第四章第四章 力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性 §4.1 力学量随时间的演化力学量随时间的演化在波函数在波函数 (x,t)所描写的态中，力学量所描写的态中，力学量A的平均值为的平均值为 (1) (2) 一、力学量平均值随时间的变化一、力学量平均值随时间的变化 由薛定谔方程，由薛定谔方程， 因为因为Ĥ是厄密算符是厄密算符 (3) 这就是力学量这就是力学量平均值随时间平均值随时间变化的公式变化的公式若若Â不显含不显含t，，即即: (4)则有则有: 二、守恒量二、守恒量如果如果Â既不显含时间，既不显含时间， Â 又与又与Ĥ对易对易则有则有即这种力学量在任何态即这种力学量在任何态 之下的之下的平均值都不随时间改变平均值都不随时间改变 (5) 在任意态在任意态 下，此时下，此时A的概率分布也不随时间改变的概率分布也不随时间改变 我们称这样的力学量我们称这样的力学量A为为运动恒量或守恒量运动恒量或守恒量[Â, Ĥ]=0同时可以证明：同时可以证明： 式中式中 即为守恒量即为守恒量 在在 态中的概率，态中的概率，•证明守恒量证明守恒量F其概率分布不随时间而变化其概率分布不随时间而变化因为因为 ，故，故 具有共同本征函数系具有共同本征函数系 ，，任意状态可表为任意状态可表为且概率分布函数且概率分布函数 其中其中 为为 时力学量的概率分布函数，所以时力学量的概率分布函数，所以故有故有所以所以即守恒量即守恒量A的测量概率与时间无关，即概率分布不随的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间而变化。
时间而变化 概括起来讲，对于概括起来讲，对于Hamilton量量Ĥ不含时的量子体系，如果不含时的量子体系，如果力学量力学量Â既不显含时间，又与既不显含时间，又与Ĥ对易（对易（[Â, Ĥ]=0），），则无则无论体系处于什么状态（定态或非定态），论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变所以把测量的概率分布均不随时间改变所以把A称为量子体系称为量子体系的一个守恒量的一个守恒量守恒量有两个特点：守恒量有两个特点：(1) (1) 在任何态在任何态 ( (t)t)之下的平均值都不随时间改变；之下的平均值都不随时间改变； (2) (2) 在任意态在任意态 ( (t)t)下下A A的概率分布不随时间改变的概率分布不随时间改变 (a)与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态 (b)一个体系在某时刻一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条条(c)件决定。
若在初始时刻件决定若在初始时刻(t=0)，，守恒量守恒量A具有确定值，则以后具有确定值，则以后任任(d)何时刻它都具有确定值，即体系将保持在何时刻它都具有确定值，即体系将保持在Â的同一个本征态的同一个本征态e)由于守恒量具有此特点，它的量子数称为由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数好量子数但是，(f)若初始时刻若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即并不具有确定值（这与经典力学不同），即 (0)(g)并非并非Â的本征态，则以后的状态也不是的本征态，则以后的状态也不是Â的本征态，即的本征态，即A也不也不(h)会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不(i)随时间改变随时间改变量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同这实质上是不确定度关系的反映量概念不同这实质上是不确定度关系的反映 (b) 量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值 例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。
并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外） 三、举例三、举例1、自由粒子动量守恒、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量所以自由粒子的动量是守恒量 所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 2、、 粒子在中心力场中运动：角动量守恒粒子在中心力场中运动：角动量守恒又，又，都是守恒量都是守恒量 3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒、哈密顿不显含时间的体系能量守恒∵∵ 不显含不显含t又又∵∵∴∴即即 守恒（能量守恒）守恒（能量守恒） 即空间反演算符，它的作用是把波函数中的即空间反演算符，它的作用是把波函数中的 它是厄米算符，它的本征值只有它是厄米算符，它的本征值只有 ，， 即即四、宇称守恒四、宇称守恒宇称算符宇称算符 态函数的宇称态函数的宇称: •宇称守恒宇称守恒 若体系哈密顿量具有空间反演不变性若体系哈密顿量具有空间反演不变性 则则 即即 ，亦即，亦即 是一个守恒量，或者说是一个守恒量，或者说 描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。
描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律1956年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性有了新的认识有了新的认识 宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化 四、能级简并与守恒量的关系四、能级简并与守恒量的关系定理：定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，设体系有两个彼此不对易的守恒量，则：体系能级一般是简并的则：体系能级一般是简并的 证明：证明： 推论：如果体系有一个守恒量推论：如果体系有一个守恒量F，，而体系的某条能级而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本只有一个本 征态），则征态），则 必为必为F的本征态的本征态证明证明： 判断下列提法的正误判断下列提法的正误94页。
页对于自由粒子，对于自由粒子， ，证明动量，证明动量 是守恒量是守恒量 例题例题1：：例题例题2：： 例题例题3：：4.4 教材教材95页 §4.4守恒量与对称性守恒量与对称性德国数学家魏德国数学家魏尔（（H.Weyl,1885-1955）用）用严谨的概念描述的概念描述对称称性性.他他对上述上述现象作了如下表述：象作了如下表述：若某若某图形通形通过镜面反射又回到自己，面反射又回到自己，则该图形形对该镜面是面是反射反射对称或双向称或双向对称的称的.若某一若某一图形形围绕轴作任何作任何转动均能回到自身，均能回到自身，则该图形具有形具有对轴的的转动的的对称性称性.（一）关于对称性（一）关于对称性无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象. 20世纪初，人们认识了世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系守恒定律和对称性的关系. 爱爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研究引力究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各世纪中，人们还看到规范对称性决定着各种相互作用的特征种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右如粒子物理弱相互作用下由左右不对称，这意味着有对称又有不对称不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能从上述中已能看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一起来了起来了. 一一个个力力学学系系统统的的对对称称性性就就是是它它的的运运动动规规律律的的不不变变性性。
在在量量子子力力学学中中，，运运动动规规律律是是薛薛定定谔谔方方程程，，它它决决定定于于系系统统的的哈哈密密顿顿算算符符 ，，因因此此，，量量子子力力学学系系统统的的对对称称性性表表现现为为哈哈密密顿顿算算符符 的的不变性 在量子力学中，我们将看到：在量子力学中，我们将看到：能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒空间反演对称性与宇称守恒空间反演对称性与宇称守恒空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒 即：即： 这就使体系这就使体系Hamilton量在变换量在变换Q下的不变性的数学表达下的不变性的数学表达表明和变换表明和变换 相联系，必有一个守恒量相联系，必有一个守恒量Q注意：注意： 一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以决定一个守恒量算符但它可以决定一个守恒量算符凡满足该式的变换称为体系的对称性变换凡满足该式的变换称为体系的对称性变换 考虑到概率守恒，要求考虑到概率守恒，要求则则Q应为幺正变换（算符），即应为幺正变换（算符），即对于连续变换，可考虑无穷小变换，令对于连续变换，可考虑无穷小变换，令即要求即要求 F为厄密算符，称为变换为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。
的无穷小算符由于其厄密性，可用它来定义一个与由于其厄密性，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测量变换相联系的可观测量将体系在将体系在Q变换下的不变性变换下的不变性 ,应用到无穷小变换应用到无穷小变换可导致可导致F就是体系的一个守恒量就是体系的一个守恒量一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立对于幺正变换对称性，的确存在相应反之，不一定成立对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量的守恒量 例例1. 空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒考虑沿考虑沿 方向的无穷小平移方向的无穷小平移 ，则波函数的变化为，则波函数的变化为 于是平移变换算符为：于是平移变换算符为： 其中：其中：为相应的无穷小算符为相应的无穷小算符 对于三维空间的无穷小平移对于三维空间的无穷小平移 ，则有，则有 其中：其中： 即动量算符即动量算符如果体系对于平移具有不变性，即如果体系对于平移具有不变性，即 则有则有 根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。
根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒 例例2. 空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒先考虑一个简单情况：即体系绕轴旋转无穷小角度先考虑一个简单情况：即体系绕轴旋转无穷小角度 则波函数的变化为则波函数的变化为 于是绕于是绕z轴旋转的变换算符为：轴旋转的变换算符为： 其中：其中： 是大家熟知的角动量的是大家熟知的角动量的z分量算符分量算符 于是绕于是绕 轴旋转的变换算符为轴旋转的变换算符为:现在来考虑三维空间中的绕某方向现在来考虑三维空间中的绕某方向 （单位矢）的无穷小旋转（单位矢）的无穷小旋转 则波函数的变化为则波函数的变化为 其中：其中： 是大家熟知的角动量算符是大家熟知的角动量算符如果体系具有空间旋转不变性，即如果体系具有空间旋转不变性，即 则有则有 由力学量守恒条件可知：角动量守恒由力学量守恒条件可知：角动量守恒 （（1 1）全同粒子）全同粒子质量量、电荷、自旋等固有性荷、自旋等固有性质完全相同的微完全相同的微观粒子。
粒子2））经典粒子的可区分性典粒子的可区分性经典力学中，固有性典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可以区分的因完全相同的两个粒子，是可以区分的因为二粒子在运二粒子在运动中，有各自确定的中，有各自确定的轨道，在任意道，在任意时刻都有确定的位置刻都有确定的位置和速度可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子12124.5.1 全同粒子和全同性原理全同粒子和全同性原理4. 5 全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性（一）全同粒子的交换对称性（一）全同粒子的交换对称性 （（3）微）微观粒子的不可区分性粒子的不可区分性微微观粒子运粒子运动服从服从量子力学量子力学用用波函数描写波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区 粒子是不可区分的粒子是不可区分的（（4）全同性原理）全同性原理全同粒子所全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代成的体系中，二全同粒子互相代换不引起体系物理状不引起体系物理状态的改的改变,即具有交即具有交换对称性全同性原理是量子力学的基本原理之一全同性原理是量子力学的基本原理之一对描述全同粒子体系的波函数带来限制：对描述全同粒子体系的波函数带来限制：要求描述全同粒子体系的波函数对于粒子交换具有对称性。
要求描述全同粒子体系的波函数对于粒子交换具有对称性 （（1））Hamilton 算符的算符的对称性称性N 个全同粒子个全同粒子组成的体系，其成的体系，其Hamilton 量量为：：调换第第 i 和第和第 j 粒子，粒子， 体系体系 Hamilton 量不量不变即：即：表明，表明，N 个全同粒子个全同粒子组成的体系的成的体系的Hamilton 量具有交量具有交换对称性，称性，交交换任意两个粒子坐任意两个粒子坐标（（q i , q j ) 后不后不变二）波函数的（二）波函数的对称性称性质 （（2））对称和反称和反对称波函数称波函数考考虑全同粒子体系的含全同粒子体系的含时 Shrodinger 方程方程将方程中（将方程中（q i , q j ) 调换，得：，得：由于由于 Hamilton 量量对于于 （（q i , q j ) 调换 不不变表明：表明： （（q i , q j ) 调换前后的波函数都是前后的波函数都是Shrodinger 方程的解方程的解根据全同根据全同性原理：性原理：描写同一状描写同一状态因此，二者相差一常数因子因此，二者相差一常数因子 再做一次（再做一次（q i , q j ) 调换对称波函数称波函数反反对称波函数称波函数引入粒引入粒子坐子坐标交交换算算符符 全同粒子体系波函数的全同粒子体系波函数的这种种对称性不随称性不随时间变化，即初始化，即初始时刻刻是是对称的，以后称的，以后时刻永刻永远是是对称的；初始称的；初始时刻是反刻是反对称的，以称的，以后后时刻永刻永远是反是反对称的。
称的证方法方法 I 设全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数 s 在在 t 时刻是刻是对称的，由体系称的，由体系哈密哈密顿量是量是对称的，所以称的，所以 H s 在在t 时刻也是刻也是对称的在在 t+dt 时刻，波函数刻，波函数变化化为对称称对称称二二对称波函称波函数之和仍是数之和仍是对称的称的依次依次类推，在以后任何推，在以后任何时刻，波函数都是刻，波函数都是对称的同理可同理可证：：t 时刻是反刻是反对称的波函数称的波函数 a ，在，在t 以后任何以后任何时刻都是反刻都是反对称的三）波函数（三）波函数对称性的不随称性的不随时间变化化 方法方法 II 全同粒子体系哈全同粒子体系哈密密顿量是量是对称的称的结论：：描写全同粒子体系状描写全同粒子体系状态的波函数只能是的波函数只能是对称的或反称的或反对称的，称的，其其对称性不随称性不随时间改改变如果体系在某一如果体系在某一时刻刻处于于对称（或称（或反反对称）称）态上，上，则它将永它将永远处于于对称（或反称（或反对称）称）态上 实验表明：表明：对于每一种粒子，它于每一种粒子，它们的多粒子波函数的交的多粒子波函数的交换对称性是完称性是完全确定的，而且全确定的，而且该对称性与粒子的自旋有确定的称性与粒子的自旋有确定的联系。
系1））Bose 子子凡自旋凡自旋为 整数倍（整数倍（s = 0，，1，，2，，……) 的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对于交于交换 2 个粒子个粒子总是是对称的，遵从称的，遵从Bose统计，故称，故称为 Bose 子子如：如： 光子光子 （（s =1）；）； 介子介子 （（s = 0）四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子（（2））Fermi 子子凡自旋凡自旋为 半奇数倍（半奇数倍（s =1/2，，3/2，，……) 的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对于交于交换 2 个粒子个粒子总是反是反对称的，遵从称的，遵从Fermi 统计，故称，故称为Fermi 子例如：例如：电子、子、质子、中子（子、中子（ s =1/2））等粒子 （（3）由）由“基本粒子基本粒子”组成的复成的复杂粒粒子子如：如： 粒子（氦核）或其他原子核粒子（氦核）或其他原子核 如果在所如果在所讨论或或过程中，内部状程中，内部状态保持不保持不变，即内部自，即内部自由度完全被由度完全被冻结，，则全同概念仍然适用，可以作全同概念仍然适用，可以作为一一类全同粒子来全同粒子来处理。
理偶数个偶数个 Fermi 子子组成成奇数个奇数个 Fermi子子组成成奇数个奇数个 Fermi子子组成成 （（1））对称和反称和反对称波函数的构成称波函数的构成I 2 个全同粒子个全同粒子Hamilton 量量II 单粒子波函数粒子波函数4.5.2 两个全同粒子波函数两个全同粒子波函数 III 交交换简并并粒子粒子1 在在 i 态，粒子，粒子2 在在 j 态，，则体系能量和波函数体系能量和波函数为：：验证：：粒子粒子2 在在 i 态，粒子，粒子1 在在 j 态，，则体系能量和波函数体系能量和波函数为：： IV 满足足对称条件波函数的构成称条件波函数的构成全同粒子体系要全同粒子体系要满足足对称性条件，而称性条件，而 (q1,q2) 和和 (q2,q1) 仅当当 i = j 二二态相同相同时，才是一个，才是一个对称波函数；称波函数； 当当 i j 二二态不同不同时，既不是，既不是对称波函数，也不是反称波函数，也不是反对称波函数称波函数所以所以 (q1,q2) 和和 (q2,q1) 不能用来描写全同粒子体系不能用来描写全同粒子体系。
构造具有构造具有对称性的波函数称性的波函数C 为归一化系数一化系数显然然 S (q1,q2) 和和 A (q1,q2) 都是都是 H 的本征函数，本征的本征函数，本征值皆皆为 ：： V S 和和 A 的的归一化一化若若单粒子波函数是正交粒子波函数是正交归一化的，一化的， 则 (q1,q2) 和和 (q2 , q1) 也是正交也是正交归一化的一化的证：：同理：同理：而而同理：同理：证毕首先首先证明明 然后考然后考虑 S 和和 A 归一化一化则归一化的一化的 S同理同理对 A 有：有： （（1））Shrodinger 方程的解方程的解上述上述对2个全同粒子的个全同粒子的讨论可以推广到可以推广到N个全同粒子体系，个全同粒子体系，设粒子粒子间无互作用，无互作用，单粒子粒子H0 不不显含含时间，，则体系体系单粒子本粒子本征方程：征方程：4.5.3 N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数 （（2））Bose 子体系和波函数子体系和波函数对称化称化2 个个Bose 子体系，其子体系，其对称化波函数是：称化波函数是：1，，2 粒子在粒子在 i，，j态中的一种排列中的一种排列N 个个Bose 子体系，其子体系，其对称化波函数可称化波函数可类推是：推是：N 个个 粒子在粒子在 i，，j … k 态中的一种排列中的一种排列归一化系数一化系数对各种可能排列各种可能排列 p 求和求和nk 是是单粒子粒子态 k 上的粒子数上的粒子数 例例: N = 3 Bose 子体系子体系,，，设有三个有三个单粒子粒子态分分别记为 1 、、 2 、、 3 ，求：，求：该体系体系对称化的波函数。
称化的波函数I、、n1=n2=n3=1II、、n1=3，，n2=n3=0 n2=3，，n1=n3=0 n3=3，，n2=n1=0III、、n1=2，，n2=1，，n3=0 另外另外还有有 5 种可能的状种可能的状态，分，分别是：是： n1=1，，n2=0，，n3=2n1=0，，n2=1，，n3=2n1=0，，n2=2，，n3=1n1=1，，n2=2，，n3=0n1=2，，n2=0，，n3=1 附注：附注：关于重复关于重复组合合问题从从m 个不同元素中每次取个不同元素中每次取 n 个元素（元素可重复个元素（元素可重复选取）不管排列取）不管排列顺序构成一序构成一组称称为重复重复组合，合，记为：： （（m 可大于、等于或小于可大于、等于或小于n ））重复重复组合与合与通常通常组合不合不同，其同，其计算算公式公式为：：通常通常组合合计算公式：算公式：重复重复组合合计算公式表明：算公式表明： 从从m个不同元素中每次取个不同元素中每次取n个元素的重复个元素的重复组合的种数等于从（合的种数等于从（m+n-1））个不同元素个不同元素中每次取中每次取n个元素的普通个元素的普通组合的种数。
合的种数应用重复用重复组合，合，计算全算全同同Bose 子体系可能状子体系可能状态总数是很方便的数是很方便的如上例，求体系可能状如上例，求体系可能状态总数的数的问题实质上就是一个从上就是一个从 3 个状个状态中每中每次取次取3 个状个状态的重复的重复组合合问题 （（3））Fermi 子子体系和波函数反体系和波函数反对称化称化2 个个Fermi 子体系，其反子体系，其反对称化波函数是：称化波函数是：行列式的性行列式的性质保保证了波函数反了波函数反对称化称化推广到推广到N 个个Fermi 子子体系：体系：两点两点讨论I行列式展开后，每一行列式展开后，每一项都是都是单粒子波函数乘粒子波函数乘积形式，形式，因而因而 A 是是 本征方程本征方程 H = E 的解的解.II交交换任意两个粒子，等价于行列式中相任意两个粒子，等价于行列式中相应两列两列对调，，由行列式性由行列式性质可知，行列式要可知，行列式要变号，故号，故是反是反对称称化波函数此行列式称化波函数此行列式称为 Slater 行列式 （（1）二）二 Fermi 子子体系体系其反其反对称化波函数称化波函数为：：若二粒子若二粒子处于相同于相同态，例如都，例如都处于于 i 态，，则写成写成 Slater 行列式行列式两行相同，两行相同，行列式行列式为 0（（2））N Fermi 子子体系体系（三）（三）Pauli 原理原理 如果如果 N 个个单粒子粒子态 i j …… k 中有两个相同，中有两个相同，则行列行列式中有两行相同，于是行列式式中有两行相同，于是行列式为0，即，即两行两行同同态上述讨论表明，上述讨论表明，N FermiN Fermi 子子体系中，不能有体系中，不能有 2 2 个或个或 2 2 个以上个以上Fermi Fermi 子子处于同一状态，这一结论处于同一状态，这一结论称为称为 Pauli Pauli 不相容原理。
波函数的反对称化保证不相容原理波函数的反对称化保证了全同了全同Fermi Fermi 子子体系的这一重要性质体系的这一重要性质 P95 P95 习题习题4.24.2解解: (a) 对对两个全同的两个全同的Boss子，体系波函数必须满足子，体系波函数必须满足交换对称性交换对称性①① 当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：交换对称：可能态数目可能态数目 3①① 当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：函数：可能态数目可能态数目所以，两个全同所以，两个全同Boss子总的可能态数目子总的可能态数目6例题例题4：： (b) 对对两个全同的两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换子，体系波函数必须满足交换反对称要求反对称要求 对对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因子不允许两个粒子处于相同的单态，因此此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：波函数：可能态数目可能态数目所以，两个全同所以，两个全同Femi子总的可能态数目子总的可能态数目3(b) 对对两个经典的粒子两个经典的粒子(可区分可区分)，其体系波函数无对称，其体系波函数无对称性要求，即性要求，即可能态数目可能态数目 两个自旋均为两个自旋均为1/2的费密子体系的波函数为的费密子体系的波函数为ΦΦ（（1212），如果），如果两个费米子是全同的。
则两个费米子是全同的则（（1 1）） Φ（（12）满足什么条件？）满足什么条件？（（2）利用所给出的）利用所给出的Φ（（12）所满足的条件，说明）所满足的条件，说明pauli不相容不相容原理例题例题5：：解：（解：（1）） Φ（（12）要满足）要满足Φ（（12）＝－）＝－ Φ（（21），），因为全同费米子体系的波函数对两个粒子的交换反对称因为全同费米子体系的波函数对两个粒子的交换反对称2）由Φ（（12）＝－）＝－ Φ（（21）得，当两个粒子处于完全）得，当两个粒子处于完全相同的量子态，即相同的量子态，即1＝＝2时，则时，则Φ（（11）＝－）＝－ Φ（（11））因此因此Φ（（11）＝）＝0，这就是说，两个全同费米子不能处于，这就是说，两个全同费米子不能处于完全相同的量子态，这就是完全相同的量子态，这就是Pauli不相容原理不相容原理 总总 结结 一、守恒量一、守恒量如果如果Â既不显含时间，既不显含时间， Â 又与又与Ĥ对易对易守恒量有两个特点：守恒量有两个特点：(1). 在任何态在任何态 (t)之下的平均值都不随时间改变；之下的平均值都不随时间改变； (2). 在任意态在任意态 (t)下下A的概率分布不随时间改变。
的概率分布不随时间改变 二、守恒量与对称性二、守恒量与对称性空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒空间反演对称性与宇称守恒空间反演对称性与宇称守恒空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立对于幺正变换对称性，的确存在相应反之，不一定成立对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量的守恒量 三、全同粒子体系波函数三、全同粒子体系波函数全同粒子全同粒子波色子波色子费米子费米子对称波函数对称波函数反对称波函数反对称波函数波函数的交换对称性波函数的交换对称性Pauli不相容原理不相容原理 •作业：95页4.3、4.5题 。