《走向清华北大高考总复习三角函数的性质课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《走向清华北大高考总复习三角函数的性质课件（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十一讲三角函数的性质第二十一讲三角函数的性质回归课本回归课本1.正正 余弦曲线的定义余弦曲线的定义正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线正弦曲线和和余弦余弦曲线曲线.2.周期函数周期函数对于函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,使得当使得当x取定义域内的取定义域内的每一个值时每一个值时,都有都有f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做周期函数周期函数.非零常数非零常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期.如果在周期函数如果在周期函数f(x)的所的所有周期中存在一个最小的正数有周期中存在一个最小的
2、正数,那么这个最小正数就叫做那么这个最小正数就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期.正弦函数正弦函数 余弦函数都是周期函数余弦函数都是周期函数,2k,k Z都是它们的周期都是它们的周期,最小正周期是最小正周期是2.3.正弦函数正弦函数 余弦函数的图象和性质如下表余弦函数的图象和性质如下表4.y=tanx的性质的性质(1)定义域是定义域是x|xk+ ,k Z.(2)值域是值域是R,即正切函数既无最大值即正切函数既无最大值,也无最小值也无最小值.(3)周期性周期性:正切函数是周期函数正切函数是周期函数,最小正周期是最小正周期是.(4)奇偶性奇偶性:正切函数是正切函数是奇函数奇函数. (5)单调性单
3、调性:正切函数在开区间正切函数在开区间 k Z内都内都是增函数是增函数.(6)对称性对称性:正切函数的图象关于原点对称正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对正切曲线是中心对称图形称图形,其对称中心坐标是其对称中心坐标是 (k Z).正切函数无对正切函数无对称轴称轴.5.y=tanx(xk+ k Z)的图象的图象考点陪练考点陪练1.函数函数 的定义域是的定义域是( )A.x|2k- x2k+ ,k ZB.x|2kx2k+ ,k ZC.x|2k- x2k,k ZD.x R答案答案:D2.若若 的最小正周期为的最小正周期为T,且且T (1,3),则正则正整数整数的最大值是的最大值是( )A.5
4、B.6C.7D.8答案答案:B答案答案:C答案答案:C5.函数函数 x R是是( )A.奇函数奇函数B.偶函数偶函数C.既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数非奇非偶函数答案答案:B类型一类型一三角函数的定义域三角函数的定义域解题准备解题准备:求函数定义域的题型求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的关键是求使式子有意义的x的的取值范围取值范围,将问题转化为解不等式将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式此题是解三角不等式,常常用的方法有用的方法有:利用单位圆中的三角函数线利用单位圆中的三角函数线;利用三角函利用三角函数的图象数的图象;利用函数单调性利用函数单调性,一定要与
5、相应三角函数的周一定要与相应三角函数的周期联系起来期联系起来. 分析分析先写出使函数有意义的不等式或不等式组先写出使函数有意义的不等式或不等式组,再利用三再利用三角函数图象或单位圆求解集角函数图象或单位圆求解集. 反思感悟反思感悟求三角函数的定义域求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定既要注意一般函数的定义域的规律义域的规律,又要注意三角函数本身的特有属性又要注意三角函数本身的特有属性,如题中出如题中出现现tanx,则一定有则一定有xk+ ,k Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线求三角函数的定义域通常使用三角函数线 三角函数图象三角函数图象或单位圆或单位圆.类型二类型二三角函数的值域及
6、最值问题三角函数的值域及最值问题解题准备解题准备:三角函数的值域及最值问题三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题角函数的复合函数的值域问题,常用的方法有常用的方法有:化为代数函化为代数函数的值域或化为关于数的值域或化为关于sinx(或或cosx)的二次函数式的二次函数式,再利用换再利用换元元 配方等方法求解配方等方法求解.【典例典例2】求下列函数的值域求下列函数的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx- sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.分析分析先将原函数式进行等价变形先将原函数式进行等价变形,利
7、用利用|sinx|1,|cosx|1,但但要注意自变量的取值变化要注意自变量的取值变化. 反思感悟反思感悟(1)将原函数式化为将原函数式化为y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化为关于型或化为关于sinx(或或cosx)的二次函数式的二次函数式,利用换元法进行配方可解决问题利用换元法进行配方可解决问题.(2)关于关于y=acos2x+bcosx+c,a0(或或y=asin2x+bsinx+c,a0)型或可化为此型的函数求值域型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题间上的值域问题,切忌忽视函数的定义域切忌忽视函数的定义域.(3)
8、换元法换元法,旨在三角问题代数化旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性要防止破坏等价性.类型三类型三三角函数的单调性三角函数的单调性解题准备解题准备:与三角函数单调性有关的问题与三角函数单调性有关的问题1.单调区间的求法单调区间的求法函数函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定的单调区间的确定,基本思想基本思想是把是把x+看作一个整体看作一个整体,比如比如:由由2k- x+2k+ (k Z)解出解出x的范围的范围,所得区间即为增区间所得区间即为增区间,由由2k+ x+2k+ (k Z)解出解出x的范围的范围,所得区间即为减区所得区间即为减区间间.2.如何比较两个三角函数值的大小如何比
9、较两个三角函数值的大小比较三角函数值的大小比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为同往往是利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数值一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较再利用单调性比较. 反思感悟反思感悟(1)求形如求形如y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)(其中其中A0,0)的函数的单调区间的函数的单调区间,可以通过解不可以通过解不等式的方法去解答等式的方法去解答,列不等式的原则是列不等式的原则是:把把“x+(0)”视为一个视为一个“整体整体”;A0(A0,所以函数所以函数y的周期与函数的周期与函数y2=1+|sin2x|的周期相同的周期相同,而而y
10、2=1+|sin2x|的周期为的周期为 所所以函数以函数y=|sinx|+|cosx|的周期为的周期为评析评析求三角函数的最小正周期主要有三种方法求三角函数的最小正周期主要有三种方法:一是根据定一是根据定义义,但要注意体现最小但要注意体现最小;二是利用三角函数的图象二是利用三角函数的图象;三是公式三是公式法法,即函数即函数y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B(0)的最小正周期分别为的最小正周期分别为错源四利用正切函数图象求解方程根作图有误而致错错源四利用正切函数图象求解方程根作图有误而致错 剖析剖析产生错解的原因是对产生错解的原因是对y=sinx与与y=
11、tanx的图象的性质认的图象的性质认识不清识不清.答案答案A技法技法求函数周期的若干策略求函数周期的若干策略一一 数形结合数形结合当一个函数的周期不容易求得时当一个函数的周期不容易求得时,画出它的图象是行之有效的画出它的图象是行之有效的好方法好方法.【典例典例1】已知函数已知函数 指出函数的最小正周期指出函数的最小正周期.显然函数的最小正周期为显然函数的最小正周期为T=2.二二 转化与化归转化与化归形如形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”类型的正切函数可类型的正切函数可以通过化简转换成单一函数名称的三角函数以通过化简转换成单一函数名称的三角函数,然后再求周期然后再求周期.【典例典例2】求函数求函数y=tanx+cotx的周期的周期.解解 故周期为故周期为.方法与技巧方法与技巧形如形如“y=tanpx+tankx(kp)”类型的正切函数类型的正切函数,应分别求两个函数的最小正周期应分别求两个函数的最小正周期,然后求这两个正周期中然后求这两个正周期中分母的最小公倍数和分子的最大公约数分母的最小公倍数和分子的最大公约数.三三 回归定义回归定义【典例典例3】求函数求函数y=|tanx|+|cotx|的最小正周期的最小正周期. 方法与技巧方法与技巧若盲目套用若盲目套用y=|tanx|、y=|cotx|的周期分别为的周期分别为T=,则会得出错误结论则会得出错误结论.
