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1、第三章第三章静 磁 场1 1 矢势及其微分方程矢势及其微分方程一、稳恒电流磁场的矢势一、稳恒电流磁场的矢势1 1稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。随时间变化的磁场。基本方程基本方程基本方程基本方程边值关系边值关系边值关系边值关系本本本本节节节节仅仅仅仅讨讨讨讨论论论论 情情情情况况况况，即即即即非非非非铁铁铁铁磁磁
2、磁磁的的的的均均均均匀匀匀匀介介介介质质质质。这这这这种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。 实实实实际际际际上上上上当当当当建建建建立立立立一一一一个个个个与与与与电电电电荷荷荷荷一一一一起起起起运运运运动动动动的的的的参参参参照照照照系系系系时时时时，在这个参照系中观测，只有静电场。在这个参照系中观测，只有静电场。在这个参照系中观测，只有静电场。在这个参照系中观测，只有静电场。2 2矢势的引入及意义矢势的引入及意义矢势的引入及意义矢势的引入及意义静电场静
3、电场静电场静电场物理意义：物理意义：物理意义：物理意义：（a a）与与与与的关系的关系的关系的关系稳恒电流磁场稳恒电流磁场稳恒电流磁场稳恒电流磁场其中其中其中其中S S S S 为回路为回路为回路为回路L L L L 为边界的任一曲面为边界的任一曲面为边界的任一曲面为边界的任一曲面 沿沿沿沿任任任任一一一一闭闭闭闭合合合合回回回回路路路路的的的的环环环环量量量量代代代代表表表表通通通通过过过过由由由由该该该该回回回回路路路路为为为为边边边边界界界界的的的的任任任任一一一一曲面的磁通量，曲面的磁通量，曲面的磁通量，曲面的磁通量，而每点而每点而每点而每点A A无直接物理意义。无直接物理意义。无直接
4、物理意义。无直接物理意义。（b b b b）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面）磁通量只与曲面L L L L的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关的边界有关，与曲面的具体形状无关（c c c c）物理意义）物理意义）物理意义）物理意义、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性、矢势的不唯一性令令令令可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性可减少矢势的任意性满足的方程？满足的方程？满足的方程？满足的方程？库仑规范二矢势满足的方程及方程的解二矢势满足的方程及方程的解1 1满足的方程满足的方程满足的方程满足的方
5、程（1 1 1 1）稳稳稳稳恒电流磁场矢势满足恒电流磁场矢势满足恒电流磁场矢势满足恒电流磁场矢势满足( ( ( (矢量矢量矢量矢量) ) ) )泊松方程泊松方程泊松方程泊松方程（2 2）与静电场中与静电场中与静电场中与静电场中形式相同形式相同形式相同形式相同（3 3 3 3）矢势为无源有旋场矢势为无源有旋场矢势为无源有旋场矢势为无源有旋场2矢势的形式解矢势的形式解 已已已已知知知知电电电电流流流流密密密密度度度度，可可可可从从从从方方方方程程程程直直直直接接接接积积积积分分分分求求求求解解解解磁磁磁磁场场场场，但但但但一一一一般般般般电电电电流流流流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量
6、泊松方程。分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。3的解的解毕奥毕奥毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律萨伐尔定律萨伐尔定律通过类比通过类比4的边值关系的边值关系*12（a a）（b b）特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况： 若分界面为柱面，柱坐标系中当若分界面为柱面，柱坐标系中当若分界面为柱面，柱坐标系中当若分界面为柱面，柱坐标系中当 若分界面为球面，当若分界面为球面，当若分界面为球面，当若分界面为球面，当zxyxzy5 5矢量泊松方程解的唯一性定理矢量泊松方程解的唯一性定
7、理定理：给定定理：给定定理：给定定理：给定V V V V内传导电流内传导电流内传导电流内传导电流 和和和和V V V V边界边界边界边界S S S S上的上的上的上的 或或或或V V V V 内稳恒电流磁场由内稳恒电流磁场由内稳恒电流磁场由内稳恒电流磁场由 和边界和边界和边界和边界 条件唯条件唯条件唯条件唯一确定。一确定。一确定。一确定。三稳恒电流磁场的能量已已已已知知知知均均均均匀匀匀匀介介介介质质质质中总能量为中总能量为中总能量为中总能量为 1在稳恒场中有在稳恒场中有 导出过程导出过程导出过程导出过程 不是能量密度。不是能量密度。不是能量密度。不是能量密度。 能量分布在磁场内，不仅分布在电
8、流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。2. 电流分布在外磁场中的相互作用能电流分布在外磁场中的相互作用能最后一项称为相互作用能，记为最后一项称为相互作用能，记为，可以证明：可以证明：设设为为外外磁磁场场电电流流分分布布，为为外外磁磁场场的的矢矢势势；为为处处于于外外磁磁场场中中的的电电流流分分布布，它它激激发的场的矢势为发的场的矢势为。总能量：。总能量：第三章第二节第三章第二节磁磁 标标 势势2. 磁标势磁标势原因：静电力作功与路径无关，原因：静电力作功与路径无关，原因：静电力作功与路径无关，原因：静电力作功与路径无关
9、，引入的电势是单值的；而静磁场引入的电势是单值的；而静磁场引入的电势是单值的；而静磁场引入的电势是单值的；而静磁场一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使在能引入的区域标势一般也不是单值的。使在能引入的区域标势一般也不是单值的。使在能引入的区域标势一般也不是单值的。使在能引入的区域标势一般也不是单值的。一引入磁标势的两个困难2在电流不为零区域引入磁标势可能非单值。在电流不为零区域引入磁标势可能非单值。1磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。二引入磁
10、标势的条件语言表述：语言表述：引入区域为无自由电流分布的单引入区域为无自由电流分布的单连通域连通域。讨论：讨论：1 1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；2 2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。用公式表示用公式表示显然只能在显然只能在显然只能在显然只能在区域引入，区域引入，区域引入，区域引入，且在引入区域中且在引入区域中且在引入区域
11、中且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环任何回路都不能与电流相链环任何回路都不能与电流相链环任何回路都不能与电流相链环。三磁标势满足的方程1引入磁标势区域磁场满足的场方程引入磁标势区域磁场满足的场方程 不不不不仅仅仅仅可可可可用用用用于于于于均均均均匀匀匀匀各各各各向向向向同同同同性性性性非非非非铁铁铁铁磁磁磁磁介介介介质质质质，而而而而且且且且也也也也可可可可讨论铁磁介质或非线性介质。讨论铁磁介质或非线性介质。讨论铁磁介质或非线性介质。讨论铁磁介质或非线性介质。2引入磁标势引入磁标势3满足的泊松方程满足的泊松方程4边值关系边值关系磁荷密度磁荷密度四静电场与静磁场方程的比较四静电场与静磁场方
12、程的比较n静磁场静磁场n静电场静电场静电势与磁标势的差别：静电势与磁标势的差别：因因为为到到目目前前为为止止实实验验上上还还未未真真正正发发现现以以磁磁单单极极形形式式存存在在的的自自由由磁磁荷荷。对对静静磁磁场场人人们们认认为为分分子子电电流流具具有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。 静静静静电电电电场场场场可可可可在在在在全全全全空空空空间间间间引引引引入入入入，无无无无限限限限制制制制条条条条件件件件；静静静静磁磁磁磁场场场场要要要要求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。求在无自由电流分布的单连通域中才能引
13、入。求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。电流观点不能同时使用。 虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物虽然磁场强度与电场
14、强度表面上相对应，但从物理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。五、静磁问题的唯一性定理五、静磁问题的唯一性定理 当当所所考考虑虑的的区区域域是是单单连连通通的的，其其中中没没有有传传导导电电流流分分布布时时，可可引引入入磁磁标标势势，通通过过和和静静电电学学问问题题的的唯唯一一性性定定理理同样的推导，可得出静
15、磁问题的唯一性定理：同样的推导，可得出静磁问题的唯一性定理：如如果果可可均均匀匀分分区区的的区区域域V中中没没有有传传导导电电流流分分布布，只只要要在在边边界界S上给出下列条件之一，则上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地确定：内磁场唯一地确定：a)磁标势之值磁标势之值b)磁场强度的法向分量磁场强度的法向分量c)磁场强度的切向分量磁场强度的切向分量第三节第三节磁多级矩磁多级矩间接电流系统在远处的矢势若电流分布在有限的空间，空间的线度为 ,则该电荷分布对空间较远处 产生的场，可以按小参量 进行展开。将 在 处展开。?原点在选在 内记：矢势的多极展开? 将 区域内的电流分成电流环的叠加矢势的偶极展开
16、项磁偶极矩及偶极子磁场磁偶极矩：磁偶极子的场：?磁偶极子磁标势电流环之磁偶极矩电流环之磁偶极矩：电流环在远处产生的场可以用偶极子近似：电流环在近处产生的场：平面电流环小区域电流分布与外场之相互作用能电流分布与外场中的相互作用能量：电流环与外场中的相互作用能量：小区域电流分布与外场中的相互作用能量：?磁偶极子与外场之相互作用能：?电偶极子与外场之相互作用能：外场中磁偶极子之等效势能两电流环相互作用能：磁通变化会产生感生电动势，做功：要维持电流不变，外电源必须提供能量，抵消感生电动势做功：外界能量输入磁能增加电流环运动动能?等效势能外场中磁偶极子受力外场中磁偶极子受力：外场中磁偶极子受力矩：?磁偶极子在外磁场中的行为与电偶极子在电场中行为一致
