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1、总 复 习 1高数总复习PPT课件 (2) 一、向量代数与空间解析几何一、向量代数与空间解析几何 基本要求：基本要求：理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示法，掌握向量的坐标表示式及向量的运算（线性运算、示法，掌握向量的坐标表示式及向量的运算（线性运算、数量积向量积及混合积），会求单位向量、方向数及方向数量积向量积及混合积），会求单位向量、方向数及方向余弦，会求两向量的夹角及向量在另一向量上的投影；掌余弦，会求两向量的夹角及向量在另一向量上的投影；掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互
2、关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。会求点到平互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。会求点到平面和点到直线的距离。理解曲面方程的概念，了解常用二面和点到直线的距离。理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影并会求方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影并会求其方程。其方程。高数总复习PPT课件 (2)重点与难点：重点与难点：向量的坐标表示式及向量的运算，平面
3、、直线向量的坐标表示式及向量的运算，平面、直线方程及其位置关系，旋转曲面、柱面，空间曲线在坐标面上方程及其位置关系，旋转曲面、柱面，空间曲线在坐标面上的投影的投影 。题型：题型：1.向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积 2.投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线 3.求平面与直线方程求平面与直线方程 4.点线面之间的关系点线面之间的关系高数总复习PPT课件 (2)1.1.已知已知，求与，求与同同时垂直的垂直的单位向量。位向量。2.2.求求过点（点（2 2，0 0，-3-3）且与直）且与直线垂直的平面方程。垂直的平面方程。3.3. 求求过点点且与两平面且与两平面和和平行的直线方程。平行的直线方
4、程。4 4求求过点点且通且通过直直线的平面方程。的平面方程。5.5. 求点求点P(3,-1,2)到直线到直线的距离的距离.高数总复习PPT课件 (2)1.1.已知已知，求与，求与同同时垂直的垂直的单位向量。位向量。解解 为所求向量所求向量 高数总复习PPT课件 (2)2.2.求求过点（点（2 2，0 0，-3-3）且与直）且与直线垂直的平面方程。垂直的平面方程。所以平面方程所以平面方程为解解 高数总复习PPT课件 (2)解解 因因为两平面的法两平面的法线向量向量不平行不平行 所以两平面相交于一直所以两平面相交于一直线 此直此直线的方向向量可作的方向向量可作为所求直所求直线的方向向量的方向向量
5、即即 所求直所求直线的方程的方程为 3.3. 求求过点点且与两平面且与两平面和和平行的直线方程。平行的直线方程。高数总复习PPT课件 (2)4 4 求求过点点且通且通过直直线的平面方程。的平面方程。的方向向量的方向向量 垂直垂直 解解 所求平面的法所求平面的法线向量与直向量与直线因因为点点(3 1 2)和和(4 3 0)都在所求的平面上都在所求的平面上 所以所以所求平面的法所求平面的法线向量与向量向量与向量 也是垂直的也是垂直的 因此所求平面的法向量可取因此所求平面的法向量可取为 所求平面的方程所求平面的方程为 8(x 3) 9(y 1) 22(z 2) 0 即即8x 9y 22z 59 0
6、高数总复习PPT课件 (2)5 5求点求点P(3,-1,2)到直线到直线的距离的距离.解解 已知直线的方向向量为已知直线的方向向量为所以直线的对称式方程为所以直线的对称式方程为过点过点P(3,-1,2)垂直与已知直线的平面方程为垂直与已知直线的平面方程为即即高数总复习PPT课件 (2)得直线与平面的交点为得直线与平面的交点为解方程组解方程组则点则点P到已知直线的距离为到已知直线的距离为高数总复习PPT课件 (2)二、多元函数微分学二、多元函数微分学 基本要求：基本要求：理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性概念，及有界闭区域上连续函数的性质；
7、理解偏导数和全微性概念，及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用；了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；近似计算中的应用；了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数；了解空间曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面和法导数；了解空间曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面和法线的概念并会求其方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解线的概念并会求其方程；了解二元函数的二阶
8、泰勒公式；理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。高数总复习PPT课件 (2)重点与难点：重点与难点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数偏导数的求法，多元函数最大值、最
9、小值的求法，元复合函数偏导数的求法，多元函数最大值、最小值的求法，条件极值的求法。条件极值的求法。题型：题型：1.抽象函数的偏导数抽象函数的偏导数 2.多元函数的极值多元函数的极值 3.微分法的几何应用微分法的几何应用 4.多元函数极限多元函数极限高数总复习PPT课件 (2)1.求极限求极限2.求偏导数求偏导数（1 1）设, , 求求 , ,其中其中具有二具有二阶连续偏偏导数数. .（2）设）设 其中其中 具有连续的二阶偏导数，具有连续的二阶偏导数，求求（3 3）设 求求 高数总复习PPT课件 (2)4.在第一挂限内做椭球面在第一挂限内做椭球面 的切平面，使该的切平面，使该切平面与三坐标面所围
10、成的四面体的体积最小。求这切平切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切平面的切点，并求此最小体积。面的切点，并求此最小体积。3.求螺旋线求螺旋线在点在点处处的切线及法平面方程的切线及法平面方程.高数总复习PPT课件 (2)1 1、求下列极限：求下列极限：（2 2）（4 4） 高数总复习PPT课件 (2)2 2（1 1）设, , 求求 , ,其中其中具有二具有二阶连续偏偏导数数. .解解: 高数总复习PPT课件 (2)2(2) 设设 其中其中 具有连续的二阶偏导数，具有连续的二阶偏导数，解解 求求高数总复习PPT课件 (2)2(3)2(3)设 求求 解解: :此方程此方程组可确定两个一元
11、可确定两个一元隐函数函数方程两方程两边对x求求导，得，得 即即 在在条件下，有条件下，有 高数总复习PPT课件 (2)高数总复习PPT课件 (2)解解所以螺旋线在点所以螺旋线在点处的切线的方向向量处的切线的方向向量(切向量切向量)为为:切线方程为切线方程为:法平面为法平面为:或或即即3、求螺旋线求螺旋线在点在点处处的切线及法平面方程的切线及法平面方程.对应于点对应于点的的的值为的值为:高数总复习PPT课件 (2)4、 在第一挂限内做椭球面在第一挂限内做椭球面 的切平面，的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切平面的切点，并
12、求此最小体积。切平面的切点，并求此最小体积。解：解：设切点为设切点为则则切平面为切平面为四面体体积为四面体体积为高数总复习PPT课件 (2)构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 高数总复习PPT课件 (2)总 复 习 2高数总复习PPT课件 (2)三、多元函数积分学三、多元函数积分学 基本要求：基本要求：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解两类曲线三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解两
13、类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式并会运用平面曲掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数； 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公握两类曲面积分的计算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公式；了解散度、旋度的概念并会计算；会用重积分、线积分、式；了解散度、旋度
14、的概念并会计算；会用重积分、线积分、面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。高数总复习PPT课件 (2)重点与难点：重点与难点：重积分、线积分、面积分的计算，格林公式，重积分、线积分、面积分的计算，格林公式，高斯公式。高斯公式。题型：题型：1.各类积分的计算各类积分的计算 2.用格林公式计算曲线积分用格林公式计算曲线积分 3.用高斯公式计算曲面积分用高斯公式计算曲面积分 4.各类积分的应用（弧长、面积、体积、质量、重各类
15、积分的应用（弧长、面积、体积、质量、重 心、转动惯量、力）心、转动惯量、力） 5.积分与路径无关、全微分求积积分与路径无关、全微分求积高数总复习PPT课件 (2)1.计算计算其中其中 是闭区域是闭区域3. 3. 计算算 2. 2. 计算计算4.4.计算算是由是由, ,其中其中D所围成的在第一象限内的闭区域。所围成的在第一象限内的闭区域。5. 在半径为在半径为的半圆形均匀薄片的直径上，接上一个一边与的半圆形均匀薄片的直径上，接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为使整个均匀薄片的重心直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的矩形薄片另一边的长度应
16、是多少？恰好落在圆心上，问接上去的矩形薄片另一边的长度应是多少？高数总复习PPT课件 (2)6. 6. 计算算, , 其中其中是由曲面是由曲面与平面与平面和和所围成的闭区域。所围成的闭区域。的公共部分的公共部分.其中其中是两个球是两个球和和7.8. 8. 计算算, , 其中其中是由曲面是由曲面与与所围成的闭区域所围成的闭区域.9.9.计算算, ,其中其中是由不等式是由不等式所确定的闭区域。所确定的闭区域。高数总复习PPT课件 (2)1其中其中 是闭区域是闭区域解解分部积分法分部积分法高数总复习PPT课件 (2)2 2 计算计算解解. . 积分域如图积分域如图. . 高数总复习PPT课件 (2)
17、3 3 计算算 于是于是也可由区域的对称性直接得到结果为也可由区域的对称性直接得到结果为0解：解： D (x y)| 1 x 0 x 1 y x 1 (x y)| 0 x 1 x 1 yx 1 高数总复习PPT课件 (2)4 4是由是由解：解： 在极坐在极坐标下下 所以所以, ,其中其中D所围成的在第一象限内的闭区域。所围成的在第一象限内的闭区域。高数总复习PPT课件 (2)5 在半径为在半径为的半圆形均匀薄片的直径上，接上一个一边与的半圆形均匀薄片的直径上，接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为使整个均匀薄片的重心直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为使整个均匀薄片的重心恰好落在圆
18、心上，问接上去的矩形薄片另一边的长度应是多少？恰好落在圆心上，问接上去的矩形薄片另一边的长度应是多少？解解建立如图所示的直角坐标系。建立如图所示的直角坐标系。设矩形的另一边长为设矩形的另一边长为则则知知由图形的对称性由图形的对称性 令令得得高数总复习PPT课件 (2)6 6、 计算算, , 其中其中是由曲面是由曲面与平面与平面和和解：解： 积分区域可表示分区域可表示为 (x y z)| 0 z xy 0 y x 0 x 1 于是于是 所围成的闭区域。所围成的闭区域。高数总复习PPT课件 (2)的公共部分的公共部分.解解当当时，时，当当时，时，截面圆周在上球面截面圆周在上球面截面圆周在下球面截面
19、圆周在下球面用柱面坐标用柱面坐标用截面法：用截面法：7其中其中是两个球是两个球和和高数总复习PPT课件 (2)8 8 计算算, , 其中其中是由曲面是由曲面与与解：解： 在柱面坐在柱面坐标下下积分区域分区域 可表示可表示为 0 2 0 r 2 于是于是 所围成的闭区域所围成的闭区域.高数总复习PPT课件 (2)9 9、计算算, ,其中其中是由不等式是由不等式解：解： 在球面坐在球面坐标下下积分区域分区域 可表示可表示为 于是于是 所确定的闭区域。所确定的闭区域。高数总复习PPT课件 (2)其中其中 为曲线为曲线2.2.，其中，其中L为圆周周及及x轴轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针
20、方向绕行）所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）.3.3.，其中，其中L L是在是在圆周周上由点（上由点（0，0）到点（）到点（1，1）的一段弧）的一段弧.其中其中 为圆周为圆周 按逆时针按逆时针 方向绕行。方向绕行。 5.证明证明:在整个在整个平面除去平面除去的负半轴及原点的开的负半轴及原点的开区域区域内是某个二元函数的全微分内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数并求出这样的一个二元函数.高数总复习PPT课件 (2)6.6.，其中，其中为锥面面被柱面被柱面所截得的有限部分。所截得的有限部分。，其中，其中 是球面是球面的下半部分的下侧；的下半部分的下侧；8.其中其中
21、 为锥面为锥面的外侧的外侧.其中其中为圆周周9. 9. 计算曲算曲线积分：分：若从若从x轴看去，看去，这圆周是取逆周是取逆时针的方向。的方向。高数总复习PPT课件 (2)其中其中 为曲线为曲线解解1、高数总复习PPT课件 (2)2 2、，其中，其中L为圆周周解解 L L1 L2 其中其中L1 x a acos t y asin t t从从0 0变到到 L2 x x y 0 x从从0 0变到到2 2a 因此因此 及及x轴轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）高数总复习PPT课件 (2)3 3、，其中，其中L L是在是在圆周周
22、解解 P P x2 y Qx sin2y 由格林公式有由格林公式有 其中其中L、AB、BO及及D如如图所示所示 故故 BL上由点（上由点（0，0）到点（）到点（1，1）的一段弧）的一段弧.高数总复习PPT课件 (2)其中其中 为圆周为圆周 按逆时针按逆时针方向绕行。方向绕行。 解解 此时不能用格林公式此时不能用格林公式 可以用可以用格林公式格林公式 4、高数总复习PPT课件 (2)在在内是某个二元函数内是某个二元函数的全微分的全微分.5、证明证明:在整个在整个平面除去平面除去的负半轴及原点的开的负半轴及原点的开区域区域内是某个二元函数的全微分内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数并
23、求出这样的一个二元函数.证证是单连通区域是单连通区域, 且且高数总复习PPT课件 (2)高数总复习PPT课件 (2)6 6、，其中，其中为锥面面被柱面被柱面所截得的有限部分。所截得的有限部分。 Dxy x2 y2 2ax 解解 高数总复习PPT课件 (2)，其中，其中 是球面是球面解解 的方程的方程为 于是于是的下半部分的下侧；的下半部分的下侧；7、高数总复习PPT课件 (2)解解添加辅助面添加辅助面取上侧取上侧.由高斯公式得由高斯公式得原式原式=其中其中 为锥面为锥面的外侧的外侧.8、高数总复习PPT课件 (2)其中其中为圆周周于是于是 提示提示 表示表示 的面的面积 是半径是半径为a的的圆 解解 设设 为平面为平面x y z 0上上 所围成的部分所围成的部分 则则 上侧的单位法向量上侧的单位法向量为为 9 9、利用斯托克斯公式，利用斯托克斯公式，计算曲算曲线积分：分：若从若从x轴看去，看去，这圆周是取逆周是取逆时针的方向。的方向。高数总复习PPT课件 (2)
