gs1.2数列的极限与常数项级数ppt课件

 设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,…xn, …, 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f (xn)第一节　数列的极限第一节　数列的极限一、数列的极限一、数列的极限例例. .1x 看数列1.　　从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?2x1x2x3x4xn 注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则a, b越接近.因而, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1〞就只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.而要说明“| xn1 |越来越接近于0〞则只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |能够小于任意给定的, 无论多么小的正数” 就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数, 当n充分大时, | xn1 | 比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.事实上, , 给, 很小, , 只须n>1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个又给, 则从第10001项开始,以后各项都有一般, 任给 >0, 不论多么小, 只须. 因而, 从第项开始, 以后各项都有. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使定义定义: : 设设{xn}{xn}是一个数列是一个数列, a, a是一个常数是一个常数, , 假设 >0, 正整数N, 使得当n>N时, 都有|xna|<, 则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,记作这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的极限不存在, 或称{xn}是发散的. 比如, 对于刚才的数列1. 有注注1. 1. 定义中的定义中的是预先给定的是预先给定的, , 任意小的正任意小的正数数, , 其任意性保证了xn可无限接近于a,另外, 又是确定的, 它不是变量.假设 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,注注2. 2. 一般说来一般说来, N, N随给定的随给定的变化而变化变化而变化, , 给不同的给不同的 确定的确定的N N也不同也不同, ,另外另外, , 对对同一个同一个来说来说, N, N不是唯一的不是唯一的( (若存在若存在一个一个N, N, 则则N+1, N+2, N+1, N+2, ……, , 均可作为定均可作为定义中的义中的N.)N.)假设 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,注注3.3.定义中“ 当n>N时, 有| xna |<”的意思是说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |<,至于以前的项是否满足此式不必考虑. 可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关. 而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.假设 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,几何意义几何意义: :x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于| xna |<  a 0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,证证: :  >0. 由于|xn–1|=|c – c|= 0取N=1, 当n>N时, 有|xn–c |=0< 故即常数的极限就是常数本身.例例2. 2. 设设q q是满足是满足 |q |<1 |q |<1的常数的常数, , 证证明明证证. . 假设假设 q = 0 , q = 0 , 结论显然成立结论显然成立. . > 0. 设 0 < |q |<1.如今, xn = qn, a = 0.(要证N, 当n>N时, 有 |qn 0| < )因 | xn  a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn  a | <  , 只须 |q | n < 即可.即 n ln |q | < ln , 取正整数 则当 n > N 时, 有从而有| qn   0 | <  例例3. 3. 证明证明证证: :  >0 >0要使则当n>N时, 有(要证N, 当n>N时, 有假设 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,例例4. 4. 证证: : >0,由于要使 | xn  a | < , 则当 n > N 时, 有例例5. 5. 证证: (1) : (1) 设设 a = 1, a = 1, 结论显然成立结论显然成立. .(2) 设 a > 1, 从而 > 1+ nn >0,(3) 设 0 < a < 1, 即 >0, N, 当n>N时, 有   . (因 0 < a < 1) 综合得本例也可用有理化的方法处理本例也可用有理化的方法处理. 注意到公式从而(分母都用1代).以下同(2).baxb+ 证证: 反设xn收敛, 但极限不唯一, 设bN1时,N2, 当n>N2时,取N=max{N1, N2}, 则当n>N时, 上两式同时成立.从而当 n>N时, 有矛盾, 故极限唯一.假设 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,几何意义几何意义: :数列的有界性数列的有界性.定义定义: : 没有数列没有数列xn=f (n), xn=f (n), 假设假设 M>0, M>0, 使得使得|xn||xn| M, n=1, 2, M, n=1, 2, ……. . 则称数列则称数列xnxn有界有界, , 否则, 称xn无界.由于 |xn|MMxnM xn[M, M].故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间[M, M]内.看图0MxxnM)(例例1. xn=(1. xn=( 1)n1)n有界有界, , 而而xn=n2xn=n2无界无界. .x11x0 194x1x2x30x2nx2n-1设xna (n), 则对n=1, 2, …,有|xn|M证证: :由定义, 对=1, 存在自然数N,当n>N时, 有|xna|<1,故 |xn||xna|+|a|<1+|a|. 取M=max{|x1|, |x2|,…, |xN|, 1+|a|}xa–1aa+1)(M假设 >0, 正整数N, 使得当n>N 时, 都有|xna|<,定理定理2. 2. 假设假设{xn}{xn}收敛收敛, , 那么那么{xn}{xn}有有界界. .定理2的逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 但由定义和几何意义知(1)n是发散的.看图x110()()定理定理3. 3. 证：如图证：如图xab… (1)… (2)取 N = max{N1, N2},则当 n > N时, (1), (2)同时成立，即 xn > yn. 在定理3中取 yn= 0.故正整数N, 当n>N时, 推论推论1. (1. (保号性定理保号性定理) ) 假设假设, 而a>0 (a<0). 那么正整数N, 当n>N时, 有xn>0 (xn<0)证证: :那么从而 a > b = 0.类似证明 a < 0的情形.推论推论2. 2. 证证: : 反设反设 a N1> N1时时, , 有有xn< yn.xn< yn.取 N2 = max{N, N1}, 则当 n > N2 (  N)时,有 xn< yn.此与条件矛盾.推论推论3: 3: 设有数列设有数列{xn}, {xn}, 假设假设 正整数正整数N, N, 当当n>Nn>N时时, , , 那么 有 xn0 (xn0). 且a0 (a0).比如,注注: : 在在推推论论3 3中中, , 即即使使xn>0, xn>0, 也也只只能能推推出出a a 0,0,定理定理4.4.xn  yn  zn证证: : > 0 , N1, 当n > N1时, 有 |xn a| < .…(1)即 a   < xn < a +  … (2)(夹逼定理). 设数列{xn}, {yn}, {zn}满足正整数N, 当 n > N 时, 有N2, 当n > N2时, 有 a   < zn < a +  … (3)取 N * = max{N, N1, N2}, 则当n > N * 时, (1), (2), (3)同时成立.有a   < xn  yn  zn  a +  即 | yn  a | <  . 特别, 若在夹逼定理中, xn 和 zn 中有一个为常数列, 并满足定理条件. 定理当然成立. 即假设 a  yn  zn , 夹逼定理的意义有: (1) 给出判断数列 yn 存在极限的方法; (2) 给出了求给出了求 yn 的极限的方法的极限的方法.这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.例例2. 2. 求求解：用夹逼定理求解，解：用夹逼定理求解，记适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式考虑将 xn由于所以例例3. 3. 求数列求数列解：回忆结论解：回忆结论得出当 a >1 时的结论的方法是记得得现在类似，记那么解得易证所以所谓数列{xn} 子列，就是从数列 x1, x2, , xn,  中任取无穷多项，按原来的次序，从左到右排成一个新的数列，这个数列称为{xn}的子列. 比如，x2, x5, x14, , x78, 就是{xn}的一个子列上列中n1=2, n2=5, n3=14等.二、子列二、子列注：注：易见 k  nk .前必已从{xn}中抽出了k1项，{xn}的第 k 项后的项中抽出， 也即 k  nk .(3) 对任何两个正整数 h, k, 假设 h  k, 则有 nh  nk .反之，假设 nh  nk, 那么 h  k.这是因子列次序与原数列次序相同.在子列中位置靠后的项，在原数列中位置也靠后，反之也对.a 的定义是：此时，记为或定理定理5. 5. 证：充分性证：充分性. . 由于{xn}可看作它自已的一个子列.由条件 {xn} 的任何子列都以 a 为极限，故必要性必要性.注：由定理注：由定理5 5，假设，假设{ xn } { xn } 的两个子列一个收敛的两个子列一个收敛于于 a , a , 而另一个收敛于而另一个收敛于 b b，且，且 a a b, b, 那么那么{xn}{xn}发散；发散；或者，{xn}中有一个子列发散，那么{xn}发散.0, 1, 0, 1,  发散.1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 发散.推论推论. .  若数列{xn}满足 x1x2…xn…, 则称{xn}为单调递增数列. 若x1x2…xn…, 则称{xn}为单调递减数列.单调递增和单调递减数列统称为单调数列.三、收敛准则三、收敛准则例例4. xn=n24. xn=n2是单调递增数列是单调递增数列, , 但但xnxn是发散是发散的的. . xn=(1)n是有界数列, 但xn=(1)n也是发散的.定理定理6. 6. 单调递增且有上界的数列必有极限单调递增且有上界的数列必有极限; ; 单调递减且有下界的数列必有极限.即, 单调有界数列必有极限.例例5.5.数列数列是单调递增且有上界的数列.证证: : 首先注意到首先注意到, , 当当a>b>0a>b>0时时, , 有移项, 有即(1) 取取有即(2) 取取有即由于单调有界, 从而必有极限.(e=2.71828…, 为一无理数)定理定理7:7:| xnxm | <  .证：略证：略a()xn(柯西收敛准则) 数列{xn}收敛的充要条件是 >0, N > 0, 当n, m>N 时，有例例6. 6. 利用柯西收敛原理证明利用柯西收敛原理证明 xn=1+q+q2+ xn=1+q+q2+ +qn ( | q |<1) +qn ( | q |<1) 收敛收敛. .证：证： >0 >0，设，设 m > m > n n，，| xmxn |要使| xmxn | < , 只须即(n+1)ln |q| < ln (1|q|), 取正整数则当 n, m>N 时，有| xnxm | <  .故 xn 收敛.定义定义1.1.或,  > 0, N > 0, 当 n > N 时, 有 | xn | <  . 则称  为无穷小量(无穷小数列).第三节第三节 数列极限运算数列极限运算一、无穷小量一、无穷小量(1) 无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0, 则不是无穷小量.所以, 除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.(3) 常数列 xn = 0 是无穷小量.注注: : 定理定理1. (1. (极限与无穷小的关系定理极限与无穷小的关系定理) )证证: ": "" "  > 0, N > 0, 当 n > N 时, 有 | xna | <  .即| n | <  .故 xn= a + n , 其中n 0 (n+时). 那么  > 0, N > 0, 当 n > N 时, 有 |n | <  .即| xna | <  ."" 假设假设 xn= a + n , 其中其中n  0 (n + 时时). 故性质性质1. 1. 有限多个无穷小量的代数和为无穷小有限多个无穷小量的代数和为无穷小量量. .性质性质2. 2. 有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小量量. .那么 xn  yn 是无穷小量 .即 有界量乘无穷小量仍为无穷小量.推论推论. . 常量乘无穷小量仍为无穷小量常量乘无穷小量仍为无穷小量. .性质性质3. 3. 假设假设 xn xn 是无穷小量是无穷小量, | yn | , | yn |   M( M(当当 n > N n > N 时时), ), 性质性质4. 4. 假设假设 xn xn 是无穷小量是无穷小量, yn , yn   a ( a ( 0), 0), 那么那么1. 两个无穷小量的商不一定是无穷小量.2. 性质1, 2中的条件"有限多个"不能丢.如n个注注: : 例例1. 1. 解解: :例例2. 2. 解解: :故 原式 = 0.看数列 xn = n2, 即， 1, 22, 32, …, n2, …. x322210当 n 越来越大时, 数列 xn 的值也越来越大, 要多么大就有多么大, 可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).二、无穷大量二、无穷大量定义定义2. 2. 假设假设  G > 0(G > 0(无论多么大无论多么大), ),  N > 0, N > 0, 当当 n > Nn > N时时, 有有 | xn | > G ,则称则称 xn 为无穷大量为无穷大量, 记记作作(1)(2) 任何常数列(常量)都不是无穷大量.注注: : xxN+2Gx10xNGxN+1即, 当n > N 时, xn 都落在区间 [G, G]外面.在 [G, G]内, 只要 xn 的有限多个项.例例3. 3. 设设 | q | > 1. | q | > 1.证证: :  G > 0, (G > 0, (要证要证 N > 0, N > 0, 当当 n > N n > N 时时, , 有有 | | qn | > G )qn | > G )要使 | qn | = | q |n > G.只须则当 n > N 时, 有 | qn | > G 故例例4. 4. 数列数列 xn = (1+( xn = (1+( 1)n)n 1)n)n 是否为无穷是否为无穷大量大量? ?解解: : 数列数列 xn xn 为为0, 22, 0, 24, 0, 26, ….如图x2624x2k+122因不论 n 多么大, 总有 | xn | = | x2k+1 | = 0 > G.所以 xn 不是无穷大量.定义定义3. 3. 从几何上看, xn .xx1x20G xn xxnx3 0G x1 x2xn +.证证: : 设设 xn xn 为无穷大量为无穷大量, , 要证　要证　 为无穷为无穷小量小量. . > 0, 因 xn 为无穷大量.从而定理定理2. 2. 假设假设 xn xn 是为无穷大量是为无穷大量, , 那么　那么　 为无穷小为无穷小量量. .假设 xn 是为无穷小量(xn 0), 那么　 为无穷大量.(1) 两个无穷大量的和, 差, 两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.比如, 当n +时, n2 , n2 , 但 n2 + (n2) = 0,都不是无穷大量.但, ++(+) = +, +() = . 注注: : (2) 有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量)特别, 比如, 当xn = n2 , yn = 0, 那么 xnyn = 0 不是无穷大量.(3) 若数列 xn , 那么 xn 无界,但反之不对.如, 当xn = (2+(1)n)n . 无界, 但不是无穷大量.(4)    = ,  (有界量) = .定理定理3. 3. 设数列设数列 xn xn和和 yn yn 的极限都存在的极限都存在. . 且且那么(1)(2)(3) 设 C 为常数，有(4) 当 b0 时，有三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则证：只证证：只证(1). (1). 因由极限与无穷小关系， 有，xn=a+n, yn=b+n，其中n, n0(n+).从而 xn  yn =(a  b)+(n  n )由无穷小量性质知n  n0(n+)再由极限与无穷小的关系定理，知定理定理4. 4. 假设假设证：由于证：由于注意到不等式 | | A | | B | |  | A B |从而 | | xn | | a | |  | xn a | < 故反之不对反之不对. .比如, 设 xn = (1)n.例例5. 5. 求求解解: :一般, 称形为 f (x) = a0xk+a1xk1++ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式. 其中k为非负整数，ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时), 可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，= 0，= .故一般，假设 a0, b0 都非0，那么，0，k < Lk > L例例6. 6. 求求解：有理化解：有理化. .= 50.例例7. 7. 求求解：注意到求和公式解：注意到求和公式= 2.例例8. 8. 求求解：注意到解：注意到从而所以，原式=例例9. 9. 求求解：注意到解：注意到从而，故 例例10. 10. 设设x0=1, x0=1, 证明 xn 的极限存在，并求之.证：证：通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1)注意到 0 < xn  2, 即 xn 有界. 且x1  x0同理，=即 xn 单调递增.因 xn > 0 , 故 a  0.设有数列u1, u2,… , un,… , 则式子称为一个(常数项)无穷级数.第n项un称为级数的一般项或通项.第四节　常数项级数的概念和性质第四节　常数项级数的概念和性质一、基本概念一、基本概念级数是无穷多个数的和. 它可能是一个确定的数, 也可能不是一个确定的数. 比如0+0+… +0+… =0,而1+1+… +1+…就不是一个数.记 Sn = u1+ u2 +… +un. 称为此级数的前n项部分和.(如 S1= u1, S2 = u1+u2, …, Sn = u1+ u2 +… + un.)由部分和构成的数列S1, S2,…, Sn ,… , 称为此级数的部分和数列.易见. (i) un = Sn–Sn –1(ii) 从形式上看, 有定义定义: :则称此级数收敛, 极限值S 称为该级数的和. 记作称为该级数的余和(余项, 余式)例例1.1.称为等比级数. r 称为公比. 讨论等比级数敛散性.解解: :从而,(i)事实上, 若0  r <1,假设–1 < r <0, 那么 r = – | r |, rn = (–1)n ·| r |n 从而,(ii)(iii)(iv)不存在.综合:即:| r |<1.例例2.2.解解: :故故该级数收敛, 且有,例例3.3.证证: :故此级数发散.例例4.4.证明级数证明级数收敛, 并求它们的和S.解解: : 为求为求Sn .Sn .故级数从而且 S = 2.性质性质1. (1. (级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件).).证证: : 由于 un = Sn – Sn–1二、基本性质二、基本性质注注1. 1. 性质1是级数收敛的必要条件而非充分条件. 也即,注注2.2.性质性质1 1的逆否命题为的逆否命题为 这是以后我们判定一个级数发散的重要结论.例例. .级数级数 1 + 2 + 1 + 2 +…… + n + n + +……, , 故级数发散.故此级数发散.性质性质2. 2. 那么,  R,证证: : 特别 (i) 取 =1,  = 1. (ii) 取 = 0.推论推论: : 证证: :由性质2.矛盾.性质性质3. 3. 证证: : 只证在级数中去掉一项的情形只证在级数中去掉一项的情形. . 其余情形类其余情形类似似. .u1 + u2 +… +uk–1+ uk+1 +…在级数中去掉或增加有限项. 不改变级数的敛散性.由于uk是常数, 其极限存在且为uk . 因而,即新级数与原来的级数有相同的敛散性.性质性质4. 4. 则对其任意加括号后所得到的级数仍然收敛, 且其和不变.即, 假设 u1+ u2 +…+un +…= S. (收敛)则任意加括号后所成新级数. (u1+ u2) + (u3+u4+u5) + (u6 + u7) +…= V1+ V2 + V3 +… = S. (收敛)其中, V1= (u1+ u2), V2= (u3+u4+u5), V3= (u6 + u7)…证证: : 用用 m m表示加括号后所成级数表示加括号后所成级数 V1+ V2 + V3 +… = (u1+ u2) + (u4+u4+u5) + (u6 + u7) +…的前m项部分和.那么 1 = V1 = (u1+ u2) = S2,2 = V1 + V2 = S5,3 = V1 + V2 + V3 = S7, … , 一般, 设m = Sn . 其中 m  n .当m时, n. 从而故, 加括号后所成级数收敛于S.注注: :比如, 级数(1–1)+(1–1)+…+(1–1)+… 收敛于0.但去括号的级数是发散的.或由S2n = 0, 而S2n–1=1性质4的逆命题不成立.即, 若加括号后所成级数收敛. 不能保证原来级数(即, 去括号的级数)收敛.推论推论: : 若加括号的级数发散若加括号的级数发散. . 则原来级数发散则原来级数发散. .证证: (: (略略) )例例4.4.证证: : 注意不等式注意不等式. . 若若x x > 0. > 0. 故调和级数发散.例例5.5.证证: : 记Wn = un + Vn .从而Vn = Wn – un . 正项级数　　　的部分和数列 Sn=u1+ u2 +… +un 是单调递增数列 0  S1 S2 …  Sn … . 第五节第五节 常数项级数敛散性的判别法常数项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法一、正项级数敛散性的判别法从而Sn有界,也就有上界.定理定理1.1.正项级数　　　　　　收敛的充要条件正项级数　　　　　　收敛的充要条件是其部分和数列是其部分和数列SnSn有界有界( (有上界有上界).).推论推论: :(最后一个充要条件可由无界数列. 无穷大量的定义以及Sn单调递增得到.)定理定理2.(2.(比较法比较法).).n = 1, 2, …, 那么(1)(2)证证: :故, (1) (2)注注2.2.实际应用时实际应用时, , 要判正项级数　　收敛要判正项级数　　收敛. . 可将可将unun注注1.1.定理定理2 2中条件中条件““ un un  Vn Vn〞只须从某项〞只须从某项开始开始以后一直成立即可.逐步放大, un  … Vn .例例1.1.解解: (1) : (1) 假设假设 0 < P 0 < P   1. 1.(2) 假设 P > 1. 考虑对P级数按下列方法加括号所成级数.8 个2k 个从而, 加括号的P级数收敛. 原来级数收敛加括号的级数收敛.”由于“ 对正项级数而言,故, 当P > 1时, P级数收敛.推论推论. (. (比较法的极限形式比较法的极限形式) )则这两个级数有相同的敛散性.例例2. 2. 解解: : 常以常以P P级数和调和级数作为推论中的级数和调和级数作为推论中的例例3.3.解解: :定理定理3. (3. (比值法比值法, , 或或, ,达朗贝尔判别达朗贝尔判别法法).).那么(1)  < 1时, 级数收敛.(2)  > 1或  = +时, 级数发散.(3)  = 1时, 级数可能收敛也可能发散(须用另外的方法判断).例例4. 4. 解解: :< 1故级数收敛.例例5. 5. 解解: :故级数发散.例例6. 6. 解解: :所以, 用比值法无法判定其敛散性, 改用比较法.那么定理定理4. (4. (根值法根值法, , 或柯西判别法或柯西判别法).).那么(1)  < 1, 级数收敛.(2)  > 1或  = +时, 级数发散.(3)  = 1时, 级数可能收敛也可能发散例例7. 7. 解解: :交错级数各项是正负交错的.二、交错级数及其敛散性判别法二、交错级数及其敛散性判别法定理定理5. (5. (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法) )则级数收敛, 且其和 S  u1.证证: : 我们来证明部分和数列我们来证明部分和数列SnSn收敛收敛, , 为此为此, , 只须只须证明证明(1) 因S2n =(u1  u2) + (u3  u4) +… +(u2n–1  u2n )  0.且易见, S2(n+1)  S2n .以及S2n= u1 (u2u3 )(u4u5) … (u2n–2u2n–1)u2n  u1.故数列S2, S4, S6,…S2n ,… 单调递增有上界. 从而存在极限.(2) S2n+1 = S2n + u2n+1 ,= S + 0 = S综合(1),(2)知,问: 若将条件(1)改为un  un+1, n =N, N+1, N+2, … , 结论是否全对, 应如何修改.例例8. 8. 解解: : 此为交错级数此为交错级数. .由莱布尼兹判别法, 级数收敛.注: 本题是由调和级数即un为任意实数. 称为任意项级数.将各项取绝对值, 作成一个正项级数还可为0. 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛条件收敛.定理定理6. 6. 即, 绝对收敛的级数必为收敛级数.证证: : 即, 当un 0时, Vn = un .当un < 0时, Vn = 0 .例例9. 9. 解解: :例例10. 10. 解解: :即, 原级数不是绝对收敛.综合知, 原级数条件收敛.由莱布尼兹判别法, 原级数收敛.注注1: 1: 注注2: 2: 若用柯西判别法或达朗贝尔判别法判若用柯西判别法或达朗贝尔判别法判出出发散, 那么取实数r, 使得由保号性定理, N. 当n >N时,例例11. 11. 解解: :由上面的注2, 原级数发散.定理定理7. (7. (狄利克雷判别法狄利克雷判别法) ) (1) {un}单调减少, 且(2) 其中M > 0为与n无关的常数.证: 略例例12.12.判别判别解：解： 记记考虑 | cosx + cos2x +  + cosnx | 的有界性.若取　　　则将均化为和差后, 右边有一项绝对值相同, 符号相反, 可抵销.故考虑注意到 cosAsinB 以及由于 从而即 由定理7,因。