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1、周周 圣圣 武武数理统计数理统计Tel: 13852138385 E-mail: 中国矿业大学中国矿业大学 理学院理学院1.3 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数定义定义1 设随机试验的样本空间设随机试验的样本空间在样本在样本上的实值单值函数，上的实值单值函数， 称称是定义是定义为为随机变量。随机变量。2 2）随机随机变量的取值在试验之前无法确定变量的取值在试验之前无法确定, ,且取值且取值有一定的概率。有一定的概率。 随机变量和普通函数的区别随机变量和普通函数的区别1 1） 定义域不同定义域不同也可以不是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上。；而普通函数是定义在实数域上。随机变量
2、定义在样本空间随机变量定义在样本空间 上上, ,定义域定义域可以是数可以是数随机变量随机变量的取值一的取值一般采用小写般采用小写字母字母 x, y, z, u, v, w 等等表示表示.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z, U,V ,W等表示等表示随机变量随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量混合型随机变量混合型随机变量随机变量的分类随机变量的分类我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：如如：“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等. .（1 1）离散型随机变量离散型随机变量（2 2
3、）连续型随机变量）连续型随机变量如如：“灯管的寿命灯管的寿命”， “测量误差测量误差”等等. . 从中任取从中任取3 个球取到的白个球取到的白球数球数X是一个随机变量是一个随机变量 .(1) X 可能取的值是可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为取每个值的概率为:看一个例子看一个例子1.离散型随机变量离散型随机变量定义定义1 若随机变量若随机变量X的所有可能取值是的所有可能取值是有限多个有限多个或或可列无限多个可列无限多个, 则称则称X为为离散型随机变量离散型随机变量 .其中其中 (k=1,2, ) 满足：满足： k = 1,2, （1）（2）定定义义2 设设 xk (k=1,2
4、, ) 是是离离散散型型随随机机变变量量 X 所所取取的的一切可能值，称一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律.解解 依据分布律的性质依据分布律的性质P(X =k)0, a0 ,从中解得从中解得即即例例1设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为k = 0,1,2, ,试确定常数试确定常数a .离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法（1）公式法）公式法（2）列表法）列表法X例例2 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解解 X可取值为可取值为0,1,2 ; PX
5、=0=0.10.1=0.01 PX =1= 20.90.1 =0.18 PX =2=0.90.9=0.81X的分布律的分布律为 X例例3 设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过允许汽车通过, ,变量变量表示汽车停车次数表示汽车停车次数( (设各信号灯的工设各信号灯的工作是相互独立的）作是相互独立的）,求求的分布律。的分布律。解解 由题意可知由题意可知的分布律为的分布律为，则，则将将带入可得带入可得的分布律为的分布律为（1） (01)分布分布定义定义1 如果随机变量如果随机变量X的分布律为的分布律为
6、则称则称X服从参数为服从参数为p的的(01)分布。分布。即即或或2.常用的离散型随机变量常用的离散型随机变量（01）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成伯努利概型伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）它推导）重复独立试验重复独立试验在相同的条件下对试验在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立的，则称这结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。（2）二项分布）二项分布“重复重复”是指这是
7、指这n次试验中次试验中P(A)= p保持不变保持不变. .“独立独立”是指各次试验的结果互不影响是指各次试验的结果互不影响 . .伯努利概型伯努利概型设随机试验设随机试验E只有只有两种可能结果，且两种可能结果，且将试验将试验E独立地重复进行独立地重复进行n次，则称这次，则称这n次试验次试验为为n重伯努利试验，重伯努利试验，或或 n重伯努利概型。重伯努利概型。 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点” 抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 一般地，设在一次试验一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的中我们只考虑两个互逆的结果：结果：A 或或 . .
8、这样的试验这样的试验E称为称为伯努利试验伯努利试验 . .二项分布二项分布n重伯努利试验中重伯努利试验中,“事件事件 恰好发生恰好发生k次次”,即即的概率为：的概率为：定义定义2 2 如果随机变量如果随机变量的分布律为的分布律为则称则称服从参数为服从参数为的的二项分二项分其中其中布布，记为，记为特别特别,当当时时,二项分布为二项分布为这就是（这就是（01）分布，常记为）分布，常记为例例1 已知已知100100个产品中有个产品中有5 5个次品，现从中个次品，现从中有放回有放回地地取取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求在所取的个，求在所取的3 3个中恰有个中恰有2 2个次品个次品的概率的概
9、率. .，于是所求概率为，于是所求概率为则则表示所取的表示所取的3 3个中的次品数，个中的次品数，解解 设设 例例2 一大批产品中一级品率为一大批产品中一级品率为0.20.2，现随机抽查，现随机抽查2020只，问只，问20只元件中恰好有只元件中恰好有 k 只只 (k=0,1,2,.20)为一级为一级品的概率为多少？品的概率为多少？解解设设表示表示20只元件中为一级品的只数，只元件中为一级品的只数，这个试验可以看作伯努利试验。这个试验可以看作伯努利试验。例例3 某人射击命中率为某人射击命中率为0.02，独立射击，独立射击400次，试次，试求至少击中求至少击中2次的概率？次的概率？解解 设设表示击
10、中的次数，则表示击中的次数，则所以分布律所以分布律则所求概率则所求概率定理定理1（泊松泊松Poisson定理定理) 设设是一常数，是一常数，n是是正整数，若正整数，若，则对任一固定的非负整数，则对任一固定的非负整数定义定义1 设随机变量设随机变量所有可能取的值为所有可能取的值为0,1,2,0,1,2, ,而而 且概率分布为：且概率分布为：（3） 泊松分布泊松分布其中其中，则称，则称服从参数为服从参数为的的泊松分布，泊松分布，记记 近近数数十十年年来来，泊泊松松分分布布日日益益显显示示其其重重要要性性, ,成成为为概概率率论论中中最最重重要要的的几几个个分分布布之之一一。泊泊松松分分布布在在管管
11、理理科科学学、运运筹筹学学以以及及自自然然科科学学的的某某些些问问题题中中都都占占有有重重要要的地位。的地位。泊松分布的应用泊松分布的应用 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数数 生物存活的个数生物存活的个数 放射的粒子数放射的粒子数2.分布函数分布函数 为为X 的的分布函数。分布函数。设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，定义定义1是任意实数，称函数是任意实数，称函数的值就表示的值就表示X 落在区间落在区间上的概率上的概率. .分布函数分布函数对任意实数对任意实数上的概率上的概率，用，用F(x)刻画随机点落在刻画随机点落在区间区间分布函数的性
12、质分布函数的性质 单调不减性单调不减性： 右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数 归一归一 性性：，则，则具有上述三个性质的实函数，必是某个具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分随机变量的分布函数。布函数。 故该三个性质是分布函数的故该三个性质是分布函数的充分必要充分必要性质。性质。对任意实数对任意实数x, ，且，且解解例例1 已知已知，求，求 A，B。所以所以例例2 已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X 的分布函数为的分布函数为求求 X 的分布律。的分布律。解解 X 的可能取值为的可能取值为 3，4，5。所以所以 X 的分布律为的分布律为例例3 设设X 表示弹着点与靶心的距离表
13、示弹着点与靶心的距离.已知：已知： 击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积成正比；成正比； 靶子半径是靶子半径是 2 米；米； 每次射击都中靶。每次射击都中靶。求求 X 的分布函数的分布函数 F(X) 。Answer3. 连续型随机变量连续型随机变量定义定义1. 设设 F(X) 是是随机变量随机变量 X的分布函数的分布函数，若存在非负若存在非负，使对任意实数，使对任意实数则称则称 X为为连续型随机变量连续型随机变量，称，称为为 X 的的概率密度函概率密度函数数，简称简称概率密度概率密度或或密度函数。密度函数。记为记为函数函数概率密度的性质概率密度的
14、性质 非负性非负性 归一性归一性可由下图表示可由下图表示f (x)x面积面积为为1这两条性质是判定一个函这两条性质是判定一个函是否为某随机变量是否为某随机变量X的概率密度的的概率密度的充要条件充要条件。数数 对于任意实数对于任意实数，有，有 对于任意的数对于任意的数有有f (x)x 概率密度概率密度在点在点处连续，则有处连续，则有例例1设设X 的分布函数为的分布函数为求求解解4.几种常用的连续型随机变量几种常用的连续型随机变量(1) 均匀分布均匀分布定义定义 若随机变量若随机变量X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称 X 服从区间服从区间a, b上的上的均匀分布，均匀分布，记作记作由上可知均
15、匀分布的分布函数为由上可知均匀分布的分布函数为abxF (x) 01图形如下图形如下解解依题意，依题意， X U 0, 30 以以7:00为起点为起点0，以分为单位，以分为单位随机变量，随机变量， 例例1 1 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，时起， 每每15分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀之间的均匀试求他候车时间少于试求他候车时间少于5分钟的概率分钟的概率. .所求概率为：所求概率为：即乘客候车时间少于即乘客候车
16、时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3。(2)(2)指数分布指数分布若随机变量若随机变量X 的概率密度为：的概率密度为：指数分布指数分布。为常数，则称随机变量为常数，则称随机变量X服从服从参数为参数为的的其中其中概率密概率密度的图度的图形形指数分布的指数分布的分布函数分布函数为为例例2 假设灯管的寿命假设灯管的寿命X （单位：小时）服从参数为（单位：小时）服从参数为 的指数分布，的指数分布，（1）求这个灯管能使用）求这个灯管能使用1000小时以上的概率；小时以上的概率；（2）若已知该灯管已使用）若已知该灯管已使用1000小时，求它能再使用小时，求它能再使用1000小时的概率。小时的概率。(
17、3) 正态分布正态分布定义定义1 设连续型随机变量的概率密度为设连续型随机变量的概率密度为其中其中为常数，则称为常数，则称 X 服从参数为服从参数为的的正态分布正态分布或或高斯高斯(Gauss)分布，分布，记为记为条关于条关于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线. .特点是特点是: :正态分布的密度曲线是一正态分布的密度曲线是一正态分布的图形特点正态分布的图形特点决决定定了了图图形形决决定定了了图图形形中中峰峰的的陡陡峭峭程程度度的的中中心心位位置置“两头小两头小, ,中间大中间大, ,左右对称左右对称”定义定义2若若X 的概率密度为的概率密度为则称则称 X 服从服从标准正态分布标准正态分布，记为，
18、记为X的分布函数为的分布函数为例例1 1 解解设随机变量设随机变量，试求，试求一般地，若一般地，若，我们只要通过一个线性变，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。换就能将它化成标准正态分布。定理定理1 若随机变量若随机变量，则，则结论结论 若若，则它的分布函数可以写成，则它的分布函数可以写成 若若解解例例2 设随机变量设随机变量，试求，试求 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高XN (170,62), ,问问车门高度应如何确定车门高度应如何确定? ? 解解 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求即即因为因为 XN( 170, 62 )，0.99故故查表得查表得例例30因为因为由图可知由图可知所以查表可得所以查表可得故故则称点则称点为为标准正态分布的上标准正态分布的上分位点分位点。定义定义 设设，若，若满足条件满足条件Thank you
