《导与练普通班高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导与练普通班高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用理（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第9 9节节函数模型及其函数模型及其应应用用知知识链识链条完善条完善考点考点专项专项突破突破解解题规题规范夯范夯实实 知知识链识链条完善条完善 把散落的知把散落的知识连识连起来起来【教材【教材导读导读】 1.1.函数模型函数模型应应用常用常见见的有哪三种情形的有哪三种情形? ?提示提示: :(1)(1)利用利用给给定的函数模型解决定的函数模型解决实际问题实际问题; ;(2)(2)建立确定性函数模型解决建立确定性函数模型解决实际问题实际问题; ;(3)(3)建立建立拟拟合函数模型解决合函数模型解决实际问题实际问题. .2.2.应应用函数模型解决用函数模型解决实际问题实际问题的一般步的一般步骤骤
2、有哪些有哪些? ?提示提示: :(1)(1)审题审题;(2);(2)建模建模;(3);(3)求模求模;(4);(4)还还原原. .知知识识梳理梳理 1.1.三种函数模型性三种函数模型性质质比比较较y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性单调单调 函数函数单调单调 函数函数单调单调 函数函数增长速度增长速度越来越越来越 . .越来越越来越 . .相对平稳相对平稳图象的图象的变化变化随随x x值增大值增大, ,图象图象与与y y轴接近平行轴接近平行随随x x值增大值增大, ,图图象
3、与象与x x轴接近轴接近平行平行随随n n值变化而值变化而不同不同递递增增递递增增递递增增快快慢慢ax+b ax+b axax2 2+bx+c+bx+c3.3.解函数解函数应应用用问题问题的步的步骤骤(1)(1)审题审题: :弄清弄清题题意意, ,分清条件和分清条件和结论结论, ,理理顺顺数量关系数量关系, ,初步初步选择选择数学模型数学模型; ;(2)(2)建模建模: :将自然将自然语语言言转转化化为为数学数学语语言言, ,将文字将文字语语言言转转化化为为符号符号语语言言, ,利用利用数学知数学知识识, ,建立相建立相应应的数学模型的数学模型; ;(3)(3)解模解模: :求解数学模型求解数
4、学模型, ,得出数学得出数学结论结论; ;(4)(4)还还原原: :将数学将数学问题还问题还原原为实际问题为实际问题的意的意义义. .以上以上过过程用框程用框图图表示如下表示如下: :【重要【重要结论结论】 1.1.在区在区间间(0,+)(0,+)上上, ,尽管函数尽管函数y=ax(a1),y=logy=ax(a1),y=loga ax(a1)x(a1)和和y=xy=xn n(n0)(n0)都是都是增函数增函数, ,但它但它们们的增的增长长速度不同速度不同, ,而且不在同一个而且不在同一个“档次档次”上上. .2.2.随着随着x x的增大的增大,y=ax(a1),y=ax(a1)的增的增长长速
5、度越来越快速度越来越快, ,会超会超过过并并远远远远大于大于y=xy=xn n(n0)(n0)的增的增长长速度速度, ,而而y=logy=loga ax(a1)x(a1)的增的增长长速度速度则则会越来越慢会越来越慢. .3.3.总总会存在一个会存在一个x x0 0, ,使得当使得当xxxx0 0时时, ,有有logloga axxxxn naax x. .夯基自夯基自测测A A C C2.2.某种某种细细胞胞, ,每每1515分分钟钟分裂一次分裂一次(12)(12)这这种种细细胞由胞由1 1个分裂成个分裂成4 0964 096个个需需经过经过( ( ) )(A)12(A)12小小时时(B)4(
6、B)4小小时时(C)3(C)3小小时时(D)2(D)2小小时时解析解析: :2 21212=4 096,=4 096,分裂了分裂了1212次次. .共用共用时时1215=1801215=180分分钟钟=3=3小小时时. .A A3.3.某种某种动动物繁殖量物繁殖量y(y(只只) )与与时间时间x(x(年年) )的关系的关系为为y=alogy=alog3 3(x+1),(x+1),设这设这种种动动物物第第2 2年有年有100100只只, ,到第到第8 8年它年它们发们发展到展到( ( ) )(A)200(A)200只只(B)300(B)300只只(C)400(C)400只只(D)500(D)50
7、0只只解析解析: :由已知得由已知得100=alog100=alog3 3(2+1),(2+1),得得a=100,a=100,则则当当x=8x=8时时,y=100log,y=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).答案答案: :2 5002 500答案答案: :y=a(1+r)y=a(1+r)x x,x,xN N5.5.某种某种储储蓄按复利蓄按复利计计算利息算利息, ,若本金若本金为为a a元元, ,每期利率每期利率为为r,r,存期是存期是x,x,本利和本利和( (本金加利息本金加利息) )为为y y元元, ,则则本利和本利和y y随存期随存期x x变变化的函数关系
8、式是化的函数关系式是.解析解析: :已知本金已知本金为为a a元元, ,利率利率为为r,r,则则1 1期后本利和期后本利和为为y=a+ar=a(1+r),y=a+ar=a(1+r),2 2期后本利和期后本利和为为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3 3期后本利和期后本利和为为y=a(1+r)3,y=a(1+r)3,x x期后本利和期后本利和为为y=a(1+r)x,xy=a(1+r)x,xN N. .考点考点专项专项突破突破 在在讲练讲练中理解知中理解知识识考点一考点一 一次函数、二次函数模型一次函数、二次函数模型【例【例1 1】
9、 某跳水运某跳水运动员动员在一次跳水在一次跳水训练时训练时的跳水曲的跳水曲线为线为如如图图所示抛物所示抛物线线的一段的一段. .已知跳水板已知跳水板ABAB长为长为2 m,2 m,跳水板距水面跳水板距水面CDCD的高的高BCBC为为3 m.3 m.为为安全和空安全和空中姿中姿态优态优美美, ,训练时训练时跳水曲跳水曲线应线应在离起跳点在离起跳点A A处处水平距水平距h m(h1)h m(h1)时时达到距达到距水面最大高度水面最大高度4 m,4 m,规规定定: :以以CDCD为为横横轴轴,BC,BC为纵轴为纵轴建立直角坐建立直角坐标标系系. .(1)(1)当当h=1h=1时时, ,求跳水曲求跳水
10、曲线线所在的抛物所在的抛物线线方程方程; ;解解: :由由题题意意, ,最高点最高点为为(2+h,4,)(h1).(2+h,4,)(h1).设设抛物抛物线线方程方程为为y=ax-(2+h)y=ax-(2+h)2 2+4.+4.(1)(1)当当h=1h=1时时, ,最高点最高点为为(3,4),(3,4),方程方程为为y=a(x-3)y=a(x-3)2 2+4. (*)+4. (*)将点将点A(2,3)A(2,3)代入代入(*)(*)式得式得a=-1.a=-1.即所求抛物即所求抛物线线的方程的方程为为y=-xy=-x2 2+6x-5.+6x-5.(2)(2)若跳水运若跳水运动员动员在区域在区域EF
11、EF内入水内入水时时才能达到比才能达到比较较好的好的训练训练效果效果, ,求此求此时时h h的取的取值值范范围围. .反思反思归纳归纳 解函数解函数应用用题时首先要把求解目首先要把求解目标表示表示为一个一个变量的函数量的函数, ,这个个变量量应该把求解目把求解目标需要的一切量表示出来需要的一切量表示出来, ,同同时注意注意实际问题的函数定的函数定义域域( (指定的、根据指定的、根据实际意意义的的),),一般不是由求出的函数解析式确定的一般不是由求出的函数解析式确定的. .考点二考点二指数函数、指数函数、对对数函数与数函数与幂幂函数模型函数模型【例【例2 2】 某医某医药药研究所开研究所开发发的
12、一种新的一种新药药, ,如果成年人按如果成年人按规规定的定的剂剂量服用量服用, ,据据监测监测: :服服药药后每毫升血液中的含后每毫升血液中的含药药量量y(y(微克微克) )与与时间时间t(t(小小时时) )之之间间近似近似满满足足如如图图所示的曲所示的曲线线. .(1)(1)写出第一次服写出第一次服药药后后y y与与t t之之间间的函数关系式的函数关系式y=f(t);y=f(t);(2)(2)据据进进一步一步测测定定: :每毫升血液中含每毫升血液中含药药量不少于量不少于0.250.25微克微克时时治治疗疗疾病有疾病有效效, ,求服求服药药一次后治一次后治疗疗疾病有效的疾病有效的时间时间. .
13、反思反思归纳归纳 (1) (1)与与幂幂函数、指数函数、函数、指数函数、对对数函数三数函数三类类函数模型有关的函数模型有关的实际问题实际问题, ,在求解在求解时时, ,要先学会合理要先学会合理选择选择模型模型, ,在三在三类类模型中模型中, ,指数函指数函数模型是增数模型是增长长速度越来越快速度越来越快( (底数大于底数大于1)1)的一的一类类函数模型函数模型, ,与增与增长长率、率、银银行利率有关的行利率有关的问题问题都属于指数函数模型都属于指数函数模型. .(2)(2)在解决在解决幂幂函数、指数函数、函数、指数函数、对对数函数模型数函数模型问题时问题时, ,一般需要先通一般需要先通过过待定
14、系数法确定函数解析式待定系数法确定函数解析式, ,再借助函数的再借助函数的图图象求解最象求解最值问题值问题, ,必必要要时时可借助可借助导导数数. .(2)(2)到今年到今年为为止止, ,该该森林已砍伐了多少年森林已砍伐了多少年? ?(3)(3)今后最多今后最多还还能砍伐多少年能砍伐多少年? ?分段函数模型分段函数模型考点三考点三 【例【例3 3】 提高提高过过江大江大桥桥的的车辆车辆通行能力可改善整个城市的交通状况通行能力可改善整个城市的交通状况, ,在一在一般情况下般情况下, ,大大桥桥上的上的车车流速度流速度v(v(单单位位: :千米千米/ /时时) )是是车车流密度流密度x(x(单单位
15、位: :辆辆/ /千千米米) )的函数的函数. .当当桥桥上的上的车车流密度达到流密度达到200200辆辆/ /千米千米时时, ,造成堵塞造成堵塞, ,此此时车时车流速流速度度为为0;0;当当车车流密度不超流密度不超过过2020辆辆/ /千米千米时时, ,车车流速度流速度为为6060千米千米/ /时时, ,研究表明研究表明: :当当20x20020x200时时, ,车车流速度流速度v v是是车车流密度流密度x x的一次函数的一次函数. .(1)(1)当当0x2000x200时时, ,求函数求函数v(x)v(x)的表达式的表达式; ;(2)(2)当当车车流密度流密度x x为为多大多大时时, ,车
16、车流量流量( (单单位位时间时间内通内通过桥过桥上某上某观测观测点的点的车辆车辆数数, ,单单位位: :辆辆/ /时时)f(x)=xv(x)f(x)=xv(x)可以达到最大可以达到最大, ,并求出最大并求出最大值值.(.(精确到精确到1 1辆辆/ /时时) )反思反思归纳归纳 本本题的的难点是函数模型是一个分段函数点是函数模型是一个分段函数, ,由于月由于月处理理量在不同范量在不同范围内内, ,处理的成本理的成本对应的函数解析式也不同的函数解析式也不同, ,故此故此类最最值的求解必的求解必须先求出每个区先求出每个区间内的最内的最值, ,然后将然后将这些区些区间内的最内的最值进行比行比较确定最确
17、定最值. .(2)(2)当河中的碱当河中的碱浓浓度开始下降度开始下降时时, ,即刻第二次投放即刻第二次投放1 1个个单单位的固体碱位的固体碱, ,此后此后, ,每一每一时时刻河中的碱刻河中的碱浓浓度度认为认为是各次投放的碱在是各次投放的碱在该时该时刻相刻相应应的碱的碱浓浓度的和度的和, ,求河中求河中时时碱碱浓浓度可能取得的最大度可能取得的最大值值. .备选备选例例题题 (2)(2)若物体的温度若物体的温度总总不低于不低于2 2摄摄氏度氏度, ,求求m m的取的取值值范范围围. .(2)(2)隔隔热层热层修建多厚修建多厚时时, ,总费总费用用f(x)f(x)达到最小达到最小, ,并求最小并求最
18、小值值. .解解题规题规范夯范夯实实 把典型把典型问题问题的解决程序化的解决程序化利用函数模型解决利用函数模型解决实际问题实际问题审题点点拨关键点关键点所获信息所获信息利润利润利润利润= =收入收入- -成本成本求最大利润求最大利润求函数最大值求函数最大值解题突破解题突破: :转化为求分段函数的最大值转化为求分段函数的最大值答答题题模板模板: :解函数解函数应应用用题题的一般步的一般步骤骤: :第一步第一步: :审题审题弄清弄清题题意意, ,分清条件和分清条件和结论结论, ,理理顺顺数量关系数量关系. .第二步第二步: :建模建模将文字将文字语语言言转转化成数学化成数学语语言言, ,用数学知用数学知识识建立相建立相应应的数的数学模型学模型. .第三步第三步: :求模求模求解数学模型求解数学模型, ,得到数学得到数学结论结论. .第四步第四步: :还还原原将用数学方法得到的将用数学方法得到的结论还结论还原原为实际问题为实际问题的意的意义义. .第五步第五步: :反思回反思回顾顾对对于数学模型得到的数学于数学模型得到的数学结结果果, ,必必须验证这须验证这个数学个数学结论对实际问题结论对实际问题有意有意义义. .
