第4课 分式及其运算 •1．分式的基本概念：• (1)形如 的式子• 叫分式；• (2)当 时，分式 有意义；当 时，分式无意 • 义；当 时，分式的值为零．要点梳理要点梳理( (A，，B是整式，且是整式，且B中含有字母，中含有字母，B≠0)≠0)B≠0≠0B＝＝0 0A＝＝0 0且且B≠0≠0 •2．分式的基本性质：• 分式的分子与分母都乘以(或除以) ，分式的值不变，用式子表示为： ，• ．同一个不等于零的整式同一个不等于零的整式＝＝＝＝，，( (M是不等于零的整式是不等于零的整式) ) •3．分式的运算法则：• (1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．• 用式子表示为： ＝－ ＝ ＝－ ，• － ＝ ＝ .• (2)分式的加减法：• 同分母加减法： ；• 异分母加减法： .±± ＝＝±± ＝＝ •(3)分式的乘除法：• · ＝ ，• ÷ ＝ .•(4)分式的乘方：• n＝ ．( (n为正整数为正整数) ) •4．分式的约分、通分：• 把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，其根据是分式的基本性质．• 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． •5．分式的混合运算：• 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．•6．解分式方程，其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根，使分母为0的未知数的值，是增根，需舍去． •1．正确理解分式的概念及分式有意义• 判断某一个代数式属于不属于分式，不能看化简后的结果，而应看到它的本来面目，分式的概念是以形式上规定的．• 解有关分式是否有意义的问题时，常用到“或”与“且”来表达，正确使用“或”与“且”也是解题的关键．“或”表示一种选择关系，含有“你行，他也行”的意思；“且”表示递进关系，也有“同时”的意思．[ [难点正本难点正本 疑点清源疑点清源] ] •2．注意分式运算的法则和顺序• 分式的乘除运算，一般先利用法则转化为分式的乘法后，能约分的要先约分，再计算，否则运算非常复杂；对于乘除、乘方混合运算，就遵循“先乘方，后乘除”的运算顺序；异分母分式相加减，或分式与整式的加减运算，可把整式看作一个整体与分式通分后，按同分母的分式相加减来进行运算．分式运算中，每步运算都要符合法则或运算律，不能随意套用运算律． •3．理解分式方程的增根并检验是否产生增根• 在分式方程化为整式方程时，一般是将方程两边同乘以含未知数的整式(最简公分母)，当所乘整式不为零时，所得整式的根为增根，因此，验根是解分式方程的必要步骤．• 分式方程的增根是解题时极易忽视的知识点，在一般情形下，检验未知数的值是否是增根并不难，而当题目明确有增根时，反推此时未知数的值就会让人不知所措，此时关键是要具备逆向的思维能力，特别是涉及分式方程的解而又未明确涉及增根问题时，探讨是否有增根(或与增根有关问题)就成了隐含条件，稍不留心就会发生差错． •1．(2011·江津)下列式子是分式的是( )• A. B. C. ＋y D. • 解析：根据分式的定义，分母中必含字母的代数式叫分式．基础自测基础自测B •2．(2011·南充)当分式 的值为0时，x的值是( )• A．0 B．1 C．－1 D．－2• 解析：当x＝1时，分子x－1＝0，而分母x＋2＝3≠0，• 所以分式的值为0.•3．(2011·金华)计算 － 的结果为( )• A. B．－• C．－1 D．2 • 解析： － ＝ ＝ ＝－1.BC •4．(2011·潜江)化简( ＋ )÷(m＋2)的结果是( )• A．0 B．1• C．－1 D．(m＋2)2 • 解析：原式＝ × ＝ × ＝1.•5．(2011·芜湖)分式方程 ＝ 的解是( )• A．x＝－2 B．x＝2• C．x＝1 D．x＝1或x＝2 • 解析：当x＝1时，方程左边＝ ＝ ＝3，• 右边＝ ＝3，∴x＝1是原方程的解. BC •题型一 分式的概念，求字母的取值范围 •【例1】 (1)当x＝_______时，分式 无意义； • • 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．• (2)(2011·泉州)当x＝_______时，分式 的值为0. • 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析1 12 2 •探究提高 • 1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义． • 2.首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值． •知能迁移1 (1)使分式 有意义的x的取值范围是________．• 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，• 故x的取值范围是x≠2.• (2)当x＝________时，分式 的值为0. • 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，• 而x－3≠0，x≠3，故x＝－3.x≠2≠2－－3 3 (3) (3)若分式若分式 的值为的值为0 0，则，则x的值为的值为( ( ) ) A．．1 1 B．－．－1 1 C．．±1±1 D．．2 2解析：当解析：当x－－2 2＝＝0 0，，x＝＝2 2时，时，x2 2－－1≠01≠0，故选，故选D. .D •题型二 分式的性质•【例2】 (1)(2011·湛江)化简 － 的结果是( )• A．a＋b B．a－b C．a2－b2 D．1• 解析： － ＝ ＝ ＝a＋b.A •(2)已知 － ＝3，求分式 的值．• 解法一：∵ － ＝3，• ∴ ＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy.• 原式＝ ＝• ＝ ＝• ＝4. •解法二：∵ － ＝3，∴xy≠0，• ∴原式＝ • ＝ ＝• ＝ ＝• ＝4. •探究提高 • 1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变.• 2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底.• 3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结果． •知能迁移2 (1)(2011·聊城)化简： ÷ ＝ .• 解析： ÷ • ＝ · ＝ .• (2)下列运算中，错误的是( )• A. ＝ (c≠0) B. ＝－1• C. ＝ D. ＝ • 解析： ＝－ .D •题型三 分式的四则混合运算•【例3】 先化简代数式( ＋ )÷ ，然后选取一个合适的a值，代入求值．• • 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！• 解：原式＝( ＋ )·(a＋2)(a－2) [2分]• ＝a(a－2)＋2(a＋2)＝a2－2a＋2a＋4• ＝a2＋4 [3分]• 取a＝1，得原式＝12＋4＝5 [5分] 探究提高 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取A的值时，不能取使分式无意义的±2.•知能迁移3 (1)(2011·安徽)先化简，再求值： • － ，其中x＝－2.• 解：原式＝ ＝• ＝ ＝ ＝－1. •(2)计算：( － )· • • 解：原式＝ · － ·• ＝3(a＋3)－(a－3)• ＝2a＋12. •(3)(2011·贵阳)在三个整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x＝2时分式的值．• 解：答案不唯一．• 如，选择x2－1为分子，x2＋2x＋1为分母，• 组成分式 .• ＝ ＝ .• 将x＝2代入 ，得原式＝ ＝ . •题型四 分式方程的解法•【例4】 解分式方程： － ＝0.• 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！• 解：原式＝ － ＝0，• 去分母，5(x－1)－(x＋3)＝0，• 去括号，5x－5－x－3＝0， [2分]• 4x－8＝0，• 4x＝8，x＝2.• 经检验，x＝2是原方程的根．• ∴原方程的根是x＝2. [4分] •探究提高 • 1.按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项． • 2.检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去． •知能迁移4 (1)(2011·潼南)解分式方程： － ＝1.• 解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得• x(x－1)－(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，• 化简，得－2x－1＝－1，• 解得 x＝0.• 检验：当x＝0时，(x＋1)(x－1)≠0，• 所以x＝0是原分式方程的解． •(2)若方程 ＝ 无解，则m＝________.• 解析： ＝ ，• 去分母，x－3＝－m，m＝3－x.• 当x＝2时，m＝3－2＝1.1 1 •1．勿忘分母不能为零•考题再现 当a取什么值时，方程 － ＝ • 的解是负数？•学生作答 • 解：原方程两边同乘以(x－2)(x＋1)，得• x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，• ∴x＝ .• 由 <0,得a<－5.• 故当a<－5时，原方程的解是负数．答题规范答题规范 •规范解答 • 解：当x≠－1且x≠2时，原方程两边都乘以(x－2)(x＋1)，• 得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，• 2x＝a＋5，• ∴x＝ .• 由 <0，得a<－5.• 又由 ≠2，得a≠－1； ≠－1，得a≠－7，• 故当a<－5且a≠－7时，原方程的解是负数． •老师忠告 • (1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽视题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；• (2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除的整式的值不能是零；• (3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解．如果最后x取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不保证新方程与原方程同解．• 从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就不是原方程的解. •方法与技巧•1．分式运算过程较长，运算中错一个符号，往往会使原来能够化简的趋势改观，使算式越来越繁，形成对分式运算厌烦甚至惧怕的心理．为了避免这种现象，一定要养成分类分级逐步演算的习惯，每次添、去括号时，要注意每一个符号的正确处理．•2．在加深对方法的原理理解的前提下，清楚地归纳运算步骤，宜分步式，不宜跳步，不宜一个符号下完成数个步骤．思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 •失误与防范•1．分式的分母不为零，分式才有意义，这又是分式的值为0的前提．讨论分式的值为0，即要求分母不为0，又要求分子为0，二者缺一不可．•2．当分式的分子或分母为多项式时，在运算顺序上，相当于使• 分子或分母的外面有一个括号，从而把它们分别当成一个整体看，例如：5· ，应得 ，而不是 .•3．分式加减法中的通分是等值变形，不要在学了解分式方程后，两者混淆，把通分变形成去分母了． 完成考点跟踪训练 4 。
