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1、一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分第四节广义第四节广义第四节广义第四节广义 积积积积 分分分分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分一、无穷区间的广义积分一、无穷区间的广义积分一、无穷区间的广义积分一、无穷区间的广义积分例例 1求由曲线求由曲线 y = e- -x， y 轴轴及及 x 轴轴所所围围成成开开口口曲边梯形的面积曲边梯形的面积. 解解这是一个开口曲边梯形，这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取为求其面积，任取 b 0, + )， 在在有有限限区区间间 0, b 上，上， 以以曲曲线线 y
2、 = e- - x为曲边的曲边梯形面积为为曲边的曲边梯形面积为by = e- -x yxO(0,1)y = e- -xyxbO(0,1)即即当当 b + + 时时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，开口曲边梯形面积，定义定义 1设函数设函数 f (x) 在在 a, + + ) )上连续上连续， 取实取实数数 b a，如果极限如果极限 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间 a, + + ) ) 上的广义积分上的广义积分，这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，记作记作即即存在存在，否则称否则称广义积分发散广义积分发散.
3、 .定义定义 2设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , b 上连续上连续， 取取实实数数 a b，如果极限如果极限 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间(-(- , b 上的广义积分上的广义积分，这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，记作记作即即存在存在，否则称否则称广义积分发散广义积分发散. .定义定义 3设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , + + ) ) 内连续内连续，且且对任意实数对任意实数 c，如果广义积分如果广义积分 则称上面两个广义函数积分之和为则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在在无穷区间无穷区间 (- - , +
4、+ ) 内的广义积分内的广义积分，这时也称广义积分收敛，这时也称广义积分收敛，记作记作即即都收敛都收敛，否则称广义积分发散否则称广义积分发散.若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，并记的一个原函数，并记则定义则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为中的广义积分可表示为例例 2求求解解例例 3判断判断解解由于当由于当 x + + 时时，sin x 没有极限，所以广义积分没有极限，所以广义积分发散发散 .例例 4计算计算解解用分部积分法，得用分部积分法，得例例 5判断判断解解故该积分发散故该积分发散.例例 6证明广义积分证明广义积分 当当 p 1 时，时，收敛；当收敛；当 p 1 时，发
5、散时，发散 .证证 p = 1 时，则时，则所以该广义积分发散所以该广义积分发散.当当 p 1 时，时，综合上述，综合上述，该广义积分收敛该广义积分收敛.当当 p 1 时，时，该广义积分发散该广义积分发散. p 1 时，则时，则二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分定定义义 4设设函函数数 f (x) 在在区区间间 ( (a, b 上上连连续续，取取 e e 0 ， 如果极限如果极限 则则称称此此极极限限值值为为函函数数 f (x) 在在区区间间 ( (a, b 上上的广义积分，的广义积分，这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，否则称否则称
6、广义积分发散广义积分发散. .且且记作记作即即存在存在，定义定义 5设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上连续上连续，取取 e e 0 ， 如果极限如果极限 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上上的广义积分的广义积分.这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，否则称否则称广义积分发散广义积分发散. .且且即即存在存在，定义定义 6设函数设函数 f (x) 在在 a, b 上除点上除点 c (a, b) 外连续外连续，如果下面两个广义积分如果下面两个广义积分 则则称称这这两两个个广广义义积积分分之之和和为为函函数数 f (x) 在在区区间间 a, b 上的广义积分上的广义积分，这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，否则，称否则，称广义积分发散广义积分发散. .记作记作即即都收敛都收敛，若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数，则定义则定义 4，5，6 中的广义积分可表示为中的广义积分可表示为例例 7判断判断解解故积分收敛故积分收敛.- -例例 8讨论广义积分讨论广义积分解解当当 p = 1 时，时，则则故积分发散故积分发散.当当 p 1 时时综综上上所所述述，得得：当当 p 1 时时，该该广广义义积积分分收收敛敛，
