《九年级数学下册第28章圆281圆的认识3圆周角课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册第28章圆281圆的认识3圆周角课件（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.圆 周 角 1.1.圆周角圆周角(1)(1)圆周角的定义圆周角的定义顶点在顶点在_上上, ,并且两边都和圆并且两边都和圆_的角叫做圆周角的角叫做圆周角. .(2)(2)如图，圆中的圆周角是：如图，圆中的圆周角是：_、_、ABCABC、_、_、_、_、_._.圆圆相交相交ACDACDACBACBBACBACBADBADCADCADADCADCBCDBCD2.2.圆周角定理及推论圆周角定理及推论(1)(1)圆周角的定理圆周角的定理在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_,_,都等于这条弧都等于这条弧所对的圆心角的所对的圆心角的_；相等的圆周角所对的弧；相
2、等的圆周角所对的弧_._.相等相等一半一半相等相等(2)(2)推论推论半圆或直径所对的圆周角都半圆或直径所对的圆周角都_，都等于，都等于_.90_.90的圆周的圆周角所对的弦是圆的角所对的弦是圆的_._.用符号语言来表示：用符号语言来表示：如图：如图：ABAB是是O O的直径，的直径，ACB=90;ACB=90;ACB=90,ACB=90,ABAB是是O O的直径的直径. . 相等相等9090直径直径(3)(3)如图如图,A,A是是O O的圆周角的圆周角, ,且且A=35,A=35,则则BOC=_.BOC=_.因为因为OC=OB,OC=OB,所以所以OBC=_.OBC=_.根据三角形内角和定理
3、根据三角形内角和定理, ,可得可得OBC=_.OBC=_.【点拨点拨】圆心角、圆周角之间的转化圆心角、圆周角之间的转化,关键是找到等弧或同弧关键是找到等弧或同弧. 7070OCBOCB5555【预习思考预习思考】表示圆周角时应注意什么问题？表示圆周角时应注意什么问题？提示：提示：(1)(1)三个字母表示时三个字母表示时, ,应按顺序写应按顺序写, ,且表示顶点的字母在且表示顶点的字母在中间；中间；(2)(2)单独一个字母表示时单独一个字母表示时, ,用表示顶点的字母即圆上的点来表示用表示顶点的字母即圆上的点来表示. . 弧、圆周角、圆心角的关系弧、圆周角、圆心角的关系【例【例1 1】(2011
4、(2011潜江中考潜江中考) )如图如图,BD,BD是是O O的直径的直径,A,A，C C是是O O上的两点上的两点, ,且且AB=AC,ADAB=AC,AD与与BCBC的延长线交于点的延长线交于点E.E.(1)(1)求证：求证：ABDAEBABDAEB；(2)(2)若若AD=1,DE=3,AD=1,DE=3,求求BDBD的长的长. . 【解题探究解题探究】(1)(1)在在ABDABD和和AEBAEB中，有相等的角吗？中，有相等的角吗？答：答：有一对公共角，有一对公共角，BAD=EABBAD=EAB. .如何找出另一组角相等？如何找出另一组角相等？答：答：AB=AC, ,AB=AC, ,根据圆
5、周角定理可得根据圆周角定理可得ADB=ABEADB=ABE. .由由可知可知ABDABD和和AEBAEB中有中有两对对应角相等两对对应角相等, ,所以所以ABDAEB. ABDAEB. (2)(2)由由(1)(1)中所得到的相似三角形，如何求出中所得到的相似三角形，如何求出ABAB？答：答：ABDAEB,ABDAEB, . .ABAB2 2= =ADADAE=4AE=4. .AB=AB=2 2. .如何求出如何求出BDBD的长？的长？答答:BD:BD是是O O的直径的直径,DAB=90,DAB=90在在RtABDRtABD中，中，BDBD2 2= =ABAB2 2+AD+AD2 2=5=5.
6、.BD= . BD= . 【规律总结规律总结】利用圆周角定理进行证明时的两点注意利用圆周角定理进行证明时的两点注意1.1.圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中；圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中；2.2.在证明时在证明时, ,此定理可以直接作为已知条件使用此定理可以直接作为已知条件使用. .【跟踪训练跟踪训练】1.(20121.(2012重庆中考重庆中考) )已知：如图，已知：如图，OAOA，OBOB是是O O的两条半径，且的两条半径，且OAOBOAOB，点，点C C在在O O上，上，则则ACBACB的度数为的度数为( )( )(A)45 (B)35(A)45 (B)35(C)25 (D)2
7、0(C)25 (D)20【解析解析】选选A.A.因为因为OAOBOAOB，所以，所以AOB=90AOB=90，由圆周角定，由圆周角定理可知理可知ACB=45.ACB=45.2.(20122.(2012黔东南中考黔东南中考) )如图，若如图，若ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD是是O O的的弦，弦，ABD=55ABD=55，则，则BCDBCD的度数为的度数为( )( )(A)35 (B)45 (C)55 (D)75(A)35 (B)45 (C)55 (D)75【解析解析】选选A.A.连结连结ADAD，ABAB是是O O的直径，的直径，ADB=90,ADB=90,A=90-55=35A=9
8、0-55=35，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据同弧所对的圆周角相等可得BCD=A=35.BCD=A=35.3.3.如图如图,ABC,ABC内接于内接于O,O,已知已知A=55,A=55,则则BOC=_.BOC=_.【解析解析】根据圆周角和圆心角的关系可得根据圆周角和圆心角的关系可得BOC=2A=110.BOC=2A=110.答案：答案：110110 圆周角定理的综合应用圆周角定理的综合应用【例例2 2】(8(8分分) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，C C是是 的中点，的中点，CEABCEAB于于E E，BDBD交交CECE于点于点F.F.(1)(1)求证：求证：CF=BF
9、CF=BF；(2)(2)若若CD=6CD=6，AC=8AC=8，则，则O O的半径为的半径为_，CECE的长是的长是_._.易错提醒易错提醒: :利用圆周角定理找出相等的角利用圆周角定理找出相等的角, ,是解决该题关键的是解决该题关键的一步一步. . 【规范解答规范解答】(1)AB(1)AB是是O O的直径，的直径，ACE+ACE+22=90,=90,又又CEABCEAB，AEC=90AEC=90，即，即A A+ACE=90+ACE=902=2=AA 3 3分分又又C C是是 的中点，的中点，1=1=AA,1=,1=22. .4 4分分CF=CF=BFBF. .5 5分分(2)(2)由题意得由
10、题意得ACB=90ACB=90，又又BC=CD=6BC=CD=6，AC=8AC=8，AB= OAB= O的半径为的半径为5 5. .6 6分分由面积公式得由面积公式得 , ,解得解得CE= .CE= .CECE的长是的长是 . .8 8分分【规律总结规律总结】 利用圆周角定理推论的两种思路利用圆周角定理推论的两种思路1.1.见直径见直径, ,通常构建通常构建9090的圆周角的圆周角, ,利用直角三角形知识解决；利用直角三角形知识解决；2.2.见见9090的圆周角的圆周角, ,通常作直径通常作直径, ,构建直角三角形构建直角三角形. .【跟踪训练跟踪训练】4.(20124.(2012苏州中考苏州
11、中考) )如图，已知如图，已知BDBD是是O O直直径，点径，点A A，C C在在O O上，上， AOB=60,AOB=60,则则BDCBDC的度数是的度数是( )( )(A)20 (B)25(A)20 (B)25(C)30 (D)40(C)30 (D)40【解析解析】选选C.C.连结连结OCOC，因为同弧或等弧所对的，因为同弧或等弧所对的圆心角相等，所以圆心角相等，所以AOB=BOC=60,AOB=BOC=60,所以所以D=30.D=30. 5.(20125.(2012达州中考达州中考) )如图，如图，O O是是ABCABC的的外接圆，连结外接圆，连结OBOB，OCOC，若，若OB=BCOB
12、=BC，则，则BACBAC等于等于( )( )(A)60 (B)45 (C)30 (D)20(A)60 (B)45 (C)30 (D)20【解析解析】选选C.C.因为因为OB=BC=OCOB=BC=OC，所以，所以OBCOBC是等边三角形，则是等边三角形，则BOC=60.BOC=60.因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以BAC=30,BAC=30,故选故选C.C.6.(20126.(2012安顺中考安顺中考) )如图，在如图，在O O中，直径中，直径ABAB与弦与弦CDCD相交于相交于点点P P，CAB=40CAB=40，APD=65.APD=6
13、5.(1)(1)求求B B的大小的大小; ;(2)(2)已知已知AD=6AD=6，求圆心，求圆心O O到到BDBD的距离的距离. .【解析解析】(1)APD=C+CAB,(1)APD=C+CAB,C=65-40=25,C=65-40=25,B=C=25.B=C=25.(2)(2)作作OEBDOEBD于于E E，则，则DE=BEDE=BE，又又AO=BO,AO=BO,OE=OE=圆心圆心O O到到BDBD的距离为的距离为3.3.1.(20111.(2011凉山州中考凉山州中考) )如图如图,AOB=100,AOB=100,点点C C在在O O上上, ,且点且点C C不与不与A A，B B重合重合
14、, ,则则ACBACB的度数为的度数为( )( )(A)50 (B)80(A)50 (B)80或或50 (C)130 (D)5050 (C)130 (D)50或或130130【解析解析】选选D.D.利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半, ,求得圆周求得圆周角的度数即可角的度数即可, ,注意点注意点C C可能在优弧上也可能在劣弧上可能在优弧上也可能在劣弧上, ,分两种情分两种情况讨论况讨论. .当点当点C C在优弧上时在优弧上时, , 当点当点C C在劣弧上时在劣弧上时, =130., =130.2.(20122.(2012万宁中考万宁中考) )如图所示，已知如图
15、所示，已知O O是是ABCABC的外接圆，的外接圆，ADAD是是O O的直径，连结的直径，连结CDCD，若，若AD=3AD=3，AC=2,AC=2,则则cos Bcos B的值为的值为( )( )【解析解析】选选B.BB.B和和D D所对的弧是所对的弧是 ，根据同弧所对的圆周，根据同弧所对的圆周角相等，角相等，B=D.B=D.又又ADAD是直径，是直径，ACD=90,ACD=90,根据勾股定理，得根据勾股定理，得cos B=cos D=cos B=cos D=3.3.如图如图, ,将三角板的直角顶点放在将三角板的直角顶点放在的圆心的圆心上上, ,两条直角边分别交两条直角边分别交O O于于A A
16、，B B两点两点, ,点点P P在在优弧优弧ABAB上上, ,且与点且与点A A，B B不重合不重合, ,连结连结PAPA，PB.PB.则则APBAPB的大小为的大小为_度度. .【解析解析】AOBAOB为圆心角为圆心角, ,其值为其值为90,APB90,APB为同弧上的圆周角为同弧上的圆周角, ,其大小为其大小为AOBAOB的一半的一半, ,所以所以APB=APB=答案：答案：45454.4.如图，已知如图，已知OCB=20OCB=20，则，则A=_A=_度度. .【解析解析】OB=OC,OBC=OCB=20,OB=OC,OBC=OCB=20,O=180-OBC-OCB=140,O=180-
17、OBC-OCB=140,A=A=答案：答案：70705.5.如图如图, ,点点P P为等边为等边ABCABC外接圆劣弧外接圆劣弧BCBC上上一点一点. .(1)(1)求求BPCBPC的度数；的度数；(2)(2)求证：求证：PA=PB+PCPA=PB+PC；(3)(3)设设PA,BCPA,BC交于点交于点M,M,若若AB=4,PC=2,AB=4,PC=2,求求CMCM的长度的长度. .【解析解析】(1)ABC(1)ABC为等边三角形为等边三角形,BAC=60.,BAC=60.点点P P为等边为等边ABCABC外接圆劣弧外接圆劣弧BCBC上一点上一点, ,BPC+BAC=180,BPC+BAC=1
18、80,BPC=120.BPC=120. (2) (2)在在PAPA上截取上截取PD=PC,PD=PC,AB=AC=BC,APB=APC=60,AB=AC=BC,APB=APC=60,PCDPCD为等边三角形为等边三角形, ,ADC=120,ADC=120,ACDBCP,ACDBCP,AD=PB,AD=PB,PA=PB+PCPA=PB+PC；(3)CDMACM,CMAM=DMMC=DCAC=24=12,(3)CDMACM,CMAM=DMMC=DCAC=24=12,设设DM=x,DM=x,则则CM=2x,BM=4-2x,PM=2-x,AM=4x.CM=2x,BM=4-2x,PM=2-x,AM=4x.BPMACM.BPAC=PMCM,BPMACM.BPAC=PMCM,即即3x4=(2-x)2x.3x4=(2-x)2x.解得解得 ( (舍去负号舍去负号),),则则CM=CM=
