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1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)对面积的曲面积分(第一类曲面积分)对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线
2、形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, 都存在, 上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量和对目录 上页 下页 返回 结束 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线 , 则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (
3、x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中dx 可能为负.目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质（, 为常数)( 由 组成) ( l 为曲线弧 的长度)目录 上页 下页 返回 结束 二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 目录 上页 下页 返回 结束 点设各分点对应参数为对应参数为 则目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:因此积分限必须满足(2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元
4、法”. 因此目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为则目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算曲线积分 其中 为螺旋的一段弧.解解: 线目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中 为球面 被平面 所截的圆周. 解解: 由对称性可知目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 例5中 改为计算解解: 令, 则圆 的形心在原点, 故, 如何利用形心公式目录 上页 下页 返回 结束 例例4.
5、计算其中 为球面解解: 化为参数方程 则目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义2. 性质性质( l 曲线弧 的长度)目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1. 设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界, 求2. 已知椭圆周长为a , 求目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1. 设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界, 求提示提示: 分段积分目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知椭圆周长为a , 求提示提示:原式 =利用对称性分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 第二节
6、一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“大化小” “常代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.目录 上页 下页 返回 结束 1) “大化小大化小”.2) “常代变常代变
7、”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P190 3 (3) , (4) , (6) , (7)5
