第七章 z变换、离散时间系统的z域分析7.1 引言引言7.2 z变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z变换变换7.3 z变换的收敛域变换的收敛域7.4 逆逆z变换变换7.5 z变换的基本性质变换的基本性质7.6 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系7.7 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程7.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数7.9 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（DTFT））7.10 离散时间系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应特性 7.1 7.1 引言引言Z变换可借助抽样信号的拉氏变换引出变换可借助抽样信号的拉氏变换引出令令z = esT令令T = 1 7.2 7.2 z变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z变换变换一、z变换定义1. 单边单边z变换变换2. 双边双边z变换变换对于因果序列，双边对于因果序列，双边z变换和单边变换和单边z变换是等同的变换是等同的 二、典型序列的z变换1. 单位样值函数单位样值函数2. 单位阶跃序列单位阶跃序列 3. 斜变序列斜变序列4. 指数序列指数序列 5. 正弦与余弦序列正弦与余弦序列 7.3 7.3 Z Z变换的收敛域变换的收敛域一、收敛域定义 对于任意给定的有界序列对于任意给定的有界序列x(n)，，使使z变换定义式级数收敛变换定义式级数收敛的所有的所有z值的集合，称为值的集合，称为z变换变换X(z)的收敛域的收敛域（简写为（简写为ROC）。
• 对于单边变换，序列与变换式唯一对应；对于单边变换，序列与变换式唯一对应；• 对于双边变换，不同序列在不同收敛域下可能有相同的变换式对于双边变换，不同序列在不同收敛域下可能有相同的变换式• 对于双边变换，必须同时给出变换式和收敛域对于双边变换，必须同时给出变换式和收敛域• z变换函数是收敛域内每一点的解析函数变换函数是收敛域内每一点的解析函数 二、收敛域判定依据Z变换级数收敛的变换级数收敛的充分条件充分条件是是——绝对可和绝对可和• • 比值判定法比值判定法• • 根值判定法根值判定法 三、序列的收敛域1. .有限长序列有限长序列 2. .右边序列右边序列Rx1——收敛半径收敛半径3. .左边序列左边序列Rx2——收敛半径收敛半径因果序列是右边序列的一种特殊情况，此时因果序列是右边序列的一种特殊情况，此时n1=0，，|z|> Rx1 4. .双边序列双边序列结论结论:（（1）有限长序列的收敛域分布在整个平面；）有限长序列的收敛域分布在整个平面； （（2）右边序列的收敛域是收敛半径的圆外部分；）右边序列的收敛域是收敛半径的圆外部分； （（3）左边序列的收敛域是收敛半径的圆内部分；）左边序列的收敛域是收敛半径的圆内部分； （（4）双边序列的收敛域若存在，则通常是环形。
双边序列的收敛域若存在，则通常是环形左边序列和右边序列的叠加左边序列和右边序列的叠加左边序列左边序列|z|Rx1任何序列的单边任何序列的单边z变换的收敛域和因果序列的收敛域类同，为变换的收敛域和因果序列的收敛域类同，为|z|> Rx1 <例例1>解：解：（（1）单边）单边z变换变换（（2）双边）双边z变换变换 <例例2>解：解：说明说明:（（1）通常，收敛域以极点为边界，收敛域内不包含任何极点；）通常，收敛域以极点为边界，收敛域内不包含任何极点； （（2）对于多个极点情况，右边序列收敛域以最外面的极点为边界；）对于多个极点情况，右边序列收敛域以最外面的极点为边界； 左边序列收敛域以最里面的极点为边界左边序列收敛域以最里面的极点为边界 7.4 7.4 逆逆z变换变换（（求法求法））（（1）部分分式分解法）部分分式分解法（（2）幂级数展开法（长除法））幂级数展开法（长除法）（（3）围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）） 一、部分分式分解法对于因果序列，对于因果序列，z变换的收敛域为变换的收敛域为|z|>R，，为保证在为保证在z= 处收敛，须处收敛，须k r。
步骤步骤：： 1. X(z)仅含有一阶极点仅含有一阶极点 <例例1>解：解： 2. X(z)中含有高阶极点中含有高阶极点 <例例2>解：解： 二、幂级数展开法（长除法）直接用长除法进行逆变换直接用长除法进行逆变换（是一个（是一个z z 的幂级数）的幂级数）级数的系数就是序列级数的系数就是序列x(n)• 右边序列，右边序列，N(z)、、D(z)按按z的降幂（或的降幂（或z-1的升幂）排列的升幂）排列• 左边序列，左边序列，N(z)、、D(z)按按z的升幂（或的升幂（或z-1的降幂）排列的降幂）排列 <例例3>解：解： 7.5 7.5 z z变换的基本性质变换的基本性质一、线性注：某些线性组合中，某些零点与极点相消，则收敛域可能扩大注：某些线性组合中，某些零点与极点相消，则收敛域可能扩大 <例例1>解：解：零点与极点相消，则收敛域扩大到整个零点与极点相消，则收敛域扩大到整个z平面 二、位移性1. 双边双边z变换的位移性质变换的位移性质nO)(nx4nO) 2( - -nx4nO) 2(+ +nx411- -211- -211- -2- -注：若注：若x(n)为双边序列，则序列移位不会影响其为双边序列，则序列移位不会影响其ROC，，仍为仍为Rx1<|z|
2. 单边单边z变换的位移性质变换的位移性质（（1））x(n)为双边序列为双边序列nO( () )nunx )(4n)() 2(nunx - -4n)() 2(nunx + +411- -O11- -O11- - （（2））x(n)为因果序列为因果序列 <例例2>解：解： 三、序列线性加权（z域微分）<例例3>解：解： 四、序列指数加权（z域尺度变换）<例例4>解：解： 五、初值定理<例例5>解：解：六、终值定理注：当注：当n时时x(n)收敛，才可用终值定理收敛，才可用终值定理终值存在条件终值存在条件：： 七、时域卷积定理注：若某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大注：若某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大<例例6>解：解： 7.6 7.6 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系一、从s平面到z平面的映射(1) s平面上的虚轴平面上的虚轴 z平面中的单位圆平面中的单位圆 (2) s左半平面左半平面 z平面中的单位圆内平面中的单位圆内(3) s右半平面右半平面 z平面中的单位圆外平面中的单位圆外(4) s平面的实轴平面的实轴 z平面中的正实轴平面中的正实轴 (5) s平面平行于实轴的直线平面平行于实轴的直线 z平面中始于原点的辐射线平面中始于原点的辐射线(6) s平面通过平面通过jk s/2且且平行于实轴的直线平行于实轴的直线 z平面中的负实轴平面中的负实轴z(7) s平面沿虚轴平移平面沿虚轴平移 s z平面中沿单位圆旋转一圈平面中沿单位圆旋转一圈 二、z变换与拉氏变换表达式的对应 如，如， 7.7 7.7 利用利用z变换解差分方程变换解差分方程初始条件初始条件若因果信号若因果信号则此项为零则此项为零 单边单边z z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。
中，可求得零输入、零状态响应和全响应 <例例>解：解：零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应 7.8 7.8 离散系统的系统函数离散系统的系统函数一、定义系统零状态响应的系统零状态响应的z变换与激励的变换与激励的z变换的比值变换的比值1. 定义一定义一若若x(n)是是因果因果序列，则在系统序列，则在系统零状态零状态下，有下，有 系统单位样值响应的系统单位样值响应的z变换2. 定义二定义二<例例1 1> 解：解： 或或 二、系统的z域框图基本单元符号：基本单元符号： 单位延时（滞后算子）单位延时（滞后算子）单位延时（滞后算子）单位延时（滞后算子）相加相加相加相加乘系数乘系数乘系数乘系数 <例例2>解：解：A(z) (1) 三、系统函数的零极点分布对系统特性的影响1. 系统函数的零极点分布确定单位样值响应系统函数的零极点分布确定单位样值响应可见，极点可见，极点pk决定决定h(n)的波形特征，而零点的波形特征，而零点zr只影响只影响h(n)的幅度和相位的幅度和相位H(z)极点位置与极点位置与h(n)形状的关系见教材形状的关系见教材 2. 离散时间系统的稳定性和因果性离散时间系统的稳定性和因果性（（1）稳定性）稳定性对于稳定系统对于稳定系统H(z)的收敛域应包含单位圆在内。
的收敛域应包含单位圆在内 （（2）因果性）因果性对于因果系统对于因果系统H(z)的收敛域应为的收敛域应为a<|z|<|z|，，包含包含 点 极点可在单位圆内，极点可在单位圆内，也可在单位圆外也可在单位圆外全部极点落在全部极点落在单位圆内单位圆内 <例例3>解：解： <例例4>解：解： 7.9 7.9 序列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换（DTFTDTFT））一、定义—— 正变换正变换—— 逆变换逆变换 物理意义：物理意义： （（1））X(ej )可以表示成无穷多个复指数信号的加权和；可以表示成无穷多个复指数信号的加权和； （（2））X(ej )表示了表示了x(n)中各个频率分量的相对大小；中各个频率分量的相对大小； （（3））X(ej )是连续的，并且以是连续的，并且以2 为周期收敛条件：收敛条件： 二、基本性质 由于序列的傅立叶变换是由于序列的傅立叶变换是z z变换在单位圆上的特例，所以它也具变换在单位圆上的特例，所以它也具有有z z变换的性质变换的性质 另外，它也具有傅立叶变换的一些对称性质，这对于简化运算另外，它也具有傅立叶变换的一些对称性质，这对于简化运算及求解很有帮助。
及求解很有帮助1. 线性线性2. 时移和频移时移和频移，，时域位移对应频域相移时域位移对应频域相移，，频域位移对应时域调制频域位移对应时域调制 3. 序列的反褶序列的反褶4. 奇偶虚实性奇偶虚实性 表明，复函数表明，复函数X(ej )的实部为偶函数，虚部为奇函数；模为偶的实部为偶函数，虚部为奇函数；模为偶函数，辐角为奇函数函数，辐角为奇函数 X(ej )与与X(e-j )共轭——时域反褶对应频域反褶时域反褶对应频域反褶 5. 时域卷积定理时域卷积定理6. 频域卷积定理频域卷积定理，，时域卷积对应频域相乘时域卷积对应频域相乘时域相乘对应频域卷积时域相乘对应频域卷积7. 帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理——能量定理能量定理 表明，时域总能量等于频域一周期内总能量表明，时域总能量等于频域一周期内总能量 7.10 7.10 离散时间系统的频率响应特性离散时间系统的频率响应特性一、离散系统频响特性的定义正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应）正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应） 系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的的频率响应频率响应特性，以特性，以H(j )~ 表示表示。
离散系统的频率响应特性可由系统函数得到：离散系统的频率响应特性可由系统函数得到：——是正弦序列包络频率是正弦序列包络频率 的连续函数的连续函数其中，其中，幅频特性幅频特性，表示输出与输入序列的幅度之比；，表示输出与输入序列的幅度之比；相频特性相频特性，表示输出对输入序列的相移表示输出对输入序列的相移 二、频响特性的几何确定法 考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢考查动点在单位圆上移动一周时，各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性<例例>解：解： a1 1v当当 时，时，v当当 时，时，a1 1 幅幅频频特特性性相相频频特特性性0 0 说明说明：： 。