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1、概率论与数理统计概率论与数理统计教教 师师: : 高高 璟璟e-mail: 数学专业教研室数学专业教研室 （第四学科楼（第四学科楼 222室）室） 概率论与数理统计是研究什么的 经典的数学理论如微积分学、微分方程等都经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。是研究确定性现象的有力的数学工具。 对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大无法预言其结果，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。性（如拋掷硬币）。 随
2、着社会生产与科学技术的发展，研究随机随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。 概率论与数理统计概率论与数理统计研究和揭示随研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科机现象统计规律性的一门学科 应用范围广泛。例如：应用范围广泛。例如： 气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生
3、统计、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。保险、金融等各领域。 经典数学与概率典数学与概率论与数理与数理统计是相是相辅相成，互相渗透的。相成，互相渗透的。第第1章章 随机事件及其概率随机事件及其概率n随机事件随机事件n随机事件的概率随机事件的概率n古典概型与几何概型古典概型与几何概型n条件概率条件概率n事件的独立性事件的独立性 1.1 随机事件随机事件 n确定性的确定性的在一定条件下必然在一定条件下必然发生的生的现象象n随机性的随机性的在一定条件下，具有多种可能在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果的结果，但事先又不能预知确切的结果1)1)
4、拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，拋掷一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是正面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。其结果。3)3)投掷一个骰子，其结果有投掷一个骰子，其结果有6 6种，即可能出现种，即可能出现1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6点，但点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)4)股市的变化。股市的变化。一、随机现象一、随机现象 由于随机由于随机现象
5、的象的结果事先不能果事先不能预知知, , 初初看似乎毫无看似乎毫无规律律. . 然而人然而人们发现同一随机同一随机现象大量重复出象大量重复出现时, , 其每种可能的其每种可能的结果出果出现的的频率具有率具有稳定性定性, , 从而表明随机从而表明随机现象也有象也有其固有的其固有的规律性律性. . 人人们把随机把随机现象在大量重象在大量重复出复出现时所表所表现出的量的出的量的规律性称律性称为随机随机现象的象的统计规律性律性. . 二、随机试验二、随机试验历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n rn rn
6、/n De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005 试验表明：虽然随机现象在少数几次实验或观察中其结果试验表明：虽然随机现象在少数几次实验或观察中其结果没有什么规律性，但通过长期的观察或大量的重复试验可以看没有什么规律性，但通过长期的观察或大量的重复试验可以看出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机试验的结果出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机试验的结果自身所具有的特征。自身所具有的特征。 为了对随机现象的统计规律
7、性进行研究为了对随机现象的统计规律性进行研究, ,就需要对随就需要对随机现象进行重复观察机现象进行重复观察, , 我们把对随机现象的观察称为我们把对随机现象的观察称为随随机试验机试验, , 并简称为并简称为试验试验，记为，记为E E. .例如例如, , 观察某射手对固观察某射手对固定目标进行射击定目标进行射击; ; 抛一枚硬币三次抛一枚硬币三次, ,观察出现正面的次观察出现正面的次数数; ; 记录某市记录某市120120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验为随机试验. . 随机试验具有下列特点随机试验具有下列特点: 1. 可重复性可重复性: 试验可以在相同
8、的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行; 2. 可观察性可观察性: 试验结果可观察试验结果可观察,所有可能的结果是明确的所有可能的结果是明确的; 3. 不确定性不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知每次试验出现的结果事先不能准确预知.E1：拋掷一枚质地均匀的硬币拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出观察正面和反面出现的情况；现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿
9、命。命。E5: 从装有三个白球（记号为从装有三个白球（记号为1,2,3）与两个黑球（记）与两个黑球（记号为号为4,5）的袋中任取两球，）的袋中任取两球，(1)观察两球的颜色；观察两球的颜色；(2)观察两球的号码观察两球的号码随机试验的例子三、样本空间三、样本空间 1、样本空间样本空间：由随机试验的所有可能的结果由随机试验的所有可能的结果组成的一个集合组成的一个集合称为试验称为试验E的样本空间，记为的样本空间，记为S或或； 2、样本点样本点：试验的每一个可能的结果试验的每一个可能的结果（或样或样本空间的元素）称为一个样本点，记为本空间的元素）称为一个样本点，记为e。E1: 若记若记1=正面，正面
10、， 2= =反面，则样本空间为反面，则样本空间为S =1, 2 E2: S =1,2,3,4,5,6E3: S =0,1,2,3, E4:E5: (1) 若记若记00表示为两个白球，表示为两个白球， 11表示为两个黑球表示为两个黑球 01表示为一白一黑，则表示为一白一黑，则 S=00, 11, 01 (2) 若观察取出的两球的号码，则样本点为若观察取出的两球的号码，则样本点为ij（取出第（取出第i号和第号和第 j号球，号球， 于是，样本空间有于是，样本空间有10个样本点，则个样本点，则注：对于同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是根据要注：对于同一个随机试验，试验的样本点与样本空间是根据要观
11、察的内容来确定的。观察的内容来确定的。四、随机事件四、随机事件在概率论中在概率论中, ,把具有某一可观察特征的随机试验的结把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件。事件可分为以下三类：果称为事件。事件可分为以下三类：1. 1. 随机事件：随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件，简在试验中可能发生也可能不发生的事件，简称事件。通常用大写字母称事件。通常用大写字母A A、B B、CC表示。表示。2. 必然事件：必然事件：在每次试验中都必然发生的事件。用字母在每次试验中都必然发生的事件。用字母S（或（或）表示。）表示。3. 不可能事件：不可能事件：在任何一次试验中都不可能发生的事件。用空集
12、在任何一次试验中都不可能发生的事件。用空集符号符号表示。表示。 例如：在抛掷一枚例如：在抛掷一枚骰子的试验中，骰子的试验中，“点数为奇数点数为奇数”就是一个就是一个事件，事件，在试验中可能发生也可能不发生。同样在试验中可能发生也可能不发生。同样 ，“点数为奇数点数为奇数”与与“点数为点数为8”也分别是一个事件，前者在试验中必然发生的，即也分别是一个事件，前者在试验中必然发生的，即是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。是必然事件，后者在试验中是不可能发生的，即是不可能事件。 显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为讨论方便，显然，必然事件与不可能事件都是确定性事件，为讨论方
13、便，今后将它们看作是特殊的随机事件。今后将它们看作是特殊的随机事件。五、事件的集合表示五、事件的集合表示 按定义按定义, , 样本空间样本空间S是随机试验的所有可能结果是随机试验的所有可能结果( (样本点样本点) )的全体的全体, , 故样本空间就是所有样本点构成的集合故样本空间就是所有样本点构成的集合, , 每一个每一个样本点是该集合的元素样本点是该集合的元素. . 一个事件是由具有该事件所要求的一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的特征的那些可能结果所构成的, , 所以一个事件对应于所以一个事件对应于S中具中具有相应特征的样本点有相应特征的样本点( (元素元素) )构成的
14、集合构成的集合, , 它是它是S的一个子集的一个子集. 于是于是, 任何一个事件都可以用任何一个事件都可以用S的某一子集来表示的某一子集来表示,常用字母常用字母A、B等表示。等表示。 称称事件事件A A发生，发生，即指属于该事件的某一个样本点在随机即指属于该事件的某一个样本点在随机试验中出现试验中出现。 特殊地，当一个事件仅包含特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事的一个样本点时，称该事件为件为基本事件基本事件( (或简单事件或简单事件) )。含有两个或两个以上样本点的含有两个或两个以上样本点的事件为事件为复合事件复合事件。 例例1.1.1 1 袋中装有袋中装有2 2只白球和只白球和
15、1 1只黑球。从袋中依次任意只黑球。从袋中依次任意地摸出地摸出2 2只球。设球是编号的：白球为只球。设球是编号的：白球为1 1号、号、2 2号，黑号，黑球为球为3 3号号。( (i,j,j) )表示第一次摸得表示第一次摸得i号球，第二次摸得号球，第二次摸得j号号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：球的基本事件，则这一试验的样本空间为： S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2) 而且可得到下列随机事件而且可得到下列随机事件A=A=第一次摸得黑球第一次摸得黑球 =(3,1),(3,2)=(3
16、,1),(3,2)；B=B=第一次摸得白球第一次摸得白球 =(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)；C=C=两次都摸得白球两次都摸得白球 =(1,2),(2,1)=(1,2),(2,1)；D=D=第一次摸得白球，第二次摸得黑球第一次摸得白球，第二次摸得黑球 =(1,3),(2,3)=(1,3),(2,3)；G=G=没有摸到黑球没有摸到黑球 =(1,2),(2,1)=(1,2),(2,1)。六、事件的关系与运算六、事件的关系与运算设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S, ,A, ,B, ,Ak(k=1,2,)为事件为事件1.1.事件的包含
17、事件的包含“A“A发生必导致发生必导致B B发生发生”，即，即A A中的样本点一定属中的样本点一定属于于B B，记为，记为A A B B，称事件称事件B B包含事件包含事件A, A, 也称事件也称事件A A包含于事包含于事件件B B。2.A2.A与与B B两个事件两个事件相等相等：A AB B A A B B且且B B A A。3.3.和事件和事件和事件和事件(p4) ：“ “事件事件事件事件A与与与与B至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生” ”，记作，记作，记作，记作A B2n个事件个事件A1, A2, An至至少有一个发生，记作少有一个发生，记作2” 可列个事件可列个事
18、件A1, A2, An 至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作4.积事件积事件 :A与与B同时发生，记作同时发生，记作 ABAB3n个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作3”可列个事件可列个事件A1, A2, An , 同时发生，记作同时发生，记作5.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不发生，不发生，它是由属于它是由属于A而不属于而不属于B的样本点所构成的事件。的样本点所构成的事件。6.互互斥的事件斥的事件：AB= ,指事件指事件A与与B不能同时发生。又不能同时发生。又称称A与与B互不相容互不相容。7. 互逆的互逆的事件
19、事件 ABS, 且且AB 对立事件必为互不相容事件；对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件互不相容事件未必为对立事件。注注: 事件的运算满足如下基本关系事件的运算满足如下基本关系:8. 完备事件组完备事件组设设 是有限或可数个事件是有限或可数个事件,若其满足若其满足:称称 是一个完备事件组是一个完备事件组.七、事件的运算七、事件的运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4、对偶对偶(De Morgan)律：律： 或或例1.3解 设A表示事件“
20、甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。n课堂练习：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。解解：(1)1)如如果果不不考考虑虑整整套套牌牌的的花花色色，样样本本空空间间包包含含可可由由牌牌点点A，二二点点，十十点点，J，Q，K组组成，即可表示为成，即可表示为=1,2,13=1,2,13。(2)(2)如如果果考考虑虑整整套套牌牌的的花花色色，样样本本空空间间分分别别包包含含黑黑、红红、方方、草草的的A，一一直直到到K。如如
21、果果用用1,2,3,41,2,3,4分分别别表表示示黑黑、红红、方方、草草，则则黑黑桃桃J可可写成写成(1,11)(1,11)，样本空间有，样本空间有5252个样本点：个样本点： 1.2 随机事件的概率随机事件的概率一、频率及其性质一、频率及其性质定定义义1.1.若若在在相相同同条条件件下下进进行行n n次次试试验验, , 其其中中事事件件A A发发 生的次数为生的次数为r rn n( (A A) )次次, ,则称则称频率具有如下的性质频率具有如下的性质(1)对任一事件对任一事件A，0 fn(A) 1；(2)对必然事件对必然事件S，fn(S)1；而而 fn( )=0(3)可加性：若可加性：若事
22、件事件A1, A2 , , An两两互不相容，则两两互不相容，则二、概率二、概率从直观上来看，事件从直观上来看，事件A的概率是指事件的概率是指事件A A发发生的可能性生的可能性P(A) 应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？1、概率的统计定义、概率的统计定义定义定义2. 设随机事件设随机事件A在在n次重复试验中发生的次数次重复试验中发生的次数为为
23、rn(A)，若事件若事件A发生的发生的频率频率fn(A)=rn(A)/n随着随着试验次数试验次数n的增大而稳定地在某个常数的增大而稳定地在某个常数p(00p1)1)附近摆动，则称数附近摆动，则称数p为为事件事件A的概率的概率，记为，记为P(A).由定义，显然有由定义，显然有0 0 P(A)1, 1, P(S)=1，P()=0。2、概率的公理化定义、概率的公理化定义定定义义3 3 设设E E是是随随机机试试验验，S S是是它它的的样样本本空空间间，对对于于E E的的每每一一个个事事件件A，赋赋予予一一个个实实数数P(A)与与之之对对应应，如如果集合函数果集合函数P()具有如下性质：具有如下性质：
24、非负性非负性：对任意一个事件：对任意一个事件A，均有均有P(A)0 ；完备性完备性：P(S)=1；可可列列可可加加性性：若若A1，A2，An，是是两两两两互互不不相容的事件，即相容的事件，即AiAj=(ij, i, j=1,2,)，有有则称则称P(A)为事件为事件A的概率的概率。三、概率的性质三、概率的性质不可能事件的概率为零，即不可能事件的概率为零，即P()=0；有有有有限限限限可可可可加加加加性性性性，即即若若事事件件A1，A2，An两两两两互互不不相相容容，则则有有P(A1A2An)= P(A1)+ P(A2) + P(An)设设A，B是两个事件，则是两个事件，则P(A-B)=P(A)-
25、P(AB)特特 别别 地地 ， 若若 A B， 则则 AB=B， 有有 P(A-B)=P(A)-P(B)， 且且P(A)P(B)，此性质称为此性质称为单调不减性单调不减性单调不减性单调不减性。 例例1.1.4 4 某某人人外外出出旅旅游游两两天天，据据天天气气预预报报，第第一一天天降降水水概概率为率为0.6，第二天为，第二天为0.3，两天都降水的概率为，两天都降水的概率为0.1，试求：，试求： (1)“第一天下雨而第二天不下雨第一天下雨而第二天不下雨”的概率的概率P(B)， (2)“第一天不下雨而第二天下雨第一天不下雨而第二天下雨”的概率的概率P(C)， (3)“至少有一天下雨至少有一天下雨”
26、的概率的概率P(D)， (4)“两天都不下雨两天都不下雨”的概率的概率P(E)， (5)“至少有一天不下雨至少有一天不下雨”的概率的概率P(F)。 （2） 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型设随机设随机实验实验E E满足下列条件满足下列条件1.1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即Se1, e 2 , , e n ;2.2.等可能性：每个等可能性：每个基本事件基本事件的发生是等可能的，即的发生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=P(en)。则称此试验则称此试验E E为古典概型，也称为古典概型，也称等可能等可能概型。概型。一、古典概型
27、一、古典概型设设事事件件A中中所所含含样样本本点点个个数数为为k ，记记样样本本空空间间S中中样样本本点总数为点总数为n，则有则有由概率的公理化定义知由概率的公理化定义知称此概率为称此概率为古典概率古典概率. . 例例1 1 在盒子里有在盒子里有1010个相同的球，分别标上号码个相同的球，分别标上号码1 1，2 2，10 10 。从中任取一球，求此球的号码为偶数。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。的概率。 解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A=2,4,6,8,10，
28、所以A中含有k=5个样本点，故 二、计算古典概型的方法二、计算古典概型的方法排列与组合排列与组合 称为组合系数称为组合系数.n古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。1、抽球问题、抽球问题 例2 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球3.分组问题分组问题例例4 4. . 3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：组，求：（1 1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个
29、组的概率。问：取到的数既不能被问：取到的数既不能被6 6整除又不能被整除又不能被8 8整除的概率整除的概率N(S)=200,三、几何概型三、几何概型 古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型. . 这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体这里我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型等的等可能随机试验的概率模型几何概型几何概型. .(1) (1) 设样本空间设样本空间S是平面上某个区域是平面上某个区域, 它的面积记为它的面积记为 ; (2)(2)向区域向区域S上随机投掷一点上随机投掷一
30、点,这里这里“随机投掷一点随机投掷一点”的含义是的含义是指该点落入指该点落入 S内任何部分区域内任何部分区域A的可能性只与区域的可能性只与区域A的面积的面积 成比例成比例, 而与区域而与区域A的位置和形状无关的位置和形状无关. 向区域向区域 S上随机投掷一点上随机投掷一点, 该点落在区域该点落在区域 A的事件仍记为的事件仍记为A, 则则A概率为概率为 , ,其中其中 为常数为常数, ,而而 , ,于是于是, ,得得 , , 从而事件从而事件A的概的概率为率为 几何概率几何概率 注注: 若样本空间若样本空间S为一线段或一空间立体为一线段或一空间立体, 则向则向S“投点投点”的相应概的相应概率仍可
31、用上式确定率仍可用上式确定, 但但 应理解为长度或体积应理解为长度或体积. 例例6 6 某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发觉表停了发觉表停了, , 他打开收音机他打开收音机, ,想听电想听电台报时台报时, , 设电台每正点是报时一次设电台每正点是报时一次, , 求他求他( (她她) )等待时间等待时间短于短于1010分钟的概率分钟的概率. . 解解 以分钟为单位以分钟为单位,记上一次报时时刻为记上一次报时时刻为0,0,则下则下一次报时一次报时时刻为时刻为6060,于是于是, ,这个人打开收音机的时间必在这个人打开收音机的时间必在(0,60)(0,60)内内, ,记记“等待时间短于等待时间短于10
32、10分钟分钟”为事件为事件A,则有则有 S=(0,60), A=(50, 60) S于是于是例例7 (会面问题会面问题) 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在7点到点到8点之间在某地会面点之间在某地会面, 先先到者等候另一人到者等候另一人20分钟分钟, 过时就离开过时就离开. 如果每个人可在指定的一小如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达时内任意时刻到达, 试计算两人能够会面的概率试计算两人能够会面的概率.解解 记记7点为计算时刻的点为计算时刻的0时时,以分钟为单位以分钟为单位, x, y 分别记甲、乙到达指分别记甲、乙到达指定地点的时刻定地点的时刻, 则样本空间为则样本空间为以以A表示事件表示
33、事件“两人能够会面两人能够会面”, 则显然有则显然有由题意由题意,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题,于是于是练习练习: :设有设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/1/N落在落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：概率： A=某指定的一个盒子中没有球某指定的一个盒子中没有球B=某指定的某指定的n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球C=恰有恰有n个盒子中各有一个球个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有某指定的一个盒子
34、中恰有m个球个球(mn)解解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如图一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如图1.4 条件概率条件概率甲厂乙厂合计合格品 4756441119次品255681合计5007001200问问(1) 从这批产品中任取从这批产品中任取一件，则这件产品为次一件，则这件产品为次品的概率为多少？品的概率为多少？(2)假设被告知取出的产假设被告知取出的产品是甲厂生产的，那么品是甲厂生产的，那么这件产品为次品的概率这件产品为
35、次品的概率又是多大呢？又是多大呢？记记“取出的产品是甲厂生产的取出的产品是甲厂生产的”这一事件这一事件为为A， “取出的产品为次品取出的产品为次品”这一事件为这一事件为B在事件在事件A发生的条件下，求事件发生的条件下，求事件B发生的概率，发生的概率，这就是条件概率，记作这就是条件概率，记作P( (B| |A) )一、条件概率的概念一、条件概率的概念本例中，二、条件概率的定义二、条件概率的定义定义定义 设设A、B是是S中的两个事件中的两个事件，P(A)0，则则 称为称为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率. 称为无称为无条件概率。一般地条件概率。一般地 , .
36、(1)何时何时P( (B| |A)=)=P( (B)?)?何时何时P( (B| |A)P( (B)?)?何时何时P( (B| |A)0, 则则 非非 负负 性性 ： 对对 任任 意意 一一 个个 事事 件件 B， 均均 有有0P(B|A)1； 规范性：规范性：P(S|A)=1； 可可列列可可加加性性：若若A1，A2，An，两两两两互互不相容，则有不相容，则有条件概率也满足概率的基本性质条件概率也满足概率的基本性质n条件概率的一般计算方法：条件概率的一般计算方法：(1)(1)根据根据A发生以后的情况发生以后的情况, ,在在 “ “缩减的样本空间缩减的样本空间”A中直接计算中直接计算B发生的概率，
37、就得到发生的概率，就得到 P(B|A)(2)(2)在样本空间在样本空间S S中，先求中，先求P(A)，P(AB)，再按定再按定义计算义计算P(B|A)注注: 1. : 1. 用维恩图表达用维恩图表达(1)(1)式式. .若事件若事件A已发生已发生, ,则为则为使使B也发生也发生, ,试验结果必须是既在试验结果必须是既在A中又在中又在B中的样中的样本点本点, ,即此点必属于即此点必属于AB. 因已知因已知A已发生已发生, ,故故A成为成为计算条件概率计算条件概率P(B|A)的的新的样本空间新的样本空间. .例例1 1 一盒中混有一盒中混有100100只新、旧乒乓球，各有红、只新、旧乒乓球，各有红
38、、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。概率。红白新4030旧2010设设A-从盒中随机取到一只红球。从盒中随机取到一只红球。 B-从盒中随机取到一只新球。从盒中随机取到一只新球。 缩减的样本空间缩减的样本空间B B中所含样本点个数中所含样本点个数A A发生后的缩减样本空间所含样本点发生后的缩减样本空间所含样本点的总数的总数例例2 2 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中个红球，现从袋中不放回地不放回地连取两个。已知第一次取到红球，求第二次也取到红
39、连取两个。已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率。球的概率。 方法一：缩减样本空间方法一：缩减样本空间A A中的样本点数中的样本点数方法二：在方法二：在5 5个球中不放回连取两球的取法有个球中不放回连取两球的取法有 种，种，由定义得由定义得例例3 3 设某人从一副扑克中设某人从一副扑克中(52(52张张) )任取任取1313张，设张，设A为为“至至少有一张红桃少有一张红桃”， B为为“恰有恰有2 2张红桃张红桃”，C为为“恰有恰有5 5张方块张方块”，求条件概率，求条件概率P( (B| |A) )，P( (B| |C) )解 设设A、B、C为随机事件为随机事件，P(A)0，则有则有乘法公
40、式乘法公式 P(AB)P(A)P(B|A) 当当P(AB)0时，上时，上式还可推广到三个事件的情形式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 三、概率的乘法公式三、概率的乘法公式 又又AB=BA,及及A,B的的对称性可得到对称性可得到: : P(AB)P(B)P(A|B) P(B)0利用它们可计算两个事件同时发生的概率利用它们可计算两个事件同时发生的概率.例例4 4 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的不放回抽签的方式确定。假设被抽的1010个试题中有个试题中有4 4个难题签，按甲
41、、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。 解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件 例例5 5 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只，个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球同的球，若从盒中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得白次
42、取得白球、第球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。四、全概率公式四、全概率公式n在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件转化为在不同情况或不同原因下发生的若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。n如在例4中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计算如下：甲抽到难签的概率甲抽到难签的概率定理定理1 1 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，设设A1,A2,An是一个完是一个完备事件组，且备事件组，且P( (Ai)0,()0,(i=1,2,),=1,2,),则对任一
43、事件则对任一事件B, ,有有 此公式称为全概率公式全概率公式。注：注：公式指出，在复杂情况下直接计算公式指出，在复杂情况下直接计算P(B)不易时，可根据不易时，可根据具体情况构造具体情况构造S一划分一划分Ai，使事件，使事件B发生的概率是各事件发生的概率是各事件Ai发生的条件下引起事件发生的条件下引起事件B发生的概率的总和。发生的概率的总和。特别地：特别地：若取若取n=2，A1A2AnB例例5 5 市市场场上上有有甲甲、乙乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家
44、家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为2 2、1 1、3 3，试试求求市市场场上上该品牌产品的次品率。该品牌产品的次品率。例例6 6 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100100件为一批，假定每一批产品中的次品件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过最多不超过4 4件，且具有如下的概率：件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数一批产品中的次品数 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4概概 率率0.1 0.2 0.4 0.2 0.10.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取现进行抽样检验，从每批中随机抽取1010件来检验，若发现其中有件来检验，若发现其中有次品，
45、则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。五、五、贝叶斯公式贝叶斯公式(Bayes) 定理定理2 2 设试验设试验E的样本空间为的样本空间为S，设设A1,A2,An是一是一完备事件组，则对任一事件完备事件组，则对任一事件B, ,P(B)0, ,有有公式中，公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为原因的分别称为原因的先验概率先验概率和和后验后验概率概率， P(Ai)是在没有进一步消息（不知道是在没有进一步消息（不知道B是否发生）是否发生）的情况下诸事件发生的概率。当获得新的消息（知道的情况下诸事件发生的概率。当获得新的消息（知道B发
46、发生），人们对诸事件发生的概率生），人们对诸事件发生的概率P(Ai|B)有了新的估计，有了新的估计，Bayes公式从数量上刻画了这种变化。公式从数量上刻画了这种变化。 例6中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的的概率是多少？概率是多少？例例7 7 有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有2个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有2个个红红球球，1个个白白球球。这这6个个球球手手感感上上不不可可区区别别。今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后后再再从从乙乙袋袋中中任任取取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的
47、概率？甲乙若若一一病病人人高高烧烧到到4 40 0，医医生生要要确确定定他他患患有有何何种种疾疾病病，则则必必须须考考虑虑病病人人可可能能发发生生的的疾疾病病B1,B2,Bn。这这里里 假假 定定 一一 个个 病病 人人 不不 会会 同同 时时 得得 几几 种种 病病 ， 即即B1,B2,Bn互互不不相相容容，医医生生可可以以凭凭以以往往的的经经验验估估计计出出发发病病率率P(Bi)，这这通通常常称称为为先先验验概概率率。进进一一步步要要考考虑虑的的是是一一个个人人高高烧烧到到4 40 0时时，得得Bi这这种种病病的的可可能能性性，即即P(Bi|A)的的大大小小，它它可可由由B Ba ay y
48、e es s公公式式计计算算得得到到。这这个个概概率率表表示示在在获获得得新新的的信信息息( (即即知知病病人人高高烧烧4 40 0) )后后，病病人人得得B1,B2,Bn这这些些疾疾病病的的可可能能性性的的大大小小，这这通通常常称称为为后后验验概概率率。有有了了后后验验概概率率 ， 就就 为为 医医 生生 的的 诊诊 断断 提提 供供 了了 重重 要要 依依 据据 。若我们把若我们把A视为观察的视为观察的“结果结果”，把，把B1,B2,Bn理理解为解为“原因原因”，则，则BayesBayes公式反映了公式反映了“因果因果”的的概率规律，并作出了概率规律，并作出了“由果朔因由果朔因”的推断。的
49、推断。 例例8 8 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以查有如下效果。若以A表示事件表示事件“试验反应为阳性试验反应为阳性”，以，以C表示事件表示事件“被检查者确实患有癌症被检查者确实患有癌症”，则有，则有例例9 9数数字字通通讯讯过过程程中中，信信源源发发射射0 0、1 1两两种种状状态态信信号号，其其中中发发0 0的的概概率率为为0.550.55，发发1 1的的概概率率为为0.450.45。由由于于信信道道中中存存在在干干扰扰，在在发发0 0的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.90.9、0.050.05和和
50、0.050.05接接收收为为0 0、1 1和和“不不清清”。在在发发1 1的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.850.85、0.050.05和和0.10.1接接收收为为1 1、0 0和和“不不清清”。现现接接收收端端接接收收到到一一个个“1”“1”的的信号。问发端发的是信号。问发端发的是0 0的概率是多少的概率是多少? ?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+ 0.067条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式例1 袋中有袋中有a只红球只红球，b只白球只白球b0，现从此袋中取两次现从此袋中取两次球，每次各取一只
51、球，分有放回和无放回两种情况，球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记记A表示事件表示事件“第一次所取的球是红色的球第一次所取的球是红色的球”，B表表示事件示事件“第二次所取的球是红色的球第二次所取的球是红色的球”。求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。概率。1.5 事件的独立性事件的独立性n设设A、B是随机试验是随机试验E的两个事件，若的两个事件，若P(A)0，则可则可定义定义P(B|A)，即即A发生条件下的发生条件下的B发生的概率。
52、发生的概率。n一般地，一般地，P(B)P(B|A)，即事件即事件A发生对事件发生对事件B发生的发生的概率是有影响的。概率是有影响的。定义定义1 1 若若两两个个事件事件A、B满足满足P(AB)P(A)P(B)则称则称A、B独立，或称独立，或称A、B相互独立。相互独立。 注注: : 两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念。当念。当 ， 时，时，A、B相互独立与互不相相互独立与互不相容不能同时成立容不能同时成立. . 定理定理1 1 设设A，B是两事件，若是两事件，若A，B相互独立，且相互独立，且P( (B)0)0，则则P( (A| |B)=)=P(
53、A). 反之亦然反之亦然. .一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性例例2 2 从一副不含大小王的从一副不含大小王的扑克牌中任取一张扑克牌中任取一张, 记记 A= 抽抽到到K , B= 抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 问事件问事件A、B是否独立是否独立? 解解 方法一方法一 利用定义判断利用定义判断. 由由得到得到 ,故事件故事件A、B独立独立.方法二方法二 利用条件概率判断利用条件概率判断. .由由得到得到 ,故事件故事件A、B独立独立.注：注：判断事件的独立性，可利用定义或通过计算事件概率判断事件的独立性，可利用定义或通过计算事件概率来判断。但在实际应用中，常根据问题的实际意义去判断
54、来判断。但在实际应用中，常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。两事件是否独立。例如：甲、乙两人向同一目标射击，例如：甲、乙两人向同一目标射击，记事件记事件A=甲命中甲命中，B=乙命中乙命中因因“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，故的概率，故A, B独立。独立。定理定理2 2 设事件设事件A、B相互独立相互独立，则事件则事件A与与 ， 与与B B， 与与 也相也相互独立。互独立。证明证明 由由 ，得，得定义定义2 若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：二、有限个事件的独立性二、有限个事件的独立性设A1，A2，An是n(n1)个事件个事件，若若对任意对任意k 个事个事件
55、件 均满足均满足等式等式 定义定义3 3 设设A1，A2，An是是n个事件个事件, ,若其中任意两个若其中任意两个事件之间均相互独立事件之间均相互独立, , 则称则称A1，A2，An 两两独立两两独立. .性质性质1 1 若事件若事件A1, A2, An 相互独立相互独立, , 则其中则其中任意任意 个事件也相互独立个事件也相互独立 性质性质2 若若n个事件个事件A1, A2 , An 相互独立相互独立, 则将则将A1, A2 , An中任意中任意m 个事件换成它们的对立事件个事件换成它们的对立事件, 所得所得的的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立. 事件独立性的应用举例事件独立性的应用举例1
56、、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 2、乘法公式的简化乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 例3 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件， C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.90.8=0.98 三、伯努利概型三、伯努利概型 设随机试验只有两种可能的结果设随机试验只有两种可能的结果: 事件事件A发生发生(记为记为A ) 或事件
57、或事件A不发生不发生(记为记为 ), 则称这样的试验为则称这样的试验为伯努利伯努利(Bermourlli)试验试验. 设设将伯努利试验独立地重复进行将伯努利试验独立地重复进行n次次, , 称这一串重复的独立试验为称这一串重复的独立试验为n重重伯努利试验伯努利试验, , 或简称为或简称为伯努利概型伯努利概型. .注注: :n重伯努利试验是一种很重要的数学模型重伯努利试验是一种很重要的数学模型, 在实际问题中具有广泛在实际问题中具有广泛的应用的应用.其特点是其特点是:事件事件A在每次试验中发生的概率均为在每次试验中发生的概率均为p,且不受其他且不受其他各次试验中各次试验中A是否发生的影响是否发生的
58、影响. 定理定理3（伯努利定理）（伯努利定理） 设在一次试验中设在一次试验中,事件事件A发生的概率为发生的概率为 则在则在n重贝努里试验中重贝努里试验中,事件事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为证明证明 记记“第第i次试验中事件次试验中事件A发生发生”这一事件为这一事件为Ai , i=1,2,n,则则“事件事件A恰好发生恰好发生k次次”（记作（记作Bk）是下列）是下列 个两两不相容事件的并：个两两不相容事件的并：故有故有其中其中 是取遍是取遍1,2,n中的任意中的任意k个数个数(共有共有 种取种取法法), j1,j2 ,jn-k是取走是取走 后剩下的后剩下的n-k个数个数. 而对任意取
59、出的而对任意取出的 ,根据独立性及根据独立性及 , 有有推论推论 设在一次试验中设在一次试验中,事件事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1), 则在则在n重贝努里试验中重贝努里试验中, 事件事件A在第在第k次试验中的才首次次试验中的才首次发生的概率为发生的概率为 注意到注意到“事件事件A第第k次试验才首次发生次试验才首次发生”等价于在前等价于在前k次试验组成的次试验组成的k重伯努利试验中重伯努利试验中“事件事件A在前在前k-1次试验次试验中均不发生而第中均不发生而第k次试验中事件次试验中事件A发生发生”,再由伯努利再由伯努利定理即推得定理即推得. 例例4 4 一条自动生产线上的产品一条自动生
60、产线上的产品, , 次品率为次品率为4%, 4%, (1) (1) 从中任取从中任取1010件件, , 求至少有两件次品的概率求至少有两件次品的概率; ;(2) (2) 一次取一次取1 1件件, , 无放回地抽取无放回地抽取, ,求当取到第二件次品时求当取到第二件次品时, , 之前之前已取到已取到8 8件正品的概率件正品的概率. .解解:(1):(1)由于由于一条自动生产线上的产品很多一条自动生产线上的产品很多,当抽取的件数相对较少当抽取的件数相对较少时时,可将无放回抽取近似看成是有放回抽取可将无放回抽取近似看成是有放回抽取.每抽每抽1件产品看成是件产品看成是一次试验一次试验,抽抽10件产品相
61、当于做件产品相当于做10次重复试验次重复试验,且每次试验只有且每次试验只有“次品次品”或或“正品正品”两种可能结果两种可能结果,所以看成是所以看成是10重重伯努利试验伯努利试验.设设A 表示表示“任取任取1件次品件次品”，则，则 p=P(A)=0.04, 设设B表示表示“10件中至少有两件次品件中至少有两件次品”，由，由伯努利公式有伯努利公式有例例4 4 一条自动生产线上的产品一条自动生产线上的产品, , 次品率为次品率为4%, 4%, (1) (1) 从中任取从中任取1010件件, , 求至少有两件次品的概率求至少有两件次品的概率; ;(2) (2) 一次取一次取1 1件件, , 无放回地抽
62、取无放回地抽取, ,求当取到第二件次品时求当取到第二件次品时, , 之前之前已取到已取到8 8件正品的概率件正品的概率. .解解:(2):(2)由题意，至第二次抽到次品时，共由题意，至第二次抽到次品时，共抽取了抽取了10次，前次，前9次中抽次中抽得得8件正品件正品1件次品件次品. 设设C 表示表示“前前9次中抽得次中抽得8件次品件次品1件正品件正品”D表示表示 “第十次抽得次品第十次抽得次品”, 则由独立性和则由独立性和伯努利公式伯努利公式, 所求概率所求概率例例5 5 设某种高射炮每次击中飞机的概率为设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.20.2，问至少，问至少需要多少这种高炮同时独立发射需要多少这种高炮同时独立发射( (每门射一次每门射一次) )，才能，才能使击中飞机的概率达到使击中飞机的概率达到95%95%以上以上。 Ai(i=1,2,n)表示第表示第i i门高炮击中飞机的事件，则由题意门高炮击中飞机的事件，则由题意
