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1、数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念NZQR自然数集自然数集自然数集自然数集负负 整整 数数?整整整整 数数数数 集集集集有理数集有理数集有理数集有理数集实实实实 数数数数 集集集集?无无 理理 数数分分 数数 ?数数数数 系系系系 的的的的 扩扩扩扩 充充充充创设情景，探究问题创设情景，探究问题创设情景，探究问题创设情景，探究问题不不不不够减够减够减够减不能整除不能整除不能整除不能整除开方开不尽开方开不尽开方开不尽开方开不尽数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念我们知道一元二次方程我们知道一元二次方程 x x2 2 +1=0 +1=0在实数集范围内在实数集范围内无解无解 我们能否将实数
2、集进行扩充，使得它在新的数集中，我们能否将实数集进行扩充，使得它在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？该问题能得到圆满解决呢？思考思考？引入一个新数：引入一个新数：满足满足满足满足合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充合情推理，类比扩充为了解决为了解决为了解决为了解决负数不能负数不能负数不能负数不能开平方开平方开平方开平方的问题，的问题，的问题，的问题，数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念Leonhard Euler 公元公元1707-1783年年瑞士瑞士 欧拉欧拉 1777 1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号首次用符号“i i ”表
3、示平方等于表示平方等于-1-1的新数的新数 知知知知 识识识识 探探探探 究究究究数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 德国德国 高斯高斯18011801年年 系统地使用系统地使用i这个符号这个符号,使使i通行于世通行于世Carl Friedrich Gauss 公元公元17771855年年 知知知知 识识识识 探探探探 究究究究数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i i ，把，把，把，把 i i 叫做虚数单位，叫做虚数单位，叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：并且规定：并且
4、规定： （1）i i2 21 1； （2）实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律时，原有的加法与乘法的运算律时，原有的加法与乘法的运算律时，原有的加法与乘法的运算律( (包括交换律、结合律和包括交换律、结合律和包括交换律、结合律和包括交换律、结合律和分配律分配律分配律分配律) )仍然成立。仍然成立。仍然成立。仍然成立。 引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系引入新数，完善数系数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 复数复数Z=a+
5、bi (a R， b R )把实数把实数a，b叫做叫做 复数的复数的实部实部和和虚部虚部。1、定义定义:形如形如a+bi（aR，bR）的数叫的数叫复数复数,其中其中i叫叫虚数单位虚数单位。 全体复数所组成的集合叫复数集，记作：全体复数所组成的集合叫复数集，记作：C。注意注意:复数通常用字母复数通常用字母z表示，即复数表示，即复数a+bi （aR，bR)可记作可记作:z =a+bi （a R，b R），把这一表），把这一表示形式叫做示形式叫做复数的代数形式复数的代数形式。复数有关概念复数有关概念复数有关概念复数有关概念数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 练习：指出下面复数的实部与虚部练习：
6、指出下面复数的实部与虚部 2+i ，-3+0.5i，-2i+ ，2 0，-i， 数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念实部实部实部实部虚部虚部虚部虚部其中其中 称为虚数单位。称为虚数单位。复数的分类？复数的分类？讨论讨论观察复数的代数形式观察复数的代数形式当当当当a=_a=_且且且且b=_b=_时，则时，则时，则时，则z=0z=0当当当当b=_b=_时，则时，则时，则时，则z z为实数为实数为实数为实数当当当当b=_b=_时，则时，则时，则时，则z z为虚数为虚数为虚数为虚数当当当当a=_a=_且且且且b_ b_ 时，则时，则时，则时，则z z为纯虚数为纯虚数为纯虚数为纯虚数000000数系
7、的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念2 2、复数、复数a+bia+bi3.复数集，虚数集，实数复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系集，纯虚数集之间的关系？思考？思考？复数集复数集虚数集虚数集实数集实数集纯虚数集 复数的分类复数的分类复数的分类复数的分类数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 i为为-1的一个的一个 、-1的另一个的另一个 ;一般地，一般地，a(a0)的平方根为的平方根为 、平方根平方根平方根为平方根为-i- a (a0)的平方根为的平方根为 复数复数z z=a+bi(a、b R)实数实数小数小数(b=0)有理数有理数无理数无理数分数分数正分数正分数负分数负分数零零不循环
8、小数不循环小数虚数虚数(b 0)特别的当特别的当 a=0 时时 纯虚数纯虚数a=0是是z=a+bi(a、b R)为纯虚数的为纯虚数的 条件条件. 必要但不充分必要但不充分数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念1 1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5 +80 02 2、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：（1
9、 1）若）若a、b为实数，则为实数，则z=a+bi为虚数为虚数（2 2）若）若b为实数，则为实数，则z=bi必为纯虚数必为纯虚数（3 3）若）若a为实数，则为实数，则z= a 一定不是虚数一定不是虚数即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知即时训练，巩固新知i正确不正确不正确数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例1 1. .实数实数 m m 取什么数值时，复数取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是：是：（1 1）实数？）实数？ （2 2）虚数？（）虚数？（3 3）纯虚数？）纯虚数？解：复数解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为中，因为mR，所以，所以m+1，m1都是实
10、数，它们分别是都是实数，它们分别是z的实部和虚部，的实部和虚部， （1）m=1时，时，z是实数；是实数； （2）m1时，时，z是虚数；是虚数；（3）当）当 时，即时，即m=1时，时，z是纯虚数；是纯虚数； 典例讲解，变式拓展典例讲解，变式拓展 数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念 典例讲解，变式拓展典例讲解，变式拓展 例例2 当当m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1）实数）实数 ； （2）虚数）虚数 ； （3）纯虚数；）纯虚数；变式1:复数 当实数m= 时z为纯虚数；当实数m= 时z为零。 -21数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念复数相等的定义复数相等的定义 根据两个根据两
11、个复数相等复数相等的定义的定义，设设a, b, c, dR，两个复数两个复数a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为a+bi = c+di 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就说这两个说这两个复数相等复数相等. 两个两个虚数虚数不能比较大小不能比较大小，只能由定义判断它们相只能由定义判断它们相 等或不相等等或不相等。数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例2 已知已知 ，其中，其中 求求x与与y?1 1、若、若x，y为实数，且为实数，且 求求x，y解题思考：解题思考：复数相等复数相等的问题的问题转化转化求方程组的解求方程组的解的问题的问题一种重
12、要的数学思想：一种重要的数学思想：转化思想转化思想x=5/2,y=4x=-3,y=4数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念xo1实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。一一对应一一对应 规定了正方向，规定了正方向，直线直线数轴数轴原点原点，单位长度单位长度实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形)(数数)(几何模型几何模型)问问1010：如何建立复数集与平面直角坐标系中的点如何建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的联系？集之间的联系？复数的复数的几何意义几何意义 数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标
13、系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi特别注意：特别注意：虚轴不包括原点。虚轴不包括原点。复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的复数的几何意义几何意义 数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念起点为起点为O O还用点还用点坐标坐标表示过什么？表示过什么？问题问题平面向量平面向量数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念复数复数z=a+biz=a+bi直角
14、坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi建构建构OZOZ数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例3 3 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+m-6)+(m(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数面内所对应的点位于第二象限，求实数m m允许允许的取值范围。的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问
15、题代数问题)一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例3 3 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数面内所对应的点位于第二象限，求实数m m允许允许的取值范围。的取值范围。 变式：变式：证明对一切证明对一切m m，此复数所对应的点不，此复数所对应的点不可能位于第四象限可能位于第四象限。不等式解集为空集不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限.数系的扩充数系的扩充复数的概念复数
16、的概念把绝对值的概念推广到复数把绝对值的概念推广到复数复数的模复数的模的的几何意义几何意义？问题问题读作：复数读作：复数z z的模，或复数的模，或复数a+bia+bi的模的模记为：记为：|z|,|a+bi|z|,|a+bi|数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念实数绝对值的实数绝对值的几何意义几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa| a | = | OA | 实实数数a在在数数轴轴上上所所对对应应的的点点A到到原原点点O的距离。的距离。xOz=a+biy| z | = |OZ|复数的绝对值复数的绝对值 复数复数 z= z=a+ +bi i在复在
17、复平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。到原点的距离。(复数的模复数的模)的的几何意义几何意义:Z (a,b)数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例4.设设 z C , 满足下列条件的点满足下列条件的点 z 的集合的集合是什么图形是什么图形?(1)|z|=4; (2)2|z|4.xyoxyo数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念例例5.若复数若复数z对应点集为圆对应点集为圆: 试求试求z的最大值与最小值的最大值与最小值.xyoo1211311 1. .复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部 、虚部、虚部复数相等复数相等复数的分类复
18、数的分类课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结2.复数的几何意义复数的几何意义3. 数学思想：数学思想：转化思想转化思想、 数形结合思想数形结合思想、 类比思想类比思想数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念练习练习1、复数、复数-5+2i的实部为的实部为_,虚部为虚部为_.2、实数、实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z=m +1-mi 是（是（1）实数？）实数？ （2）虚数？（）虚数？（3）纯虚数？）纯虚数？3、已知实数已知实数x与纯虚数与纯虚数y满足满足2x-1+2i=y,求求x,y.4、已知两个复数、已知两个复数x2-1+(y+1)i2x+3+(y2-1)i试求实数试求实数x,y的取值范围
19、的取值范围.数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念关于无理数的发现关于无理数的发现 古希腊的古希腊的毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派认为认为, , 世间任何数都可以用世间任何数都可以用整数或分数表示整数或分数表示, ,并将此作为他们的一条信条并将此作为他们的一条信条. .有一天有一天, ,这个这个学派中的一个成员学派中的一个成员希伯斯希伯斯突然发现边长为突然发现边长为1 1的正方形的对角的正方形的对角线是个奇怪的数线是个奇怪的数, ,于是努力研究于是努力研究, ,终于证明出它不能用整数或终于证明出它不能用整数或分数表示分数表示. .但这打破了毕达哥拉斯学派的信条但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,
20、,于是毕达哥拉于是毕达哥拉斯命令他不许外传斯命令他不许外传. .但希伯斯却将这一秘密透露了出去但希伯斯却将这一秘密透露了出去. .毕达毕达哥拉斯大怒哥拉斯大怒, ,要将他处死要将他处死. .希伯斯连忙外逃希伯斯连忙外逃, ,然而还是被抓住然而还是被抓住了了, ,被扔入了大海被扔入了大海, ,为科学的发展献出了宝贵的生命为科学的发展献出了宝贵的生命. .希伯斯希伯斯发现的这类数发现的这类数, ,被称为被称为无理数无理数. .无理数的发现无理数的发现, ,导致了第一次导致了第一次数学危机数学危机, ,为数学的发展做出了重大贡献为数学的发展做出了重大贡献. .数系的扩充数系的扩充复数的概念复数的概念数数系系的的扩扩充充创设情景，探究问题创设情景，探究问题创设情景，探究问题创设情景，探究问题自然数自然数整数整数有理数有理数实数实数？因计数的需要因计数的需要因不够减的需要，引入负数因不够减的需要，引入负数因测量、分配中的等分问题引入分数因测量、分配中的等分问题引入分数(分数集分数集有理数集有理数集循环小数集循环小数集)实数集实数集小数集小数集因度量的需要因度量的需要
