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1、3.3 3.3 圆周角和圆心角的圆周角和圆心角的关系关系(1)(1)侯雄东侯雄东一、旧知回放一、旧知回放:1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC答：答：相等相等.答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系度数的关系?B3、(05年茂名年茂名)下列命题是真命下列命题是真命题的是题的是( )1)垂直弦的直径平分这条弦垂直弦的直径平分这条弦2)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等3)圆既是轴对称图形圆既是轴对称图形,还是中心对还是中心对称图形称图形A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3
2、)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等所对的弦相等前提条件前提条件课前热身课前热身11、如如图图， O中中，AOB=100 ，则则AB弧弧的的度度数数为为_，AnB弧的度数为弧的度数为_。AOBn100 260 2、判断题：、判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等 。 (2)等弦对等弧等弦对等弧 。 (3)等弧对等弦等弧对等弦 。 (4)长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧 。 (5)平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦 。圆心角顶点发生变化时圆心角顶点发生变化时,
3、我们得到几种情况我们得到几种情况?二、探索新知：二、探索新知：A.OBC.思考：三个图中的思考：三个图中的BAC的顶点的顶点A各在圆的什么位置？各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？角的两边和圆是什么关系？.AOBC.OBCA.圆周角圆周角在射门游戏中在射门游戏中( (如图如图),),球球员射中球门的难易程度员射中球门的难易程度与他所处的位置与他所处的位置B B对球门对球门ACAC的张角的张角(ABC)(ABC)有关有关. .OBACBAC思考：图中的思考：图中的ABC的顶点的顶点B在圆的什么位置？在圆的什么位置？ABC的两的两边和圆是什么关系？边和圆是什么关系？圆周角圆周角探索探索:你能
4、你能仿照圆心角的定义给仿照圆心角的定义给圆周角圆周角下个定义吗下个定义吗?.OBCA特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义: 顶点在圆顶点在圆上上,并且两边都和圆相并且两边都和圆相交的角叫交的角叫圆周角圆周角.练习：练习：1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图2、指出图、指出图中的圆周中的圆周角。角。AOBCACO ACB BCO OAB BAC OAC ABO CBO ABC当球员在当球员在B,D,EB,D,E处射门时
5、处射门时, ,他所处的位置对球门他所处的位置对球门ACAC分别形成三个张角分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.ABC, ADC,AEC.这这三个角的大小有什么关三个角的大小有什么关系系?.?.O OB BC CBACDED DE E生活实践生活实践A An 为了解决这个问题为了解决这个问题, ,我们先探究一条弧所对的圆我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系周角和圆心角之间有的关系. .类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等. .在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周
6、角圆周角有什么关系？有什么关系？OOOABCABCABCn提示提示:注意注意圆心圆心与与圆周角圆周角的位置关系的位置关系.如图如图, ,观察观察弧弧ACAC所对的所对的圆圆周周角角ABCABC与与圆圆心心角角AOCAOC, ,它们的大小有什么关系它们的大小有什么关系? ?说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.n提示提示:注意注意圆心圆心与与圆周角圆周角的位置关系的位置关系.ABCOABCOOABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系1 1. .首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)
7、(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .解解:AOC:AOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OABCA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条一条弧所对的弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .理解并掌理解并掌握这个握这个模模型型.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?2.2.当当
8、圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n提示提示: :能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条一条弧所对的弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .OABCD圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 ABC = AOC.ABC = AOC.nABD = AOD,CBD = ABD = AOD,CBD = COD,COD,如
9、果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的外部时的外部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n提示提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: : ABC = AOC. ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条一条弧所对的弧所对的圆周角等于它所圆周角等于它所对的圆心角的一半对的圆心角的一半. .DOABC圆周角圆周角和和圆心角圆
10、心角的关系的关系nABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,圆周角圆周角定理定理综上所述综上所述, ,圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC的大小关系是的大小关系是: :圆周角定理圆周角定理: :一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对 的的圆心角圆心角的一半的一半. .n提示提示:圆周角定理是承上启下的知识点圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视要予以重视.OABCOABCOABC即即 ABC = AOC.ABC = AOC.DD圆心在角的边圆心在角的边圆心在角的边圆心在角的边上上上上圆心在角圆心在角圆心在角圆心在角外外外
11、外圆心在角圆心在角圆心在角圆心在角内内内内如图3， O是ABC的外接圆，已知ABO=35度，则ACB的大小为（） ABCO图3如图10，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD=40,则DCF等于 例例1.如图：如图：OA、OB、OC都是都是 O的半径的半径 AOB=2BOC. 求证：求证：ACB=2BAC.AOB=2BOCAOBCACB=2BAC证明：证明：规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:AB所对圆周角是所对圆周角是ACB
12、,圆心角是圆心角是AOB.则则ACB=AOB.BC所对圆周角是所对圆周角是BAC,圆心角是圆心角是BOC,则则BAC=BOCACB=AOBBAC=BOC练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则则ACB=_。OABCBAO.70x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数130AO.X120CCDB3、如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为为圆心，圆心，C、D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=500，则则CAD=_25做做看，收获知多少？做做看，收获知多少？一、判断一、判断1 1、顶点在圆上的角叫圆周角。、顶点在圆上的角叫圆周角。2 2、圆周角的度数等于所对弧的
13、度数的一半。、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。 .O3636或或1441442 2 、如图，已知圆心角如图，已知圆心角AOB=100AOB=100，求圆周角，求圆周角ACB=_ACB=_、ADB=_ADB=_。DAOCB1、半径为、半径为R R的圆中，有一弦分圆的圆中，有一弦分圆周成周成1 1：4 4两部分，则弦所对的圆两部分，则弦所对的圆周角的度数是周角的度数是 。 二、计算二、计算1301305050n圆周角圆周角 顶点在圆上顶点在圆上, ,它它的两边分别与圆还有另一个的两边分别与圆还有另一个交点交点, ,像这样的角像这样的角, ,叫做叫做圆周圆周角角. .知识回顾知识回顾圆周角定理圆
14、周角定理 一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .ABCOOABCOABCOA AB BC C一一、这、这节课节课主要学习了两个知识点：主要学习了两个知识点：1、圆周角定义。、圆周角定义。2、圆周角定理及其定理应用。、圆周角定理及其定理应用。二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了透了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法和分类讨论的思想方法。的思想方法。三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运也是中考的一个重要考点
15、，望同学们灵活运用。用。2.2.如图如图(2),(2),在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关系的大小有什么关系? ? 为什么为什么? ?3.3.如图如图(3),AB(3),AB是直径是直径, ,你能确定你能确定C C的度数吗的度数吗? ?拓展拓展化化心心动为动为行行动动1.1.如图如图(1),(1),在在O O中中,BAD =50,=50,求求C C的大小的大小. .OCABD(1)OBACDE(2)OABC(3)B=D=EC=130C=905、如图，在、如图，在 O中，中，BC=2DE，BOC=84，求，求A的度数的度数。 4 4、ABAB、ACAC为为O O的两条弦，延长的
16、两条弦，延长CACA到到D D，使，使AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求，求BOCBOC的度数。的度数。解解AB=ACABD=ADB=35BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140解解:连接连接CDBOC=84BOC=84 BAD= BOC=42BAD= BOC=42 BC=2DEDEBC=2DEDE为为4242 的弧的弧DCE=42DCE=42 =21 =21 A=BDC-DCE=42A=BDC-DCE=42 -21-21 =21=21 1、O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）（A）30（B）150（C）30或150（D）)602、AB
17、C中，B90，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）（A）60（B）80（C）100（D）)1203、如图，ABC是O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60的角共有( )个（A）3（B）4（C）5（D）64、如图，ABC内接于O，OBC=25，则A的度数为（ ）（A）70（B）65（C）60（D）)506一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？7、已知：如图，ABC是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：【例2】（07沈阳中考）如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC；（2）若BE3，ED6，求AB的长例题2图如图（1），已知AB是O的直径，弦BC=9，连结AC，D是圆周上一点，连结DB、DC，且，求O的直径AB的长。_ O_ D_ C_ B_ A作业作业:第第185185页页: :1515、1616题题结束寄语盛年不重来盛年不重来, ,一日难再晨一日难再晨, ,及时宜自勉及时宜自勉, ,岁月不待人岁月不待人. .下课了!
