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1、蚌埠学院 高等数学一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 第二章 9/6/20241蚌埠学院 高等数学显函数显函数: 因变量是由其自变量的某个算式来表示.比如：比如：一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :隐函数的显化隐函数的显化问题问题2: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?问题问题1: 隐函数是否可导隐函数是否可导?例如例如,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .9/6/20242蚌埠学院 高等数学隐函数求导方法求导方法: : 两边对 x 求导(含导数 的
2、方程)解解9/6/20243蚌埠学院 高等数学例例2.解解9/6/20244蚌埠学院 高等数学例例3. 求椭圆在点处的切线方程.解解: : 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即9/6/20245蚌埠学院 高等数学对数求导法对数求导法1.方法方法:2. .适用范围适用范围: :先在 两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数：两端对两端对x求导：求导：9/6/20246蚌埠学院 高等数学例例3.解解等式两边取对数得也可这样求:9/6/20247蚌埠学院 高等数学例例4.解解等式两边取对数得9/6/20248蚌埠学院 高等数学另例
3、另例两边取对数两边对 x 求导9/6/20249蚌埠学院 高等数学二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导,且则时, 有时,有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,9/6/202410蚌埠学院 高等数学若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得9/6/202411蚌埠学院 高等数学?例例4. 设, 且求已知解解: :练习练习: : P111 题8(1)解解: :注意注意: :9/6/202412蚌埠学院 高等数学例例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和
4、方向. 解解: : 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,则9/6/202413蚌埠学院 高等数学抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向9/6/202414蚌埠学院 高等数学例例6. 设由方程确定函数求解解: : 方程组两边对 t 求导 , 得故9/6/202415蚌埠学院 高等数学另例另例.解解 所求切线方程为所求切线方程为另例另例.解解9/6/202416蚌埠学院 高等数学 三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率
5、问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率9/6/202417蚌埠学院 高等数学例例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为 500 m 时,观察员视线的仰角增加率是多少? 解解: :设气球上升 t 分后其高度为h ,仰角为 ,则两边对 t 求导已知 h = 500m 时,9/6/202418蚌埠学院 高等数学思考题思考题: :当气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: : 对 t 求导已知求9/6/202419蚌埠
6、学院 高等数学试求当容器内水例例8.8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: :设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的两边对 t 求导而故体积为 V , 则9/6/202420蚌埠学院 高等数学内容小结内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式9/6/202421蚌埠学院 高等数学思考与练习思考与练习1. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解解: :化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为9/6/202422蚌埠学院 高等数学2. 设求提示提示: :分别用对数微分法求答案答案: :9/6/202423蚌埠学院 高等数学3. 设由方程确定, 解解: : 方程两边对 x 求导, 得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求作业作业 P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 9/6/202424
