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1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 - -距离问题距离问题一、求点到平面的距离一、求点到平面的距离一般方法：一般方法：利用定义先作出过利用定义先作出过这个点到平面的垂这个点到平面的垂线段，再计算这个线段，再计算这个垂线段的长度。垂线段的长度。还可以用等积法求距离还可以用等积法求距离. .向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离其中其中 为斜向量，为斜向量， 为法向量。为法向量。二、直线到平面的距离二、直线到平面的距离其中其中 为斜向量，为斜向量， 为法向量。为法向量。l三、平面到平面的距离三、平面到平面的距离四、异面直线的距离四、异面直线的距离 是与是与 都垂直的向量都垂直的向量点到
2、平面的距离：点到平面的距离：直线到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线的距离：异面直线的距离：四种距离的统一向量形式：四种距离的统一向量形式：(1) 求求B1到面到面A1BE的距离；的距离；如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(2) 求求D1C到面到面A1BE的距离；的距离；如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
3、棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(3) 求面求面A1DB与面与面D1CB1的距离；的距离；如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为中，棱长为1，E为为D1C1的中点，求下列问题：的中点，求下列问题：(4) 求异面直线求异面直线D1B与与A1E的距离的距离.FEB1C1D1DCA练习练习1：已知棱长为已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是B1C1和和C1D1 的中点，求点的中点，求点A1到平到平面面DBEF的距离。的距离。BxyzA1练习练习2：已知棱长为已知棱长为1的正方体的正方体ABCD
4、A1B1C1D1，求平面求平面DA1C1和平面和平面AB1C间的距离。间的距离。B1C1D1DCABxyzA1练习练习3:已知棱长为已知棱长为1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1，求直线求直线DA1和和AC间的距离。间的距离。B1C1D1DCABxyzA1小结小结 利用法向量来解决上述立体几何题目，最利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的大的优点就是不用象在进行几何推理时那样优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得体几何
5、题目，关键就是得建立空间直角坐标建立空间直角坐标系系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。练习练习4：如图在直三棱柱如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,求求B1到平面到平面A1BC的距离。的距离。B1A1BC1ACxyz练习练习5：如图在直三棱柱如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=AB=1, AA1=求求B1到平面到平面A1BC的距离。的距离。B1A1BC1ACxyzM练习练习6： 已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分别是分别是AB、AD的中点，的中点，求点求点B到平面到平面GEF的距离。的距离。GBDACEFxyzSABCNMOxyz练习练习7：在三棱锥在三棱锥S-ABC中，中，ABC 是边长为是边长为4的正三角的正三角形，平面形，平面SAC垂直平面垂直平面ABC，SA=SC= ， M、N分别为分别为AB、SB的中点，求：点的中点，求：点B到平面到平面CMN的距离的距离.
