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1、2.2.3 3.1.1 双曲线及其标准双曲线及其标准方程方程（1 1）X1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) P= M |MF1 | - | MF2| = 2a P= M |MF1 | - | MF2| =2a 平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距
2、离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于等于常数（常数（小于小于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫双曲线。）的点的轨迹叫双曲线。 P= M | |MF1 | - | MF2| |=2a （差的绝对值）差的绝对值） 两定点两定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c焦距焦距.（02a|F| |F1 1F F2 2| |F F2 2F F1 1P PMQ QM 是不可能的，因为三角是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时形两边之差小于第三边。此时无轨迹无轨迹。此时点的轨迹是此时点的轨迹是线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线。则则|MF|MF1 1|=|M
3、F|=|MF2 2| |F1F2M常数等于常数等于0 0时时若常数若常数2a= |MF2a= |MF1 1| |MF|MF2 2| =0| =0F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| - |MF2|=2a4.4.化简化简此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程4.4.化简化简F2F
4、1MxOyOMF2F1xy若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？谁正谁对应谁正谁对应a 思考问题：思考问题：1、双曲线与椭圆的、双曲线与椭圆的定义定义有何共性和区别？有何共性和区别？2、双曲线与椭圆的、双曲线与椭圆的标准方程标准方程是怎样建立起是怎样建立起 来的？来的？3、双曲线与椭圆的、双曲线与椭圆的方程方程又有何区别？又有何区别？4、双曲线与椭圆的、双曲线与椭圆的焦点焦点是如何确定的？是如何确定的？椭圆：平面内与两定点椭圆：平面内
5、与两定点 F 1、F2的距离之和等的距离之和等于常数于常数( 大于大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆：的点的轨迹叫做椭圆：这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。圆的焦距。双曲线：平面内与两定点双曲线：平面内与两定点 F 1、F2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数( 小于小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹的点的轨迹叫做双曲线：这两定点叫做双曲线的焦点，两叫做双曲线：这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。焦点的距离叫双曲线的焦距。共性：共性：1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题；、两者都是
6、平面内动点到两定点的距离问题；2、两者的定点都是焦点；、两者的定点都是焦点；3、两者定点间的距离都是焦距。、两者定点间的距离都是焦距。区别：区别：椭圆是距离之和；椭圆是距离之和；双曲线是距离之差的绝对值。双曲线是距离之差的绝对值。共性：共性：以两个定点所在直线为以两个定点所在直线为 x 轴或轴或 y 轴，以两个轴，以两个定点的中点为原点建立直角坐标系求出来的。定点的中点为原点建立直角坐标系求出来的。xyoF1F2M标准方程所表示的双曲线的图形有何特征？标准方程所表示的双曲线的图形有何特征？区别：区别：1、椭圆标准方程的左边是两项的和；、椭圆标准方程的左边是两项的和； 双曲线标准方程的左边是两项
7、的差。双曲线标准方程的左边是两项的差。2、椭圆中，、椭圆中，a、b 均为正，大小关系一定；均为正，大小关系一定； 双曲线中，双曲线中， a、b 均为正，大小关系不定。均为正，大小关系不定。3、椭圆中，、椭圆中，c 2 = a 2 b 2； 双曲线中，双曲线中， c 2 = a 2 + b 2。椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大，椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大，焦点就在哪个相应的轴上；焦点就在哪个相应的轴上；双曲线的标准方程中，哪个二次项的系数是双曲线的标准方程中，哪个二次项的系数是正的，焦点就在哪个相应的轴上；正的，焦点就在哪个相应的轴上；焦点始终在与双曲线相交的哪个轴上焦点始终在与双
8、曲线相交的哪个轴上求标准方程的关键是什么？求标准方程的关键是什么？1、中心、焦点定位；、中心、焦点定位；2、a、b 定量。定量。位置、大小定标准方程位置、大小定标准方程BB1xy.焦点在焦点在 x 轴上轴上焦点在焦点在 y 轴上轴上定义定义| | MF1 | | MF2 | | = 2a ( 2a | F1F2 | )方程方程图象图象关系关系c 2 = a 2 + b 2AoA1ABoA1xB1y.小结1.双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程4.双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系2.焦点位置的确定方法焦点位置的确定方法3.求双曲线标准方程关键（定位，定量）求双曲线标准方程关键（定位，定量）其中其中b2=c2-a2x2与与y2的系数的的系数的大小大小x2与与y2的系数的的系数的正负正负c2=a2+b2AB0例例2 2: :如果方程如果方程 表示双曲表示双曲线，求线，求m的取值范围的取值范围. .解解: :方程方程 表示焦点在表示焦点在y轴双曲线时，轴双曲线时，则则m的取值范围的取值范围_.思考：思考：
