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1、概率概率与与统计统计边缘分布与独立性FY(y)F (+, y) PYy 称为称为二维随机变量二维随机变量(X, Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数. 2.5.边缘分布与独立性边缘分布与独立性一、边缘分布函数一、边缘分布函数FX(x)F (x, +) PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y)关于关于X的边缘分布函数；的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。例例1.已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。二、边缘分布律二、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的
2、联合分布的联合分布律为律为 (p80) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称则称 PXxipi. ，i1, 2, 为为(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律； PY yjp.j ，j1, 2, 为为(X, Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。 边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布律的性质。例例2 2. .已知已知(X,Y)(X,Y)的分布律如下的分布律如下, ,求求X X、Y Y的边缘分布律。的边缘分布律。xy10 11/10 3/100 3/10 3/10解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p
3、.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为： X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5三、边缘密度函数三、边缘密度函数为为(X, Y)关于关于Y的的边缘密度函数边缘密度函数。 设设(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 则称则称 为为(X, Y)关于关于X的的边缘密度函数边缘密度函数； 同理，称同理，称易知易知N( 1, 2, 12, 22, )的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N( 1, 12)的密度函数，而的密度函数，而fY(y)是是N( 2, 22)的密度函的密度函数，故数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布二维正态分布的
4、边缘分布也是正态分布。例例3.3.设设(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为（1 1）求常数求常数c;(2)c;(2)求关于求关于X X的边缘概率密度的边缘概率密度解解:(1)由归一由归一性性x=yx=-y四、随机变量的相互独立性四、随机变量的相互独立性由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X X与与Y Y的独立性，只需求出它们各自的边缘的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每一对可能取的每一对可能取值点值点, ,边缘分布的乘积都等于联合分布即边缘分布的乘积都等于联合分布即可可EXEX：判断例判断例1 1、例、
5、例2 2、例、例3 3中的中的X X与与Y Y是否相互独立是否相互独立例例4.已知随机变量已知随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为且知且知X与与Y独立，求独立，求a、b的值。的值。解解:由归一性由归一性例例5 5. .甲乙约定甲乙约定8:008:00 9:009:00在某地在某地会面。设两人都随机地在这期会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达，先到者最间的任一时刻到达，先到者最多等待多等待1515分钟过时不候。求两分钟过时不候。求两人能见面的概率人能见面的概率。解解: :定义定义. 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为的分布函数为F(x1,x2,.,xn), (
6、X1,X2,.,Xn)的的k（1 kn)维边维边缘缘分布函数就随之确定，如关于分布函数就随之确定，如关于(X1, X2）的的边缘分布函数是边缘分布函数是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2, . )若若Xk 的边缘分布函数为的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,n, 五五n维随机变量的边缘分布与独立性维随机变量的边缘分布与独立性则称则称X1,X2,.Xn 相互独立，或称相互独立，或称(X1,X2,.Xn)是独立是独立的。的。则称离散型随机变量则称离散型随机变量X1, X2, , Xn相互独立相互独立。 设设X1，X2，Xn为为n 个连续型随机变量，若个连续型随机变量，若对任意的对
7、任意的(x1, x2, , xn) Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立。相互独立。 定义定义 设设n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )的分布函数为的分布函数为F FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n) )；m m维随机变量维随机变量(Y(Y1,1,Y Y2 2,Y Ym m) )的的分布函数为分布函数为F FY Y(y(y1,1,y y2 2,y ym m), X), X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1
8、,1,Y Y2 2,Y Ym m组成的组成的n+mn+m维随机变量（维随机变量（X X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2,Y Ym m) )的分布函数为的分布函数为F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2,y ym m).).如果如果F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2,y ym m) )= F= FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n) F) FY Y(y(y1,1,y y2 2,y ym m) )则称则称n n维随机变量维随机变量(X(X1
9、,1,X X2 2,.,.X Xn n) )与与m m维随机维随机变量变量(Y(Y1,1,Y Y2 2,Y Ym m) )独立。独立。2.7(续续) 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布一、一、二维离散型随机变量函数的分布律二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（设二维离散型随机变量（X，Y），）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 则则 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或 EXEX 设
10、随机变量设随机变量X X与与Y Y独立，且均服从独立，且均服从0-1 0-1 分分布，其分布律均为布，其分布律均为 X 0 1 P q p (1) (1) 求求W WX XY Y的分布律的分布律; ;(2) (2) 求求V Vmax(X, Y)max(X, Y)的分布律；的分布律；(3) (3) 求求U Umin(X, Y)min(X, Y)的分布律。的分布律。(4)(4)求求w w与与V V的联合分布律。的联合分布律。(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)pijW WX XY YV Vmax(X, max(X, Y)Y)U Umin(X, min(X, Y)Y)011201110001VW0 10 1 2000
