第六章 平行四边形 4 多边形的内角和与外角和(一) 复习回顾复习回顾 三角形的内角和是多少度？与形状、大小有关吗三角形的内角和是多少度？与形状、大小有关吗? ?你是如何推导出来的？你是如何推导出来的？度量度量 拼角拼角 （（2）移拼：通）移拼：通过作平行作平行线把三角形三个内角平移把三角形三个内角平移转化到一点化到一点处（（1）剪拼：把三角形的三个角剪下来拼到一个）剪拼：把三角形的三个角剪下来拼到一个顶点点处 四四边形、五形、五边形以及其它多形以及其它多边形的内角和形的内角和还会是会是1800吗?如果不是，又会是多少呢如果不是，又会是多少呢问题引入问题引入 探究四边形的内角和探究四边形的内角和3、将四边形转化成三角形求内角和将四边形转化成三角形求内角和1、度量、度量 ；；2、拼角；、拼角；不精确不精确操作不方便操作不方便精确、省事且有理论根据精确、省事且有理论根据 探究五边形的内角和探究五边形的内角和3、将五边形转化成三角形求内角和将五边形转化成三角形求内角和1、度量、度量 ；；2、拼角；、拼角；不精确不精确不能用不能用 3×1800=54004×1800-1800=54005×1800-3600=54004×1800-1800=54001800+3600=54002×1800-1800=5400方法归纳：方法归纳：⌒⌒⌒⌒ 仿照五边形分割成三角形的方法完成下表：仿照五边形分割成三角形的方法完成下表：01180180°°122 2××180180°°233 3××180180°°344 4××180180°°(n-3)(n-2)(n-2)(n-2)××180180°°探究多边形的内角和探究多边形的内角和 从从n边形的一个顶点可以引出边形的一个顶点可以引出 条对角线，条对角线，把把n 边形分成边形分成 个三角形。
个三角形 多边形内角和定理：多边形内角和定理： n边形的内角和是边形的内角和是 （（n≥3的整数）的整数） 归纳结论：归纳结论：注意：注意： 1.多边形的内角和只与边数有关，与形状、大小无关多边形的内角和只与边数有关，与形状、大小无关 2.多边形的内角和一定是多边形的内角和一定是1800的整数倍的整数倍 3.多边形的边数每增加一边时，内角和就增加多边形的边数每增加一边时，内角和就增加180°（（n-3)(n-2)(n-2) ×180° 3．一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？解：设多边形的边数为n，则解得 n = 10∴这个多边形是十边形n-2）×1800=144001、从多边形的一个顶点可以引出7条对角线，则这个多边形是 边形．十十2、从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成五个三角形，则这个多边形是 边形． 七七巩固新知：巩固新知： 观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点？正多正多边形定形定义：：在平面内，在平面内，每个内角都每个内角都相等相等、、每条每条边也都也都相等相等的多的多边形叫做正多形叫做正多边形。
形 1.1.一个多一个多边形的形的边都相等，它的内角一定都相都相等，它的内角一定都相等等吗？？2.2.一个多一个多边形的内角都相等，它的形的内角都相等，它的边一定都相一定都相等等吗？？辨一辨：辨一辨：菱形菱形长方形长方形 1 1、正三角形的每个内角为、正三角形的每个内角为 度；度； 正四边形（正方形）的每个内角为正四边形（正方形）的每个内角为 度；度； 正五边形正五边形的每个内角为的每个内角为 度；度； 正六边形正六边形的每个内角为的每个内角为 度；度； 探究正多边形的内角探究正多边形的内角2 2、正、正n n 边形的内角是多少度？边形的内角是多少度？归纳：归纳：正多边形的内角等于正多边形的内角等于（（n-2））×1800÷n例：一个正多边形的每个内角都是例：一个正多边形的每个内角都是150°，， 则这个正多边形是正则这个正多边形是正 边形？边形？十二十二6090108120 4．若一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数是( ) A．9 B．8 C．7 D．65．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为( ) A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或71.一个多边形的边数是10，这个多边形的内角和是 .14400B3．下列角度不可能是多边形的内角和的是( ) A．1080° B．960° C．1440° D．540°2．一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是 边形. DD十二十二自我检测：自我检测： 课堂小结课堂小结1、任意多边形的内角和、任意多边形的内角和（（1）从）从n边形的一个顶点可以引出边形的一个顶点可以引出 条对角线，条对角线， 把把n 边形分成边形分成 个三角形。
个三角形2）内角和定理：）内角和定理：n 边形的内角和是边形的内角和是 .2、正多、正多边形的内角形的内角（（1）正多）正多边形的概念：在平面内，形的概念：在平面内，每个内角都相等每个内角都相等、、 每条每条边也都也都相等相等的多的多边形叫做正多形叫做正多边形2）正多）正多边形的内角等于形的内角等于 .（（n-2））×1800÷n（（n-3)(n-2)(n-2)·180°一、知识：一、知识：二、方法：二、方法：三、思想：三、思想： 转化与化归思想、分类讨论思想转化与化归思想、分类讨论思想几何图形的拼、割的方法几何图形的拼、割的方法 作业布置作业布置 书本书本P155 习题习题6.7必做：必做：1，，2，，3 选做：选做：4 1．如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35°C直击中考：直击中考： 2．如图，四边形．如图，四边形ABCD中，中，∠∠A+∠∠B=200°，，∠∠ADC、、∠∠DCB的平分线相交于点的平分线相交于点O，则，则∠∠COD的度数是的度数是 ．．100° 3．如图，一个角．如图，一个角60°的三角形纸片，剪去这个的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则角后，得到一个四边形，则1+∠∠2= ．．240° 2．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2= ．24° 6．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（，那么原多边形的边数为（ ））A．．7B．．7或或8C．．8或或9 D．．7或或8或或98．如图，在五边形．如图，在五边形ABCDE中，中，∠∠A+∠∠B+∠∠E=300°，，DP，，CP分分别平分别平分∠∠EDC，，∠∠BCD，则，则∠∠P的的度数是（度数是（ ））A．．60° B．．65° C．．55° D．．50°CA 4.4.在四边形在四边形ABCDABCD中，中，∠∠A=120A=1200 0，，∠∠B B：：∠∠C C：：∠∠D D = 3= 3：：4 4：：5 5，求，求∠∠B B，，∠∠C C，，∠∠D D的度数。
的度数解：设解：设∠∠B B，，∠∠C C，，∠∠D D的度数分别是的度数分别是3x, 4x , 5x 3x, 4x , 5x 度，由四边形的内角和等于度，由四边形的内角和等于3603600 0可得：可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 24012x = 240 x = 20x = 20∴ ∴ 3x = 60,4x = 80,5x = 1003x = 60,4x = 80,5x = 100答：答：∠∠B B，，∠∠C C，，∠∠D D分别为分别为60600 0，，80800 0, 100, 1000 0 方法方法1：如图：如图1，连结，连结AD、、AC，五边形的，五边形的 内角和为：内角和为：3×180°=540°方法方法2 2：如：如图2 2，，连结ACAC，，则五五边形内角和形内角和 为：：360360°°+180+180°°=540=540°°方法方法3 3：如：如图3 3，在，在ABAB上任取点上任取点F F，，连FCFC、、FDFD、、FEFE，，则五五边形的内角和形的内角和为：：4 4××180-180180-180°°=540=540°°。
方法方法4 4：如：如图4 4，在五，在五边形内任取一点形内任取一点O O，，连结OAOA、、OBOB、、OCOC、、ODOD、、OEOE，，则五五边形内角和形内角和为：： 5 5××180180°°-360-360°°=540=540°° 方法方法5 5：如：如图5 5，在，在ABAB上任取一点上任取一点F F，，连结FDFD，，则五五边形的内角和形的内角和为：： 2 2××360360°°-180-180°°=540=540°°方法方法6 6：如：如图6 6，在五，在五边开外任取一点开外任取一点O O，，连结OAOA、、OBOB、、OCOC、、ODOD、、OEOE，，则五五边形内角和形内角和为：： 4 4××180180°°-180-180°°=540=540°°小小结：：纵观以上各种以上各种证明思路，其共同点是明思路，其共同点是通通过图形分割，把五形分割，把五边形形问题转化化为熟悉的熟悉的三角形、四三角形、四边形形问题来解决。
来解决 CBA21ABDCE 凑到边上的一点 凑到三角形内一点 凑到三角形外一点 例例1 1．如．如图6-246-24，四，四边形形ABCDABCD中，中，∠∠A+∠C=180A+∠C=180°°，，∠∠B B与与∠∠D D有怎有怎样的关系？的关系？ 方法归纳：方法归纳：1、从一个顶点引出所有对角线，、从一个顶点引出所有对角线，分割成分割成三个三角形三个三角形，，五边形的内角和为：五边形的内角和为：3×1800=54002、在一边上任取一点与另三个顶、在一边上任取一点与另三个顶点连接，分割成点连接，分割成四个三角形四个三角形，，五边形的内角和为：五边形的内角和为：4×1800-1800=5400⌒⌒ 3、在五边形内任取一点与五个顶、在五边形内任取一点与五个顶点连接，分割成点连接，分割成五个三角形五个三角形，，五边形的内角和为：五边形的内角和为：5×1800-3600=54004、在五边形外任取一点与五个顶、在五边形外任取一点与五个顶点连接，分割成点连接，分割成四个三角形四个三角形，，五边形的内角和为：五边形的内角和为：4×1800-1800=5400 3、任作一条对角线，分割成、任作一条对角线，分割成一个一个三角形和一个四边形三角形和一个四边形，，五边形的内角和为：五边形的内角和为：1800+3600=54004、分割成、分割成二个四边形二个四边形，，五边形的内角和为：五边形的内角和为：2×3600-1800=5400⌒⌒ 。