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1、多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 第第三三章章 多元正态分布多元正态分布9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 第一节第一节 多元正态分布的定义多元正态分布的定义一、一元正态分布回顾一、一元正态分布回顾一个游戏：一个游戏：高尔顿钉板游戏高尔顿钉板游戏考察某一学科考察某一学科考试成绩的分布考试成绩的分布考察人类考察人类身高的分布身高的分布情况情况思考：以上分布具有什么样的特点？思考：以上分布具有什么样的特点？9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技
2、大学数学系. 1 1、一元正态分布的定义、一元正态分布的定义则称则称 x 服从参数为服从参数为 , 2 的的正态分布正态分布， 记作记作 x N ( , 2 )定义定义3.1 若若r.v. x 的密度函数为的密度函数为为常数，为常数，其中其中 亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 2 2、标准正态分布、标准正态分布=0 , =1 的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布，记作记作 x N (0 ,1 )密度函数记为密度函数记为3 3、标准正态分布与一般正态分布之间的关系、标准正态分布与
3、一般正态分布之间的关系记记 u N (0 ,1 )，则则 x=+ u N ( , 2 )9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 二、多元正态分布的定义二、多元正态分布的定义定义定义3.2 设设p 维随机向量维随机向量 则则 u 的密度函数为的密度函数为u的均值和协方差矩阵分别为的均值和协方差矩阵分别为u的分布称为均值为的分布称为均值为0，协方差矩阵为，协方差矩阵为I 的的p 元正态分布元正态分布，记作，记作9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 设设p 维随机向量维随机向量 u
4、Np (0, I ) ，下面考虑下面考虑 u 的一个的一个非退非退化变换化变换 x = = m m + + A u 的分布，这里的分布，这里x 的的均值均值和和协方差矩阵协方差矩阵分别为分别为x 的的密度函数密度函数为为（3.1.5）9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. x的分布称为的分布称为非退化的非退化的p 元正态分布元正态分布，记作，记作 更一般的，更一般的，设设p 维随机向量维随机向量 u Np (0, I ) ， 为常数为常数矩阵，则矩阵，则 x = = m m + + A u 的分布称为的分布称为 p p 元正态分布元正态
5、分布，记作，记作其中其中 . . 若若 rank(A) = p ，则，则 S S-1 -1 存在，存在，此时此时x的分布的分布称为非退化的称为非退化的p元正态分布；若元正态分布；若 rank(A) p 时，时，A 正定，正定，m m 和和S S 的极大似然估的极大似然估计分别为计分别为此时似然函数最大值为此时似然函数最大值为9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 思考：当思考：当m m 已知时，已知时，S S 的极大似然估计如何表示？的极大似然估计如何表示？答：答：9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数
6、学系天津科技大学数学系. 五、相关系数的极大似然估计五、相关系数的极大似然估计1. 极大似然估计的不变性极大似然估计的不变性设参数设参数 的极大似然估计是的极大似然估计是 ，变换，变换 是一一对是一一对应的，则应的，则 的极大似然估计就是的极大似然估计就是2. 简单相关系数的极大似然估计简单相关系数的极大似然估计9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 称称 为为样本相关系数样本相关系数， 为为样本相关矩阵样本相关矩阵？9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 3. 偏相关系数的极大
7、似然估计偏相关系数的极大似然估计9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 对于对于p 元总体，将样本协方差矩阵元总体，将样本协方差矩阵S 作如下剖分作如下剖分则则其中其中9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 4. 复相关系数的极大似然估计复相关系数的极大似然估计9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 为了对未知参数作出估计为了对未知参数作出估计, , 首先应通过好的统计思首先应通过好的统计思想产生合理的估计量，而这样的估计
8、量往往不止一个想产生合理的估计量，而这样的估计量往往不止一个. .问题问题(1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? ?(2) 评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么? ?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准（无偏、有效、相合性和充分性无偏、有效、相合性和充分性）. .六、估计量的性质六、估计量的性质9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义: 无系统误差无系统误差.以买水果为例加以说明以买水果为例加以说明1. 无偏性无偏性9/6/2024多元统计分析多
9、元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 解解 无偏无偏有偏有偏无偏估计无偏估计是否唯一是否唯一？9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度, ,所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好. .2. 有效性有效性9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 3. 相合性（一致性）相合性（一致性）4. 充分性充分性9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华
10、, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 第四节第四节 抽样分布抽样分布一、随机矩阵的分布一、随机矩阵的分布9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 二、二、Wishart（威沙特）（威沙特）分布分布1. 定义定义9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 2. 性质性质9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 3. 一个结论一个结论4. Wishart分布与分布与 c c2 2 分布之间的关系分布之间的关系9/6/2024多元
11、统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 三、三、T 2 2 分布分布1. 定义定义T 2 2 分布是分布是Hotelling 于于1931年由一元推广而来的，又称为年由一元推广而来的，又称为Hotelling 分布分布. .9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 2. 性质性质9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 3. 几个结论几个结论证明：证明：9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系
12、. 9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 4. T 2分布与分布与 t 分布之间的关系分布之间的关系9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 四、四、Wilks L L分布分布1. 定义定义9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 2. 分布与分布与 F 分布之间的关系分布之间的关系任意任意1任意任意22任意任意1任意任意F 的自由度的自由度统计量统计量Fn2p9/6/2024多元统计分析多元统计分析 谢中华谢中华, 天津科技大学数学系天津科技大学数学系. 9/6/2024
