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1、上页下页铃结束返回首页9/6/20241上页下页铃结束返回首页正方形金属薄片受热后面积的改变量.一、微分的定义v引例 2上页下页铃结束返回首页 如果函数 yf(x) 的增量可表示为Dyf(x0Dx)f(x0)ADxo(Dx) 其中 A 是与 Dx 无关的常数, 则称函数 yf(x)在点 x0可微.而 ADx 叫做函数 yf(x) 在点 x0 相应于自变量增量 Dx 的微分 记作 dy 即dyADx v微分的定义(微分的实质)问题:是否所有函数的改变量都可表示为DyADxo(Dx) ?线性函数 ADx 中的 A 是什么?3上页下页铃结束返回首页 函数 yf(x) 在任意点 x 的微分 称为函数的
2、微分 记作 dy 或 df(x) 即dyf (x)Dx 例如 dcos x(cos x)Dx sin x Dx dex(e x)DxexDx 可微与可导的关系yf(x) 在点 x0 可微 DyADxo(Dx) dyADx 函数 f(x) 在点 x0 可微 函数 f(x) 在点 x0 可导函数 y=f(x)在点 x0 的微分一定是 dyf (x0)Dx 4上页下页铃结束返回首页 dx(x)DxDx 自变量 x 的微分 dx 等于增量 Dx , 即 函数 yf(x) 的微分更习惯地记作自变量的微分 dyf (x)dx dxDx 函数 yf(x) 的微分: dyf (x)Dx 5上页下页铃结束返回首
3、页二、微分的几何意义 当 |Dx| 很小时 |Dydy| 比 |Dx| 小得多 于是 Dy 是曲线上点的纵坐标的增量 dy 是过点 (x0 f(x0) 的切线上点的纵坐标的增量 当 x 从 x0 变到 x0Dx 时 用切线小段 MP 近似代替曲线小段 MN 微分的几何意义:PN06上页下页铃结束返回首页三、基本微分公式与微分运算法则d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln
4、adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式7上页下页铃结束返回首页微分公式: 导数公式: 8上页下页铃结束返回首页2.函数和、差、积、商的微分法则 公式 d(uv)vduudv 的证明 因为 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 而 udxdu vdxdv 所以 d(uv)vduudv (uv)uv (Cu)Cu
5、(uv)uvuv求导法则 微分法则 9上页下页铃结束返回首页 设 yf(u) 及 uj(x) 可微 则复合函数 yfj(x) 的微分为dyyxdxf (u)j(x)dx 因为 j(x)dxdu 所以 复合函数 yfj(x) 的微分公式也可以写成dyf (u)du 或 dyyudu 3.复合函数的微分法则 由此可见 无论 u 是自变量还是中间变量, 微分形式 dyf (u)du 保持不变 这一性质称为微分形式不变性. 微分等式 df(x)=f (x)dx 中的自变量 x 可用可微中间变量 uj(x) 代换. 10上页下页铃结束返回首页四、微分在近似计算中的应用 v函数的近似计算 当函数 yf(x
6、) 在点 x0 处的导数 f (x)0 且 |Dx| 很小时 我们有 Dy dy f (x0)Dx f(x0Dx)f(x0) dy f (x0)Dx f(x0Dx) f(x0)f (x0)Dx 若令 x x0Dx 即 Dx xx0 那么又有 f(x) f(x0)f (x0)(xx0) 特别当 x00 时 有 f(x) f(0)f (0)x 11上页下页铃结束返回首页 例7 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为 001cm 估计一下每只球需用铜多少 g (铜的密度是89g/cm3)?求函数增量的近似公式 f(x0Dx)f(x0) f (x0)Dx 镀层的体积为
7、 DVV(R0DR)V(R0) V (R0)DR4pR02DR 431412001 013(cm3) 于是镀每只球需用的铜约为 01389 116(g) 解 已知球体体积为 R01cm DR001cm 12上页下页铃结束返回首页求函数值的近似公式 f(x0Dx) f(x0)f (x0)Dx 例8 利用微分计算 sin 3030 的近似值 sin x0 cos x0 Dxsin 3030sin(x0Dx) 解 13上页下页铃结束返回首页例9解 常用的近似公式(假定 |x| 是较小的数值) (2) sin x x; (3) tan x x; (4) ex 1x (5) ln(1x) x 求函数在
8、x0 附近的值的近似公式 f(x)f(0)f (0)x误差估计 14上页下页铃结束返回首页小小 结结1微分的定义微分的定义微分公式与运算法则微分公式与运算法则1. 基本公式基本公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则微分形式不变性微分形式不变性微分的几何意义与函数的一次近似微分的几何意义与函数的一次近似15上页下页铃结束返回首页微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法
9、微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫叫做做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:小小 结结216上页下页铃结束返回首页导数与微分的区别导数与微分的区别: :17上页下页铃结束返回首页 近似计算的基本公式近似计算的基本公式18上页下页铃结束返回首页思考题思考题19上页下页铃结束返回首页思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 20上页下页铃结束返回首页四、练习及作业：四、练习及作业： P54 1.221上页下页铃结束返回首页22
