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1、定义定义2. . 一条平面曲线一、旋转曲面一、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C: 则有则有该点转到机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方
2、程为两边平方机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面. (二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1. 椭球面椭球面(1)范
3、围：(2)与坐标面的交线：椭圆机动 目录 上页 下页 返回 结束 与的交线为椭圆：(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3) 截痕:为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 抛物面抛物面(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.( p , q 同号)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时, 截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线: 虚轴平行于x 轴
4、）时, 截痕为时, 截痕为(实轴平行于z 轴;机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线: 双曲线: (2) 双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形4. 椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线 .可以证明, 椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到, 见书 P316 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.5.柱面柱面引例引例. 分析方程表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程解解: :在 xoy 面上，表示圆C,
5、沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面. .对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的平面平面.表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于
6、y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如, 曲线绕 z 轴的旋转曲面: 柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1. 指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束
