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1、一类Bessel方程在不同边界条件下 的解及其Matlab程序实现学生学生:孙斌孙斌学号学号:000920334 指导老师：李顺初指导老师：李顺初 副教授副教授 摘要本文针对本文针对Bessel方程的在不同边界方程的在不同边界条件下对特解的求解过程中，数学表达条件下对特解的求解过程中，数学表达式不能直观的体现出方程解的特有性质。式不能直观的体现出方程解的特有性质。利用利用Matlab强大的图形工具来绘制强大的图形工具来绘制Bessel方程的特解图形。从而使其直观方程的特解图形。从而使其直观地描述地描述Bessel方程特解的一些性质，有方程特解的一些性质，有利于讨论利于讨论Bessel函数的振荡
2、衰减、周期函数的振荡衰减、周期等性质。等性质。概述l前言前言 l数学模型的求解及分析数学模型的求解及分析 lMatlab程序实现程序实现 l结论结论 l参考文献参考文献前言到目前为止已经有不少人对到目前为止已经有不少人对Bessel方程进方程进行了讨论，但对行了讨论，但对Bessel方程的特定边界条件下方程的特定边界条件下的特解情况的讨论却很少。本文主要是针对一的特解情况的讨论却很少。本文主要是针对一类零阶类零阶Bessel方程在不同边界条件方程在不同边界条件的特解的讨论并用的特解的讨论并用Matlab程序实现绘制特解的程序实现绘制特解的变化图像，以便形象的描述变化图像，以便形象的描述Bess
3、el方程特解的方程特解的振荡性、衰减性、周期性等。振荡性、衰减性、周期性等。数学模型的求解及分析数学模型的求解及分析 l方程通解的求解过程方程通解的求解过程 l在左右边界条件下方程特解的求解过程在左右边界条件下方程特解的求解过程方程通解的求解过程首先对方程进行化简首先对方程进行化简 引入引入 则有则有 方程通解的求解过程l经过逐步的代数求解可得到经过逐步的代数求解可得到l进一步推导出进一步推导出 详细内容详细内容 方程通解的求解过程 当为实数时当为实数时, 是一个衰减振荡函数是一个衰减振荡函数, 在有奇性。在有奇性。 、都是、都是Bessel方程的解，且方程的解，且其中任意两个都是线性无关的。
4、所以其中任意两个都是线性无关的。所以Bessel方程方程（4）的通解可写成：的通解可写成： 在左右边界条件下方程特解的求在左右边界条件下方程特解的求解过程解过程 l左边界条件为左边界条件为 l右边界条件为右边界条件为l或右边界条件是或右边界条件是 左边界条件左边界条件方程左边界条件方程化简整理后有化简整理后有详细内容详细内容 右边界条件为 将右边界条件方程化简后与左边界条件方程组成方程组求解A B详细内容详细内容 右边界条件为根据方程组求解得到A B将A B代入通解有或右边界条件是 将右边界条件方程化简后与左边界条件方程组成方程组求解A B详细内容详细内容 或右边界条件是根据方程组求解A B将
5、A B代入通解有Matlab程序实现l右边界条件为右边界条件为 用用Matlab根据根据a的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 用用Matlab根据根据R的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 用用Matlab根据根据 的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 l右边界条件为右边界条件为 用用Matlab根据根据a的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 用用Matlab根据根据R的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 用用Matlab根据根据 的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 右边界条件为右边界条件为l用用Matlab根据根据a a的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解从方
6、程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程方程（1）在在a变化时变化时y随随x的增加具有衰减振荡性，即的增加具有衰减振荡性，即y的振幅随的振幅随x值增大而减小。值增大而减小。并且并且方程解方程解y随随x的变化是成周期性的，变化的周期的变化是成周期性的，变化的周期T的大小跟的大小跟a的大小无关。的大小无关。方程方程（1）在在a变化时，变化时，方程解方程解y随随x的变化图像有固的变化图像有固定交点，并且交点位置与定交点，并且交点位置与a的大小无关。的大小无关。程序代码程序代码 变化图像变化图像 右边界条件为右边界条件为l用用Matlab根据根据R的变化来分析方程的解的
7、变化来分析方程的解 从方程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程方程 （1）在在R变化时变化时y随随x的增加具有衰减振荡性，即的增加具有衰减振荡性，即y的振幅随的振幅随x值增大而减小。值增大而减小。并且并且方程解方程解y随随x变化是成周期性的，变化的周期变化是成周期性的，变化的周期T的大小跟的大小跟R的大小无关。的大小无关。方程方程（1）在在R变化时，变化时，方程解方程解y随随x的变化图像有固的变化图像有固定零点，并且零点位置与定零点，并且零点位置与R的取值无关。的取值无关。程序代码程序代码 变化图像变化图像 右边界条件为右边界条件为l用用Matlab根据根据
8、的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 从方程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出BesselBessel方程方程（1 1）在变化时在变化时y y随随x x的增加具有衰减振荡性，即的增加具有衰减振荡性，即y y的振幅随的振幅随x x值增大而减小。值增大而减小。并且并且方程解方程解y y随随x x的变化是成周期性，变化的周期的变化是成周期性，变化的周期T T的大小跟的大小跟 的大小无关。的大小无关。方程方程（1 1）在变化时，在变化时，方程解方程解y y随随x x的变化图像无固的变化图像无固定交点，可知交点位置与定交点，可知交点位置与 值有关。值有关。程序代码程序代码 变化图
9、像变化图像 右边界条件为右边界条件为l用用Matlab根据根据a的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解从方程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程方程（1）在）在a变化时变化时y随随x的增加具有衰减振荡性，即的增加具有衰减振荡性，即y的振幅随的振幅随x值增大而减小。值增大而减小。并且并且方程解方程解y随随x的变化是成周期性的，变化的周的变化是成周期性的，变化的周期期T的大小跟的大小跟a的大小无关。的大小无关。方程（方程（1）在）在a变化时，变化时，方程解方程解y随随x的变化图像有的变化图像有固定零点，并且零点位置与固定零点，并且零点位置与a的大小无关。的大小无
10、关。 变化图像变化图像 程序代码程序代码 右边界条件为右边界条件为l用用Matlab根据根据R的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 从方程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程方程（1）在在R变化时变化时y随随x的增加具有衰减振荡性，即的增加具有衰减振荡性，即y的振幅随的振幅随x值增大而减小。值增大而减小。并且并且方程解方程解y随随x变化是成周期性的，变化的周期变化是成周期性的，变化的周期T的大小跟的大小跟R的大小无关。的大小无关。方程方程（1）在在R变化时，变化时，方程解方程解y随随x的变化图像有固的变化图像有固定交点，并且交点位置与定交点，并且交点位置与
11、R的取值无关。的取值无关。程序代码程序代码 变化图像变化图像 右边界条件为右边界条件为l用用Matlab根据根据 的变化来分析方程的解的变化来分析方程的解 从方程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程方程（1）在变化时）在变化时y随随x的增加具有衰减振荡性，即的增加具有衰减振荡性，即y的振幅随的振幅随x值增大而减小。值增大而减小。并且并且方程解方程解y随随x的变化是成周期性，变化的周期的变化是成周期性，变化的周期T的大小跟的大小跟 的大小无关。的大小无关。方程（方程（1）在变化时，）在变化时，方程解方程解y随随x的变化图像无的变化图像无固定交点，可知交点位置与固
12、定交点，可知交点位置与 值有关。值有关。程序代码程序代码 变化图像变化图像 结论l从方程解的变化图像中很容易看出从方程解的变化图像中很容易看出Bessel方程（方程（1）在）在a b R 变化时变化时x、y都具有衰减振荡性，即都具有衰减振荡性，即y随随x的增大振幅不断减小。的增大振幅不断减小。l方程解方程解y随随x的变化是成周期性的，变化的周期的变化是成周期性的，变化的周期T的大小跟的大小跟a b R 的大的大小无关。小无关。l方程（方程（1）在）在a b R变化时，变化时，方程解方程解y随随x的变化图像有固定交点。方程的变化图像有固定交点。方程（1）在变化时，）在变化时，方程解方程解y随随x
13、的变化图像无固定交点。即方程（的变化图像无固定交点。即方程（1）的解）的解存在零点，零点的值跟存在零点，零点的值跟a b R的取值无关，但跟的取值无关，但跟 的取值有关。的取值有关。l对比两种边界条件下求出方程的特解。它们在对比两种边界条件下求出方程的特解。它们在R取值较大时，特解的值比取值较大时，特解的值比较接近。较接近。l到目前为止已经有不少人对到目前为止已经有不少人对Bessel方程进行了讨论，但对方程进行了讨论，但对Bessel方程的方程的特定边界条件下的特解情况的讨论却很少。主要是对一类零阶特定边界条件下的特解情况的讨论却很少。主要是对一类零阶Bessel方方程在不同边界条件下的特解的讨论并用程在不同边界条件下的特解的讨论并用Matlab程序实现绘制特解的变化程序实现绘制特解的变化图像，有利于形象的定性描述图像，有利于形象的定性描述Bessel方程解的振荡性、衰减性、周期性方程解的振荡性、衰减性、周期性等性质。等性质。l今后将继续对各类特殊函数进行图形化的求解、分析和讨论。今后将继续对各类特殊函数进行图形化的求解、分析和讨论。感谢! 在这次毕业的设计过程中李顺初老在这次毕业的设计过程中李顺初老师给予了相当的指导和帮助，在此表示师给予了相当的指导和帮助，在此表示万分的感谢！万分的感谢！ End
