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1、第五章第五章第五章第五章 定积分定积分定积分定积分 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的definite integral不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.1第五章第五章 定积分定积分基本要求基本要求 理解定积分的定义和性质理解定积分的定义和性质,微积分基微积分基本定理本定理,了解反常积分的概念了解反常积分的概念,掌握用定积掌握用定积分表达一些几何量与物理量分表达一些几何
2、量与物理量(如面积、体如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法积、弧长、功、引力等）的方法.2第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义关于函数的可积性关于函数的可积性定积分的几何意义和物理意义定积分的几何意义和物理意义小结小结 思考题思考题 作业作业 定定 积积 分分定积分的性质定积分的性质*definite integral31.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出定积分概念也是由大量的实际问题抽象出求由连续曲线求由连续曲线一、一、定积分问题举例定积分问题举例定积分的概念与性质定积分的概念与性质来的来的
3、, 现举两例现举两例.4用用矩形面积矩形面积梯形面积梯形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）思想思想以直代曲以直代曲显然显然,小矩形越多小矩形越多,矩形总面积越接近曲边矩形总面积越接近曲边定积分的概念与性质定积分的概念与性质近似取代曲边梯形面积近似取代曲边梯形面积5 采取下列四个步骤来求面积采取下列四个步骤来求面积A.(1) 分割分割(2) 取近似取近似定积分的概念与性质定积分的概念与性质长度为长度为为高的小矩形为高的小矩形,面积近似代替面积近似代替6(3) 求和求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积面积A的近似值的近似值.(4) 求
4、极限求极限为了得到为了得到A的精确值的精确值,取极限取极限,形的面积形的面积:分割无限加细分割无限加细,定积分的概念与性质定积分的概念与性质极限值就是曲边梯极限值就是曲边梯72. .求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程思想思想以不变代变以不变代变设某物体作直线运动设某物体作直线运动,已知速度已知速度是时间间隔是时间间隔的一个连续函数的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路把整段时间分割成若干小段把整段时间分割成若干小段, 每小段上每小段上速度看作不变速度看作不变,求出各小段的路程再相加求出各小段的路程再相加, 便便得到路程的近似值得到路程的近似
5、值,最后通过对时间的无限最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值定积分的概念与性质定积分的概念与性质8(1) 分割分割(3) 求和求和(4) 取极限取极限路程的精确值路程的精确值(2) 取近似取近似定积分的概念与性质定积分的概念与性质表示在时间区间表示在时间区间内走过的路程内走过的路程.某时刻的速度某时刻的速度9二、定积分的定义二、定积分的定义设函数设函数f (x)在在a,b上有上有界界,在在a,b中任意插入中任意插入定义定义若干个分点若干个分点把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间, 各小区间长度依次为各小区间长度依次为在各小区间上任取在各小区间上任取一点一
6、点作乘积作乘积并作和并作和记记如果不论对如果不论对(1)(2)(3)(4)上两例共同点上两例共同点:2) 方法一样方法一样;1) 量具有可加性量具有可加性,3) 结果形式一样结果形式一样.定积分的概念与性质定积分的概念与性质10被被积积函函数数被被积积表表达达式式记为记为积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间上点上点怎样的取法怎样的取法,只要当只要当和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称这个极限称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上上的的定积分定积分. .定积分的概念与性质定积分的概念与性质积分下限积分下限积分上限积分上限积积分分变变量量a,b积分区
7、间积分区间11(2) 的结构和上、下限的结构和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理进行推理.定积分是一个数定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数定积分数值只依赖于被积函数定积分的概念与性质定积分的概念与性质有关有关; ;注注无关无关. .而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关.12曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1. 几何意义几何意义定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的几何意义和物理意义三、定积分的几何意义和物理意义13几何意义几何意义定积分的概念与性质定积分的概念与性质各部分面积
8、的代数和各部分面积的代数和.取负号取负号.它是介于它是介于x轴、函数轴、函数 f (x) 的图形及两条的图形及两条直线直线 x = =a, x = = b之间的之间的在在 x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号; 在在 x 轴下方的面积轴下方的面积14例例解解2. 物理意义物理意义t = b所经过的路程所经过的路程 s.oxy作直线运动的物体从时刻作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻到时刻定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分定积分表示以变速表示以变速15定理定理1 1定理定理2 2或或记为记为 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)定积分的概念与性质定积分的概念与性质
9、四、四、关于函数的可积性关于函数的可积性可积可积. .且只有有限个间且只有有限个间可积可积. .当函数当函数的定积分存在时的定积分存在时,可积可积. .黎曼可积黎曼可积, ,断点断点, ,充充分分条条件件16解解例例 用定义计算由抛物线用定义计算由抛物线定积分的概念与性质定积分的概念与性质和和x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线小区间小区间的长度的长度取取17定积分的概念与性质定积分的概念与性质对于任一确定的自然数对于任一确定的自然数积分和积分和当当n取不同值时取不同值时,近似值精度不同近似值精度不同.n取得越大取得越大,近似程度越好近似程度越好.18定积分的概念与性质定积
10、分的概念与性质讨论定积分的近似计算问题讨论定积分的近似计算问题.存在存在.n等分等分,用分点用分点分成分成n个长度相等个长度相等的小区间的小区间,长度长度取取有有每个小区间每个小区间对任一确定的自然数对任一确定的自然数19定积分的概念与性质定积分的概念与性质取取如取如取矩形法矩形法公式公式矩形法的矩形法的几何意义几何意义20对定积分的对定积分的补充规定补充规定说明说明定积分的概念与性质定积分的概念与性质五、定积分的性质五、定积分的性质在下面的性质中在下面的性质中, 假定定积分都存在假定定积分都存在, 且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小21证证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情
11、况此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质性质1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质22证证性质性质2 2性质性质1和性质和性质2称为称为定积分的概念与性质定积分的概念与性质线性性质线性性质. .23 补充补充例例 (定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)则则性质性质3 3定积分的概念与性质定积分的概念与性质假设假设的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.不论不论24证证性质性质4 4性质性质5 5定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间则则25解解 令令于是于是定积分的概念与性质定积分的概念与性质比较积分值比较积分值和和的大小的大小.例
12、例26性质性质5 5的推论的推论1 1证证定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间则则于是于是性质性质5 5 如果在区间如果在区间则则27证证说明说明性质性质5 5的推论的推论2 2定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质5 5 如果在区间如果在区间则则可积性是显然的可积性是显然的.由由推论推论1 128证证(此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6 6定积分的概念与性质定积分的概念与性质分别是函数分别是函数最大值及最小值最大值及最小值.则则29解解定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估计积分例例30解解定积分的概念与性质定积分的
13、概念与性质估计积分估计积分例例31证证由闭区间上连续函数的介值定理由闭区间上连续函数的介值定理:性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果函数如果函数在闭区间在闭区间连续连续, ,则在积分区间则在积分区间至少存在一点至少存在一点 使下式成立使下式成立:积分中值公式积分中值公式至少存在一点至少存在一点 使使即即32定理用途定理用途 注注定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理） 如果函数如果函数在闭区间在闭区间连续连续, ,则在积分区间则在积分区间至少存在一点至少存在一点 使下式成立使下式成立:无论从几何上无
14、论从几何上, 还是从物理上还是从物理上, 都容易理解都容易理解平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值平均值要用到要用到. .如何去掉积分号来表示积分值如何去掉积分号来表示积分值.33解解例例定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分几何意义定积分几何意义求电动势求电动势在一个周期上的在一个周期上的平均值平均值34积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释定积分的概念与性质定积分的概念与性质至少存在一点至少存在一点 在区间在区间使得以区间使得以区间为底边为底边,以曲线以曲线为曲边的曲边梯形的为曲边的曲边梯形的面积面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为的一个矩形的面积的一个矩形的面
15、积.35例例证证 由由积分中值定理积分中值定理有有(a为常数为常数)定积分的概念与性质定积分的概念与性质363. 定积分的性质定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用注意估值性质、积分中值定理的应用)4. 典型问题典型问题(1) 估计积分值估计积分值;(2) 不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.定积分的概念与性质定积分的概念与性质六、小结六、小结1. 定积分的实质定积分的实质: 特殊和式的极限特殊和式的极限.2. 定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、 取近似、取近似、求和、求和、 取极限取极限.思想思想方法方
16、法37思考题思考题1证证 夹逼定理夹逼定理即得即得定积分的概念与性质定积分的概念与性质38思考题思考题2解解由定积分几何意义可知由定积分几何意义可知定积分的概念与性质定积分的概念与性质用定积分的几何意义计算用定积分的几何意义计算并求并求所围成图形的所围成图形的面积面积(如图如图).图形图形,39定积分的概念与性质定积分的概念与性质40第三节第三节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法定积分的换元法定积分的换元法小结小结 思考题思考题 作业作业定积分的定积分的分部积分分部积分法法definite integral by partsdefinite integral by sub
17、stitution第五章第五章 定积分定积分41 上一节的牛上一节的牛莱公式将定积分的计算莱公式将定积分的计算的形式的形式,而不定积分可用换元法而不定积分可用换元法和分部积分法求积和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了已经比较完满地解决了.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法归结为求不定积分归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算常可使得计算更简单更简单.42定理定理1则有则有定积分换元公式定积分换元公式假设函数假设函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法一、定
18、积分的换元法一、定积分的换元法函数函数满足条件满足条件:(1) (2) 具有连续导数具有连续导数,且其值域且其值域definite integral by substitution43证证故有故有则则由于由于N-L公式公式N-L公式公式则则所以存在原函数所以存在原函数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原函数原函数,44注注由于积分限做了相应的由于积分限做了相应的故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法求定积分的方法有两种方法: 可用可用N-L公式公式;从换元的观点从换元的观点.(1)换元公式仍成立换元公式仍成立;(2) 在定积分换元公式中在定
19、积分换元公式中,改变改变,(3)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法45例例 解解 在用在用“凑凑”微分的方法微分的方法时时,不明显地写出不明显地写出下限就不要变下限就不要变.定积分的上、定积分的上、新的变量新的变量 t ,注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法46或或例例 解解原式原式这是半径为这是半径为a的四分之一的圆的面积的四分之一的圆的面积.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法47例例 解解 原式原式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法48解解 令令原式原式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法49 几个关
20、于奇、偶函数及周期函数的定积分几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子的例子. 换元积分换元积分例例 证证 由于由于由由被积函数的变化和积分区间变化被积函数的变化和积分区间变化来确定变换来确定变换.通常通常定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法作作变换变换,还可以证明一些定积分等式还可以证明一些定积分等式,50利用这一结果计算利用这一结果计算:则则定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法51可得可得: 由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间
21、上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有且有则则则则定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法52例例 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法53证证 (1)三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式例例 由此计算由此计算设设定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法证毕证毕.54定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法设设证证由此计算由此计算55说明说明:尽管尽管但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得.定积分的换元法和分部积分法定积
22、分的换元法和分部积分法56周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式这个公式就是说：这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.(留给同学证留给同学证)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法57例例 解解 法一法一定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法58法二法二即即定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法59解解被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数
23、的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,则则分析分析定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法60定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法选择题选择题设函数设函数连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为必为偶函数偶函数的是的是分析分析2002年考研数学选择年考研数学选择3分分61定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的二、定积分的分部积分分部积分法法设设有有连续的导数连续的导数,则则definite integral by parts定理定理2由不定积分的分部积分法由不定积分的分部积分法及及N-L公式公式
24、.62例例 解解定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法原式原式=63例例 解解定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法1990年考研数学计算年考研数学计算5分分原式原式=64例例 解解无法直接求出无法直接求出所以所以因为因为没有初等原函数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法分析分析被积函数中含有被积函数中含有“积分上限的函数积分上限的函数”,用用分部积分法分部积分法做做.选择选择积分上限的函数积分上限的函数为为65定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法注注今后也可将原积分化为二重积分计算今后也可将原积分化为二重积分计算.6
25、6例例 证明定积分公式证明定积分公式证证设设n为正偶数为正偶数n为大于为大于1的正奇数的正奇数 公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法67积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止因为因为定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法68所以所以,当当n为正偶数时为正偶数时,当当n为大于为大于1的正奇数时的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法69例例 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在计算其它积分时可以
26、直接引用上公式在计算其它积分时可以直接引用.注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法70例例 解解用公式用公式n为正偶数为正偶数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法71解解用定积分的分部积分公式用定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法72解解则则是奇函数是奇函数,是偶函数是偶函数, 周期函数在任何长为一周期的区间上周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等的定积分都相等.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法n为正偶数为正偶数73定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定积分的换元公式定积分的换元公式奇、偶函数在对称区间上的定积分性质奇、偶函数在对称区间上的定积分性质三角函数的定积分公式三角函数的定积分公式周期函数的定积分公式周期函数的定积分公式74思考题思考题1 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确? 如不正确如不正确,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 希指出原因希指出原因.解答解答注意注意必定大于零必定大于零.上述运算的问题在于引进的变换上述运算的问题在于引进的变换不满足换元法则的前提条件不满足换元法则的前提条件.75思考题思考题2解答解答定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法76
