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1、第一章第一章 函数与极限函数与极限第九节第九节 连续函数的运算连续函数的运算 初等函数连续性初等函数连续性连续函数的四则运算连续函数的四则运算定理定理1若函数若函数在点在点处连续处连续, ,则则在点在点处也连续处也连续. .连续函数的四则运算连续函数的四则运算在在内连续内连续, ,在其定义域内连续在其定义域内连续. .反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续. .单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单反函数的连续性反函数的连续性例如例如, ,
2、在在上单调增加且连续上单调增加且连续, ,故故在在上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续. .同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续; ;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续; ;在区间在区间内单调减少且连续内单调减少且连续. .复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理3若若函数函数在点在点处处连续连续, ,则有则有复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理4设函数设函数在点在点处连续处连续, ,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,则复合函数则复合函数在点在点处也连续处也连续. .例例 1 求求例例 2 求求例例 3 求求例例 4 求求初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及
3、反三角函数三角函数及反三角函数的的;指数函数指数函数在在内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数在在内单内单调且连续调且连续;在在内连续内连续. .在它们的定义域内是连续在它们的定义域内是连续初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理5基本初级函数基本初级函数定理定理6一切初级函数一切初级函数定义区间定义区间是指是指在定义域内是连续的在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间.注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续. .初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,2.定义区间定义区间). .初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法)例例 5 求求幂指函数幂指函数结论结论:若若则则称为称为幂指函数幂指函数.形如形如的函数的函数例例6求求例例7求求例例8计算计算例例9求极限求极限例例 10计算计算
