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1、上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页2.1从一个经济问题谈起从一个经济问题谈起上页下页铃结束返回首页 1 数列极限数列极限二、数列极限精确定义二、数列极限精确定义三、数列极限几何意义三、数列极限几何意义一、数列极限的通俗定义一、数列极限的通俗定义通俗定义及其分析精确定义及其简述形式上页下页铃结束返回首页一、数列极限的通俗定义一、数列极限的通俗定义 设sn=f(n)为圆的内接正n边形的面积， 则sn是一个数列。s3s4s5s6s16考虑求圆的面积问题：考虑求圆的面积问题： 可以看出，当n越来越大时，sn就越来越接近于圆的面积s 。 我们说 s 为数列sn的极限。上页下页铃结束返回首页上页
2、下页铃结束返回首页 给定一个数列 yn ，如果当 n 无限地增大时，yn 无限地接近于常数a，则称当n趋于无穷时，数列yn以a为极限，或称数列yn收敛于a。 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 通过观察求出下列数列的极限：极限的通俗定义：极限的通俗定义：上页下页铃结束返回首页 这三个数列都以1为极限。 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页趋势不定发 散上页下页铃结束返回首页 “yn无限地接近于a” “|yn-a|无限接近于0” “|yn-a|可以任意小，要多小就能够有多小” “ n增大到一定程度以后，|yn-a|能小于事先给定的任意小的正数”。“当当n无限增大时，无限增大时， yn无
3、限地接近于无限地接近于a”的分析：的分析： 给定一个数列 yn ，如果当 n 无限地增大时，yn 无限地接近于常数a，则称当n趋于无穷时，数列yn以a为极限，或称数列yn收敛于a。极限的通俗定义：极限的通俗定义： 因此，如果 n增大到一定程度以后，|yn-a|能小于事先给定的任意小的正数，则当 n 无限地增大时，yn 无限地接近于常数a。上页下页铃结束返回首页说明：说明： -刻划yn与A的接近程度； N -刻划n充分大的程度； 与N的关系- N是随 而确定的； | yn-A |N时 ， |yn-A|0, NN, nN, 有|yn-A|N时 ， |yn-A|0, NN, nN, 有|yn-A|
4、。 0, NN, nN, 有|yn-A|0，要使 0, NN, nN, 有|yn-A|N时|yn-A|。 数列yn以常数A为极限：On yn AA+A-12345N三、数列极限几何意义三、数列极限几何意义N+1N+2N+3N+4 NN+1N+2N+3N+4 上页下页铃结束返回首页On yn AA+A-12345NN+1N+2NN+1N+2NN+2上页下页铃结束返回首页2 函数的极限函数的极限一、当一、当x时函数的极限时函数的极限二、当二、当xx0时函数的极限时函数的极限三、左极限与右极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理四、关于函数极限的定理上页下页铃结束返回首页极限的重要性极限的重要性
5、（1） 极限是一种思想方法极限是一种思想方法（2）极限是一种概念）极限是一种概念（3） 极限是一种计算方法极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量需要用极限来求物理、几何量需要用极限来求上页下页铃结束返回首页（ 两种基本变化趋势）两种基本变化趋势） 趋向于一点趋向于一点自变量的变化自变量的变化 趋向于无穷趋向于无穷上页下页铃结束返回首页 如果当 |x| 无限地增大时，函数f(x)的值无限地接近于常数A，则称当x趋于无穷大时，函数f(x)以A为极限。极限
6、的通俗定义：极限的通俗定义：所以当x趋于无穷大时，f(x)以1为极限。 例如，当 |x| 无限增大时，一、当一、当x时函数的极限时函数的极限 yxO 1记作上页下页铃结束返回首页“当当 |x| 无限地增大时，无限地增大时，f(x)无限接近于无限接近于A ”的分析：的分析： “f(x)无限接近于A ” “ | f(x) -A|无限接近于0” “|f(x)-A|可以任意小，要多小就能够有多小” “在 |x| 增大到一定程度以后，| f(x) -A| 能够小于事先给 定的任意小的正数”。 如果当 |x| 无限地增大时，函数f(x)的值无限地接近于常数A，则称当x趋于无穷大时，函数f(x)以A为极限。
7、一、当一、当x时函数的极限时函数的极限 极限的通俗定义：极限的通俗定义：上页下页铃结束返回首页说明：说明： -刻划f(x)与A的接近程度； M-刻划|x|充分大的程度； 与M的关系-M随而定； | f(x)-A |M时，|f(x)-A|M时，|f(x)-A|0, M0, x: |x|M, 有|f(x)-A|0，要使-2-1012x1234 y y=( - )x12 y=2x 0, M0, x: |x|M, 有|f(x)-A| . 证明：证明：因为对于任意给定的0M时，|f(x)-A| 。上页下页铃结束返回首页单侧极限单侧极限极限极限，记为，记为定义定义上页下页铃结束返回首页例例，不存在不存在结
8、论结论例例 设设求求解：解：上页下页铃结束返回首页(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：上页下页铃结束返回首页 如果当 x无限接近于x0时，函数f(x)的值无限接近于常数A，则称当x趋于x0时，f(x)以A为极限。记作极限的通俗定义：极限的通俗定义：例如：例如：-2-1121 2 x yO-2-1121 2 x yOf (x)=x+1二、当二、当xx0时函数的极限时函数的极限上页下页铃结束返回首页例如：例如：-2-1121 2 x yO上页下页铃结束返回首页说
9、明：说明： -刻划f(x)与A的接近程度； d -刻划x与x0的接近程度； d 与 的关系- d 随 而定； 0|x-x0|d-表示x与x0的距离小于d 且xx0。 | f(x)-A |-表示f(x)与A接近到距离小于。极限的精确定义：极限的精确定义： 定义定义2.4 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数，总存在一个正数d，使当0|x-x0|d 时，恒有|f(x)-A|，则称当x趋于x0时，函数f(x)以常数A为极限。记作上页下页铃结束返回首页极限的精确定义：极限的精确定义： 定义定义2.4 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数，总存
10、在一个正数d，使当0|x-x0|d 时，恒有|f(x)-A|0, d0, x: 0|x-x0|d, 有|f(x)-A|0, d0, x: 0|x-x0|d, 有|f(x)-A|。上页下页铃结束返回首页三、左极限与右极限三、左极限与右极限x1O-1 1 y 试观察当x从0的左侧趋于0时和当x从0的右侧趋于0时，f(x)的变化趋势。上页下页铃结束返回首页 定定义义2.5 如果当x从x0的左侧(xx0)趋于x0时，f(x)以A为极限，则称A为xx0时f(x)的右极限。记作三、左极限与右极限三、左极限与右极限上页下页铃结束返回首页极限与左右极限的关系：极限与左右极限的关系： 解：解：因为而上页下页铃结
11、束返回首页例例6 证明函数证明函数在在处的极限不存在处的极限不存在.证证.所以所以不存在不存在.o-11xy上页下页铃结束返回首页例例7 讨论函数讨论函数在在处的极限处的极限.证证.所以所以上页下页铃结束返回首页例例8 8 判断函数判断函数 在在 点处是否有极限点处是否有极限. . 解解: 因为因为所以所以上页下页铃结束返回首页O y xAx0-dx0+d x0 y=f(x)四、关于函数极限的定理四、关于函数极限的定理 类似地可证A0的情形。 存在一个正数d，使当0|x-x0|0(或f(x)0)。总存在一正数d，使当0|x-x0|d 时，恒有上页下页铃结束返回首页 同理可证f(x)0的情形。 证明：证明：如果f(x)0，假设定理不成立，即A0，那么根据定理2.2，存在一个正数d， 使当0|x-x0|d时，有f(x)0，这与f(x)0的假设矛盾，所以A0。四、关于函数极限的定理四、关于函数极限的定理存在一个正数d，使当0|x-x0|0(或f(x)0)。则A0(或A0)。 上页下页铃结束返回首页解例9求 部分分式法上页下页铃结束返回首页故上页下页铃结束返回首页例10解：解：上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例12. 设函数存在, 则且上页下页铃结束返回首页本周本周作业：作业：2(答案答案 1)3(答案答案 1/2)(答案答案 -2)14(答案答案 -5)
