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1、第六章第六章微分中值定理及微分中值定理及其应用其应用中值定理与导数的应用16.1 微分中值定理微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理与导数的应用2Made by Huilai Made by Huilai LiLiT 与l 平行这样的x可能有好多中值定理与导数的应用3Made by Huilai Made by Huilai LiLi高了低了到了一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。行走的典型路线如下：中值定理与导数的应用4Made by Huilai Made by Hui
2、lai LiLi这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.典型情形的证明思想结论: Rolle定理中值定理与导数的应用5一、罗尔(Rolle)定理例如例如,中值定理与导数的应用6几何解释几何解释:中值定理与导数的应用7证证中值定理与导数的应用8中值定理与导数的应用9注意注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,又例如又例如,中值定理与导数的应用10f (x)满足条件(2), (3),但不满足条件(1), 在(0, 1
3、)内,例如例如: (i)y=f (x)=1 , x = 1, x0, 1) 图3-1-2 x y011中值定理与导数的应用11f (x)在-1, 1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当x 时, f (x)= 1. x 时, f (x)= 1. x=0时, f (0)不存在. (ii)0x y111图3-1-3y = |x|中值定理与导数的应用12(iii) y=f (x)=x, x1, 2, f (x)在1, 2上满足条件(1), (2),但不满足条件(3),在(1, 2)内,f (x)=1. 02112xy图3-1-4y=x 中值定理与导数的应用13例例1 设函数f (x) =
4、 (x1)(x2)(x3), 不求导数,试判断方程f x 有几个实根, 它们分别在何区间? 解解: f (x)在1, 2上连续, 在(1, 2)上可导,且f (1)= f (2);由罗尔定理: 1 , 使f (1; 同理, 2, , 注意到 f (x)=0为二次方程, 使f (2;它至多有两个实根,故1, 2是f (x)=0 的全部实根. 中值定理与导数的应用14例例2证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.矛盾矛盾,中值定理与导数的应用15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理与导数的应用16么么么么方面Sds绝对是假的Made by Huilai
5、Made by Huilai LiLiT 与l 平行更广泛情形的证明思想:同一点中值定理与导数的应用18几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为中值定理与导数的应用19作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.中值定理与导数的应用20拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理中值定理与导数的
6、应用21推论推论2 证明证明 推论推论1中值定理与导数的应用22例例3证证中值定理与导数的应用23例例4证证由上式得由上式得中值定理与导数的应用24例例5. 设ab0 n1. 证明证明:令f (x)= x n 显然f (x) 在b, a上满足拉格朗日定理条件, 证明: nbn1(ab) an bn nan1(a b)有f (a) f (b)=f ( )(ab) (b a)即an bn = n n1(a b)又0b 1所以bn1 n1 an1 nbn1 (a b)n n 1 (a b) nan1 (a b) 即nbn1(ab) an bn nan1(a b)中值定理与导数的应用25三、柯西(Ca
7、uchy)中值定理中值定理与导数的应用26几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数中值定理与导数的应用27中值定理与导数的应用28例例6证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为中值定理与导数的应用29四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理2 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的条件是充分的，但不是必要的.3 证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理定理.4 应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式一些不等式中值定理与导数的应用30思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.中值定理与导数的应用31思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.中值定理与导数的应用32
