多面体的外接球问题

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1、多面体与球的切接问题多面体与球的切接问题基本知识回顾：基本知识回顾： 一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个这个球是这个 。多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内

2、切球外接球球心到各顶点的距离相等外接球球心到各顶点的距离相等(R) 内切球球心到各面的距离相等内切球球心到各面的距离相等(r)球与正方体的球与正方体的“切切”“接接”问题问题一、直棱柱与球一、直棱柱与球正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a，则中截面中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方形的对角线等于球的直径。正方形的对角线等于球的直径。.ABCDD1C1B1A1O对角面对角面球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。正方体的

3、内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a，则 a变式变式1：小结小结1如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：）先找外接球的球心： 它的球心是连接上下两个多边形的它的球心是连接上下两个多边形的外心外心 的线段的中点；的线段的中点；（2） 再构造直角三角形，勾股定理求解。再构造直角三角形，勾股定理求解。二、棱锥与球二、棱锥与球1. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两两两互相垂直，若互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。ACBPO O变题：变题： 3.3.正

4、四面体正四面体ABCDABCD的棱长为的棱长为a a，求其，求其内切球半径内切球半径r r与外接球半径与外接球半径R.R.PABCMOPAMDEOD法法1.勾股定理法勾股定理法难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正四面体外接球的半径正方体外接球的半径正方体外接球的半径难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径法法2.补成正方体补成正方体变式变式1.求棱锥外接球半径常见的补形有：求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总结总结小结小结2 求棱锥外接球半径的方法：求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）补形法（适用特殊棱锥）（2）勾股定理法）勾股定理法 （通法）（通法） 关键是关键是找球心找球心，画出截面图，构造与，画出截面图，构造与R有关有关的直角三角形。的直角三角形。