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1、第第3 3章章 连续信号与系统的频域分析连续信号与系统的频域分析分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。在第在第2 2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状态响应是输入信号与冲激响应的卷积。态响应是输入信号与冲激响应的卷积。基本信
2、号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃信号信号 ，单位三角函数，单位三角函数 和和 ，单位复指数信号，单位复指数信号 等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指数信号据欧等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指数信号据欧拉公式可表示为拉公式可表示为 ，也是单频的。因此若选择三角函，也是单频的。因此若选择三角函数或指数函数作为基本信号，那就意味着把输入信号在频率域上进数或指数函数作为基本信号，那就意味着把输入信号在频率域上进行分解。行分解。3.1 3.1 引言引言下一页 返回利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统
3、的频域分析。利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途径。径。3.1 3.1 引言引言返回上一页1 1 函数（信号）正交定义式函数（信号）正交定义式任意两个实函数任意两个实函数 和和 ，满足关系式，满足关系式则则 、 在时间区间（在时间区间（ ）正交。）正交。若若 、 是复函数，且满足关系式是复函数，且满足关系式 则称则称 、 在时间区间（在时间区间（
4、 ）正交。其中）正交。其中 、 分别是分别是 、 的共轭函数。的共轭函数。2. 2. 正交函数集正交函数集实函数集合实函数集合 中如果存在中如果存在3.2 3.2 信号分解为正交函数组合信号分解为正交函数组合下一页 返回则称此实函数集合在区间（则称此实函数集合在区间（ ）的正交函数集合。如果）的正交函数集合。如果K=1K=1，称此实函数集合为归一化正交函数集合。，称此实函数集合为归一化正交函数集合。复函数集合复函数集合 如果是在区间如果是在区间 正交的，正交的，则应满足关系式则应满足关系式3. 3. 完备正交函数集完备正交函数集如果在正交实函数集如果在正交实函数集 之外，不再存在函数之外，不再
5、存在函数x(t)x(t)，此函数，此函数符合符合且满足条件且满足条件3.2 3.2 信号分解为正交函数组合信号分解为正交函数组合下一页 返回上一页则称则称 为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。一般为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。一般完备正交函数集包含无穷多个函数。完备正交函数集包含无穷多个函数。3.2 3.2 信号分解为正交函数组合信号分解为正交函数组合返回上一页将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数集集 或或 分解而得到的分解而得到的级数统称为傅立叶级数级数统称为傅立叶级数3.3.1 3.3.1 三角函数形式的傅里
6、叶级数三角函数形式的傅里叶级数 1 1一种三角函数形式的傅里叶级数一种三角函数形式的傅里叶级数设设f(t)f(t)为任意周期信号为任意周期信号( (周期周期 , ,角频率角频率 ) ) 则其可展开则其可展开为三角函数形式的傅立叶级数为三角函数形式的傅立叶级数3.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回2 2另一种三角函数形式的傅里叶级数另一种三角函数形式的傅里叶级数 f(t)f(t)展开为常用形式展开为常用形式或或3 3傅立叶级数存在的充分条件傅立叶级数存在的充分条件傅立叶级数存在的充分条件傅立叶级数存在的充分条件周期信号周期信号f(t)f(t)须满足须满足“狄
7、利赫利狄利赫利”条件，即条件，即1 1）一个周期内仅有有限个间断点；）一个周期内仅有有限个间断点；2 2）一个周期内仅有有限个极值；）一个周期内仅有有限个极值；3 3）一个周期内绝对可积，即）一个周期内绝对可积，即 3.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回上一页4 4基波、谐波基波、谐波 通常把频率为通常把频率为 称为基波或一次谐波，称为基波或一次谐波， 或或 称为基波分量。同理，频率称为基波分量。同理，频率 称为称为n n次谐波其对应的次谐波其对应的 或或 称为称为n n次谐波波分量。次谐波波分量。5 5幅度谱、相位谱幅度谱、相位谱 用一些长度不同的线段来
8、分别代表基波、二次谐波、三次谐波用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-13-1所所示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱。所以称为振幅频谱。3
9、.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回上一页有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说明。明。周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性. .3.3.2 3.3.2 指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数1 1指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数设设f(t)f(t)为任意周期信号（周期为任意周期信号（周期 ，角频率，角频率 ） 则其
10、可展开为指数形式的傅立叶级数。则其可展开为指数形式的傅立叶级数。3.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回上一页2 2指数形式表示的信号频谱指数形式表示的信号频谱-复数频谱复数频谱下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的特点。由于特点。由于FnFn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。3.3.3 3.3.3 三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅立叶级数的关系立叶级数的关系三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式
11、，有三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有 3.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回上一页故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数的两种不同的表现形式故的两种不同的表现形式故3.3.4 3.3.4 函数的对称性与傅里叶系数的关系函数的对称性与傅里叶系数的关系1 1函数的对称性函数的对称性要将信号要将信号f(t)f(t)展开为傅里叶级数，如果展开为傅里叶级数，如果f(t)f(t)是实函数，且它波是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为形满足某种对称性，则在其傅里
12、叶级数中有些项为0 0，留下的各项系，留下的各项系数的表示式也比较简单。数的表示式也比较简单。3.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回上一页2 2傅里叶级数的系数求解傅里叶级数的系数求解1) 1) 偶函数信号偶函数信号(f(t)=f(-t)(f(t)=f(-t)2 2）奇函数信号）奇函数信号(f(t)=-f(-t)(f(t)=-f(-t)3 3）奇谐函数信号）奇谐函数信号奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：下反转，此时波形并不发生变化，即满足：3.3
13、 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数下一页 返回上一页n n为偶数为偶数 n n为奇数为奇数其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。4 4）偶谐函数信号）偶谐函数信号偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。3.3 3.3 周期信号的分解周期信号的分解傅立叶级数傅立叶级数返回上一页3.4.1 3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换上式方括号
14、中的部分是参变量上式方括号中的部分是参变量 的函数，记为的函数，记为 ，即，即代入上式代入上式这就是著名的傅里叶变换。常记作这就是著名的傅里叶变换。常记作 3.4.2 3.4.2 频谱密度函数频谱密度函数F Fn n是信号的频谱函数，是信号的频谱函数， 则称为信号的频谱密度函数。则称为信号的频谱密度函数。3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换下一页 返回3.4.3 3.4.3 傅里叶变换的存在性傅里叶变换的存在性非周期信号非周期信号f(t)f(t)是否存在傅立叶变换是否存在傅立叶变换 ，仍应满足类似于，仍应满足类似于傅立叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于一个周
15、期的范围为傅立叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于一个周期的范围为 ，即要求信号，即要求信号f(t)f(t)在区间绝对可积，则有在区间绝对可积，则有3.4.4 3.4.4 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换1 1实指数函数的傅里叶变换实指数函数的傅里叶变换 由定义式可算出由定义式可算出 的频谱密度函数的频谱密度函数3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换下一页 返回上一页2 2双边指数信号的傅里叶变换双边指数信号的傅里叶变换 偶双边指数：偶双边指数：其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换下一页 返
16、回上一页3 3矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号的傅里叶变换 4 4符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换 符号函数：符号函数： 因此它的傅立叶变换为因此它的傅立叶变换为3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换下一页 返回上一页5 5冲激函数的傅里叶变换冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数单位冲激函数 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个实偶函数。实偶函数。6 6直流信号直流信号如图如图3-213-21所示，设所示，设f(t)=1f(t)=1的付氏变换为的付氏变换为 ，则由其反变，则由其反变换定义式有换定义式有 考虑到考虑到
17、 是偶函数，则可得是偶函数，则可得3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换下一页 返回上一页7 7虚指数函数虚指数函数虚指数函数虚指数函数 是具有虚指数是具有虚指数 的无时限信号，由傅里叶的无时限信号，由傅里叶变换定义式可知，变换定义式可知， 8 8高斯脉冲高斯脉冲高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为其其 3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换下一页 返回上一页9 9阶跃信号阶跃信号单位阶跃信号单位阶跃信号 可用直流信号和符号函数表示如下可用直流信号和符号函数表示如下由此可确定其频谱密度函数为由此可确定其频谱
18、密度函数为3.4 3.4 非周期信号的分解非周期信号的分解傅里叶变换傅里叶变换返回上一页3.5.1 3.5.1 线性性质线性性质若若 则则3.5.2 3.5.2 对称性对称性若若则则3.5.3 3.5.3 尺度变换尺度变换若若 则则3.5 3.5 付里叶变换的性质付里叶变换的性质下一页 返回3.5.4 3.5.4 时移性质时移性质若若则则3.5.5 3.5.5 频移性质频移性质若若则则3.5.6 3.5.6 卷积定理卷积定理这个性质讨论两个信号在时域作卷积运算时在频域对应什么运这个性质讨论两个信号在时域作卷积运算时在频域对应什么运算。反之，在频域作卷积运算会在时域对应什么运算。算。反之，在频域
19、作卷积运算会在时域对应什么运算。3.5 3.5 付里叶变换的性质付里叶变换的性质下一页 返回上一页1 1时域卷积定理时域卷积定理若若则则2 2频域卷积定理频域卷积定理若若则则3.5.7 3.5.7 时域微、积分性质时域微、积分性质1 1时域微分时域微分若若3.5 3.5 付里叶变换的性质付里叶变换的性质下一页 返回上一页则则推广至推广至2 2时域积分时域积分若若则则3 3利用微、积分性质计算傅立叶变换利用微、积分性质计算傅立叶变换设设因此因此3.5 3.5 付里叶变换的性质付里叶变换的性质下一页 返回上一页3.5.8 3.5.8 频域微分性质频域微分性质若若则则3.5 3.5 付里叶变换的性质
20、付里叶变换的性质返回上一页3.6.1 3.6.1 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制，也就有了它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制，也就有了周期信号的傅里叶变换。其目的是把周期信号与非周期信号的分析周期信号的傅里叶变换。其目的是把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。1 1正弦、余弦周期信号的傅里叶变换正弦、余弦周期信号的傅里叶变换 因为因为 又又 3.6
21、 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回余弦信号余弦信号正弦信号正弦信号2 2一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 令周期信号令周期信号f(t)f(t)的周期为的周期为 ，角频率为，角频率为 ，周期信号，周期信号其中其中 3 3频率响应的求解方法频率响应的求解方法设设LTILTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为h(t)h(t)。当激励为。当激励为x(t)x(t)时，系统的零时，系统的零状态响应为状态响应为3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回上一页若若则根据时域卷积定理可得则根据时域卷积定理可得其中其中 为系统函数，或称系统频率响应。为系
22、统函数，或称系统频率响应。3.6.2 3.6.2 无失真传输及其条件无失真传输及其条件1 1时域无失真传输的条件时域无失真传输的条件无失真传输是指线性系统输出响应无失真传输是指线性系统输出响应y(t)y(t)的波形与输入激励的波形与输入激励x(t)x(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，时间前后有所差异，即：的波形完全相同，其幅度大小可以不同，时间前后有所差异，即：3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回上一页2 2频域无失真传输的条件频域无失真传输的条件对上式两边取傅里叶变换，并利用时移性质，可得对上式两边取傅里叶变换，并利用时移性质，可得 所以无失真传输系统的系统函
23、数为：所以无失真传输系统的系统函数为：由此可得，系统无失真传输的条件为：由此可得，系统无失真传输的条件为：3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回上一页3.6.3 3.6.3 理想低通滤波器理想低通滤波器1 1理想低通滤波器的幅频性质理想低通滤波器的幅频性质理想低通滤波器的幅频性质是一个门函数，其相频性质与频率理想低通滤波器的幅频性质是一个门函数，其相频性质与频率成正比。因此理想低通滤波器的频率性质函数可写为成正比。因此理想低通滤波器的频率性质函数可写为其中其中 称为滤波器的截止频率。在称为滤波器的截止频率。在- - 的频带内输入的频带内输入信号顺利通过，称为滤波器的通带；
24、在信号顺利通过，称为滤波器的通带；在| | |的频率范围内，输入信的频率范围内，输入信号被完全滤除，称为滤波器的阻带。通常和阻带之间没有渐变的过号被完全滤除，称为滤波器的阻带。通常和阻带之间没有渐变的过渡带，而是突变的，渡带，而是突变的，3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回上一页故称为理想滤波器。故称为理想滤波器。 又叫滤波器的延迟时间。又叫滤波器的延迟时间。2 2理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应由于系统函数由于系统函数 为系统冲激响应为系统冲激响应h(t)h(t)的傅里叶变换，因的傅里叶变换，因而，理想低通滤波器的冲激响应为：而，理想低通滤波器的冲激响
25、应为：3 3理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应若理想低通滤波器的输入是一个单位阶跃信号若理想低通滤波器的输入是一个单位阶跃信号 ，则其响应，则其响应为阶跃响应为阶跃响应g(t)g(t)。3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回上一页根据时域分析可知，阶跃响应可以通过对冲激响应的积分而得根据时域分析可知，阶跃响应可以通过对冲激响应的积分而得到，即：到，即：3.6.4 3.6.4 抽样、抽样信号的概念抽样、抽样信号的概念1 1抽样抽样 抽样：利用抽样脉冲序列抽样：利用抽样脉冲序列p(t)p(t)从连续信号从连续信号f(t)f(t)中中“抽取抽取”一系一系列的离散样值的过程，称之为抽样。抽样也称为列的离散样值的过程，称之为抽样。抽样也称为“采样采样”或或“取样取样”。3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用下一页 返回上一页2 2抽样信号抽样信号 抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之为抽样信号。抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之为抽样信号。请注意区别：抽样信号与抽样函数请注意区别：抽样信号与抽样函数 是完全不同的两是完全不同的两个含义。个含义。3.6 3.6 傅里叶变换的应用傅里叶变换的应用返回上一页 图图3-1信号的幅度谱信号的幅度谱返回图图3-21 直流信号及其频谱直流信号及其频谱返回
