判的中点，试判断断AE,CFAE,CF是否平行？是否平行？FBADCE解：取基底取基底则有则有 共线，又无公共点共线，又无公共点,9/6/202414四、练习四、练习1.如图，已知向量 、 求作下列向量：OBAOCAB9/6/202415四、练习四、练习1.如图，已知向量 、 求作下列向量：OBAOCAB9/6/202416四、练习四、练习1.如图，已知向量 、 求作下列向量：OBAOCAB9/6/202417 2. 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、MN对

8、应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB9/6/202418 2. 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.ANMCDB参考答案：取基底取基底,则有则有9/6/202419五、小结五、小结本节学习了：本节学习了： （1）平面向量基本定理：）平面向量基本定理： （2）能够在具体问题中适当的选取）能够在具体问题中适当的选取基底基底，使，使其它向量都能够统一用这组其它向量都能够统一用这组基底基底来表达来表达.这是应用向量解决实际问题的重要思想方法这是应用向量解决实际问题的重要思想方法. 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示的向量来表示.即即9/6/202420 本节课到此结束，请同学们课后再做好复习。谢谢！再见！作业作业课本课本 P118-119 习题习题5.3 5 79/6/202421个人观点供参考，欢迎讨论