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1、第十章第十章 排列、组合、排列、组合、二项式定理和概率二项式定理和概率第 讲1 考 点 搜 索分类计数原理的特点和算法分步计数原理的特点和算法高 考猜 想利用分类计数原理和分步计数原理求方法数21. 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= _种不同的方法. 3 2.完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= _种不同的方法.3.如果完成一件事有n类办法，其中第一类办法中的 _都能完成
2、这件事，求完成这件事的方法种数就用 _原理，它可用物理中的“并联”电路来理解，是一种加法原理. 任一种方法任一种方法分类计数分类计数44.如果完成一件事需要分成n个步骤，其中每一步均 _这件事，只有依次完成所有步骤才能完成这件事，求完 成 这 件 事 的 方 法 种 数 就 用 _原理，它可用物理中的“串联”电路来理解，是一种乘法原理. 不能完成不能完成分步计数分步计数51.十字路口来往的车辆，如果不允回头，共有种行车路线（ ）A. 24 B. 16C. 12 D. 10解：起点有C41种可能，终点有C31种可能，因此，行车路线共有C41C31=12种.C62.从正方体的6个面中选取3个面，其
3、中有2个面不相邻的选法共有( )A. 8种 B. 12种C. 16种 D. 20种解：有2个面不相邻即有一组对面，所以选法为 12种. B73.某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )A.9876543 B.896C.9106 D.81105解：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9105部，同理升为七位时为9106，所以可增加的电话部数是9106-9105=81105.D8题型题型1 1 利用分类计数原理求方法数利用分类计数原理求方法数1. 某中学高三年级有三个班，某中学高三年级有三个班，01班有学生班有学生50人，其中男生人，其中男生30人；
4、人；02班有学生班有学生60人，其中人，其中男生男生30人；人；03班有学生班有学生55人，其中男生人，其中男生35人人.(1)从这三个班中选一名学生任学生会主席，从这三个班中选一名学生任学生会主席，求共有多少种不同的选法？求共有多少种不同的选法？ (2)从从01班或班或02班的男生中，或从班的男生中，或从03班的班的女生中选一名学生任学生会学习部长，求共有女生中选一名学生任学生会学习部长，求共有多少种不同的选法？多少种不同的选法？9解：(1)分三类：从01班选1名有50种；从02班选1名有60种；从03班选1名有55种.由分类计数原理，共有不同的选法 506055165(种).(2)分三类：
5、从01班男生中选1名有30种；从02班男生中选1名有30种；从03班女生中选1名有20种.由分类计数原理，共有不同的选法30302080(种).10点评：利用分类进行计数时，主要是找到一个分类的标准.有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“不重不漏”，求得的各类方法数的和就是最后的方法总数.11 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：根据题意，将十位数上的数字分别为1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成八类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合题意的两位数共有87+6+5+4+3
6、+2+136个.122.用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共有多少种不同的涂色方法？ 题型题型2 利用分步计数原理求方法数利用分步计数原理求方法数13解：分四步：涂A有5种方法；涂B有种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(D与A可以同色).由分步计数原理，共有5433=180(种). 点评：分步计数就是把一件复杂的事件划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当全部步骤完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积就是事件的方法数.14 (1)将将4封信投入封信投入3个邮箱，有多个邮箱
7、，有多少种不同的投法？少种不同的投法？ (2)3位旅客到位旅客到4个旅店住宿，有多少种个旅店住宿，有多少种不同的住宿方法？不同的住宿方法？ (3)4人各写一张贺卡，先集中起来，然人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，四张贺后每人从中拿一张别人送出的贺卡，四张贺卡共有多少种不同的分配方式卡共有多少种不同的分配方式？ 解：解：(1)分四步：每一封信都有分四步：每一封信都有3种不同种不同的投法，由分步计数原理，共有的投法，由分步计数原理，共有333381(种种).15(2)分三步：每位旅客都有4种不同的住宿方法,由分步计数原理,共有444=64(种). (3)分四步：四个人中
8、的任意一人先取1张，有3种取法；由前一人取走的贺卡的供卡人取张，有3种取法；由余下的两人中的任一人取，只有一种取法；最后一人取，只有一种取法.由分步计数原理，共有33119(种).163. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.(用数字作答).题型题型3 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用 17解法1：从题意来看，6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求. (1)与同色，则也同色或也同色，所以共有N1=43221=48种； (2)与同色，
9、则或同色，所以共有N2=43221=48种； (3)与且与同色，所以共有N3=4321=24种. 所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.18解法2：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有432种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.根据分步计数原理，不同的栽种方法有N=4325=120种.19点评：解法1是常规解法，解法2安排4、5、6时又用了分类和列举的方法.复杂事件的计数问题需要用到两种计数原理，一般采用的是先分类，后分步，各步中又可能涉及到分类，注意两个计数原理的综合应用.2021221. 将一个
10、四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求共有多少种不同的染色方案?解:记四棱锥为S-ABCD，五种颜色的编号为1，2，3，4，5分两步：第一步，对S、A、B三点染色，共有543=60种方法23第二步：对C、D两点染色当S、A、B已染好色时，不妨设其颜色分别为1，2，3，则C点可染2、4、5号色中的一种，分为三类24若C染2号色，则D点可染3、4、5号色中的任一种，有3种方法；若C染4号色，则点D可染3、5号色中的任一种，有2种方法；若C染5号色，则点D可染3、4号色中的任一种，有2种方法由两个计数原理，共有60(3+2+2)=420种252.
11、在任意两个正整数m和n间定义某种运算，用 表示运算符号，并规定：当m和n都为奇数或都为偶数时, m n=m+n；当m和n中有一个为奇数，另一个为偶数时，mn=mn. 设集合M=(a,b)|ab=36，a、bN*，求集合M中共有多少个元素？解：分两类：当a、b都为正奇数或正偶数时, a b=a+b=36. 26所以a=1，b=35;或a=2，b=34或a=35，b=1，共有35个元素.当a、b中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，ab=ab=36.所以a=1，b=36;或a=3，b=12;或a=4，b=9;或a=36，b=1;或a=12，b=3;或a=9，b=4，共有个元素.由分类计数原理知,共有
12、35+ 641个元素.27 3. 若m，nx|x= a2102+ a110+a0 ，其中ai (i=0，1，2)1，2，3，4，5，6，并且m+n=606，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为( )A. 32 B. 30C. 62 D. 60D28解：由m+n=606，其个位数字为6，所以 a0 可有(1、5)，(5、1)，(2、4)，(4、2)，(3、3)共5种组成方法；十位数字为0，可有(4、6)，(6、4)、(5、5)共3种组成方法；百位数字为6，可由十位进上来1，余下5可有(1、4)，(4、1)，(2、3)，(3、2)共4种组成方法；由分步计数原理，实数对(m，n)的个数为534
13、60，故选D.291利用两个计数原理解决实际问题时，先要弄清这是做一件什么事，这件事是怎么做的，再将“事件”进行分类或分步，然后分别计算各类或各步中的方法数，最后结合相应的原理得出结论2分类和分步的标准不是唯一的，不同的标准对应不同的解法，但在同一种解法中，必须采用同一个标准进行分类或分步，否则就会出现重复、遗漏、跳步、缺步等现象，从而产生错误结论303对既要分类又要分步的计数问题，一般先分类，将每一类问题看作一个“事件”，再通过分步来计算这一类的方法数；如果反面情况较简单，则可用间接法求解，即去掉不合要求的方法数，剩下的就是符合要求的方法数4对某些较简单的计数问题也可直接列举“事件”的各种可
14、能情形，再数出方法种数.31第十章第十章 排列、组合、排列、组合、二项式定理和概率二项式定理和概率第 讲（第二课时）（第二课时）32题型题型4 利用方程思想及分解与合成利用方程思想及分解与合成 思想求相互独立事件的概率思想求相互独立事件的概率 1. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为的零件不是一等品的概率为 ，甲、
15、丙两台，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为机床加工的零件都是一等品的概率为 . 33(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：(1)设A、B、C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，据题意，A、B、C相互独立，且 P(A)1-P(B)= ， 即 P(B)1-P(C)= . P(A)P(C)= 34联立、可得，P(B)=1- P(C)，代入 得，27P(C)2-51P(C)+22=0，解得P(C)= 或 P(C)= (舍去).从而P(A)= ， P(B)= .故甲、乙、丙三台机
16、床各自加工的零件是一等品的概率分别是 ， ， . (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品即事件A+B+C.35因为 ，所以 . 故所求的概率为 .点评：事件的分解与合成、对立与统一是处理复杂事件与基本事件之间联系的基本方法，求解时注意基本事件的概率之间的关系及转化.36 甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是 和 ，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. (1)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次，且乙恰好击 中目标3次的概率； (2)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击，求乙恰好射击5次后被中止射击的概率.37
17、解：(1)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B，则P(A)= ，P(B)= .因为A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)= .故两人各射击4次，甲恰有2次击中目标，且乙恰有3次击中目标的概率是 .38(2)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件C，“乙第i次射击击中目标”为事件Ci(i=1，2，3，4，5)，则 ，且P(Ci)= ，C1，C2，C3，C4相互独立.所以 .故乙恰好射击5次后被中止射击的概率为 .392. 一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均
18、为p，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为 .若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 ，求p的取值范围解：该学生至多遇到一次红灯指没有遇到红灯(记为事件A)或恰好遇到一次红灯(记为事件B)，则 题型题型5 求概率的取值问题求概率的取值问题40 . 因为 ， 解得 p . 又0p1,所以p的取值范围是 ，1. 点评：涉及到概率的取值范围一般是根据题意列出参数的函数形式或不等式，另外注意概率本身的取值范围.41 甲、乙两人进行一项科学实验，已知甲实验成功的概率为 ，乙实验成功的概率为x，甲、乙两个人至少有一个实验成功的概率为y. (1)若x ， ，求y的取值范围； (2)若恰有一人实验成功的概率为 y，
19、求x、y的值. 解：(1)设“甲实验能成功”为事件A；“乙实验能成功”为事件B.42则P(A)= ，所以P( )= .P(B)=x，所以P( )=1-x.所以有y= .当x ， ，可知y ， . (2)依题意，可得 及(1)得： ，解得 .433. 经统计,某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下： (1)每天不超过20人排队结算的概率是多少? (2)一周7天中,若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75,商场就需要增加结算窗口,请问该商场是否需要增加结算窗口？ 题型题型6 概率在实际问题中的决策作用概率在实际问题中的决策作用排队人数056101115162
20、0212525人以上概率0.10.150.250.250.20.0544解：(1)每天不超过20人排队结算的概率为P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75. (2)每 天 超 过 15人 排 队 结 算 的 概 率 为0.25+0.2+0.05= ，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为 ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为 ； 45一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为 ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为所以，该商场需要增加结算窗口.点评：随机事件来源于实际生活和生产，随机事件的概率知识又服务
21、于实际应用.利用随机事件的规律(即概率)对生活活动进行辅助决策，这体现了数学知识与实际应用的紧密联系.46 一一次次考考试试共共有有12道道选选择择题题，每每道道选选择择题题都都有有4个个选选项项，其其中中有有且且只只有有一一个个是是正正确确的的.评评分分标标准准规规定定：“每每题题只只选选一一个个选选项项，答答对对得得5分分，不不答答或或答答错错得得零零分分”.某某考考生生已已确确定定有有8道道题题的的答答案案是是正正确确的的，其其余余题题中中有有两两道道题题都都可可判判断断两两个个选选项项是是错错误误的的，有有一一道道题题可可判判断断一一个个选选项项是是错错误误的的，还还有有一一道道题题因
22、因不不理解题意只好乱猜理解题意只好乱猜.请求该考生：请求该考生： (1)得得60分的概率；分的概率； (2)得多少分的可能性最大得多少分的可能性最大.47解：(1)设“可判断两个选项是错误的两道题选对”为事件A，“可判断一个选项是错误的一道题选对”为事件B，“有一道题不理解题意选对”为事件C.则P(A)= ，P(B)= ，P(C)= .所以，得60分的概率为P= . 48(2)得40分的概率为P= ；得45分的概率为P= ；得50分的概率为P= ； 得55分的概率为P= . 所以得45分或50分的可能性最大. 491. 对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及概率的转化，熟悉“至少有一个发生
23、”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等词语的真实含义，并注意运用集合的观点，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题转化.502.解决概率问题的一般步骤可概括如下：第一步确定事件的性质(等可能性事件，互斥事件，独立事件，n次独立重复试验)，即将所给问题归结到四类事件中的某一种；第二步，判断事件的运算方式(和事件，积事件)，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件；第三步，运用公式：等可能性事件：P(A)= .互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B).51独立事件：P(AB)=P(A)P(B).n次独立重复试验： .3. 利用P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)和P(A+B)+P( )=1这两个概率恒等式，求P(A+B)有时是十分方便的.4. 有些事件的概率难以从题设背景直接求解，则可考虑利用方程思想或分解与合成思想求解.52
