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1、3.2.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书-人教版人教版A版版-选修选修22学习目标1、掌握复数的乘法法则，能熟练的进行复数的乘法运算。2、理解共轭复数的意义。3、掌握复数的除法法则，能熟练的进行复数的除法运算。重点重点重点重点难点难点温故温故 夯夯基基已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).（1）加法法则：）加法法则：z1+z2=
2、(a+c)+(b+d)i （2）减法法则：）减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i (a+bi )(c+di) = (ac) + (bd)ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = = OZOZ符合向量加法符合向量加法的平行四边形的平行四边形法则法则.1.1.复数复数加法加法运算的几何意义运算的几何意义? ?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量减符合向量减法的三角形法的三角形法则法则.2.2.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?探究探究1
3、：探求探求 新知新知 设设a，b b，c c，d dRR，则，则( (ab)()(cd) )怎样展开？怎样展开？ ( (ab)()(cd) )acadbcbd思考：思考： 复数复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，其中，其中a，b b，c c，d dRR，则，则z1z2 ( (abi)(i)(cdi)i)，按照上述运算法则将其展开，按照上述运算法则将其展开， z1z2等于什么？等于什么？ 探求探求 新知新知1.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则：说明说明:(1):(1)两个复数的两个复数的积积仍然是一个仍然是一个复数复数； (2)(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在复数
4、的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算运算过程中把中把 换成换成1 1，然后，然后实实、虚部虚部分别合并分别合并. .探求探求 新知新知对任意复数z1、z2、z3C ，有乘法交换律乘法交换律z1z2_乘法结合律乘法结合律(z1z2)z3_乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律z1(z2z3)_z1(z2z3)z1z2z1z3z2z12 2复数乘法的运算律复数乘法的运算律例题例题 讲解解例例1 1：计算：计算解：解：原式原式原式原式例例2.2.计算计算 复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的. .例题例题 讲解解例题例题 讲解解例例3.3.计算：计算：（1 1）（2 2
5、）解：解：（1 1）（2 2） 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. .相等相等互为相反数互为相反数探求探求 新知新知3.3.共轭复数：共轭复数：复数复数 的共轭复数的共轭复数记作记作zabi探究探究3：探求探求 新知新知 若若 ， 是共轭复数，那么是共轭复数，那么 （1 1）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ （2 2） 是一个怎样的数是一个怎样的数 ？x xy yO Oz1 （1
6、）关于实轴对称关于实轴对称 结论：结论：（2） 即：乘积的结果是一个即：乘积的结果是一个实数实数与与有何关系？有何关系？ （3）探求探求 新知新知探究探究4：?复数的除法法则复数的除法法则分母实数化分母实数化 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都乘以再把分子与分母都乘以分母的共轭复数分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母实数化分母实数化).).例例4.4.计算计算解解:例题例题 讲解解1 1、先写成分式形式、先写成分式形式 3 3、化简成代数形式就得结果、化简成代数形式就得结果. .但注意但注意结结果一般写成果一般写成 实部和虚部分开的
7、形式。实部和虚部分开的形式。 2 2、然后分母实数化即可运算、然后分母实数化即可运算.(.(一般分子分母同时乘以一般分子分母同时乘以分母的共轭复数分母的共轭复数) )方法总结：方法总结：限时练习：5分钟课本P111第1、3题探究：探究： i1_; i2_; i3_; i4_ i5_， i6_，i7_，i8_i-i-11i-1-i1知知识拓展提升拓展提升虚数单位虚数单位i的周期性：的周期性：(1)i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)(2)inin1in2in30(nN)注意：注意：n也可以推广到也可以推广到整数集整数集例：例：i2017= _ 返回返回高考我能行高考我能行用用准准
8、确确说说话话靠靠速速度度取取胜胜课堂课堂 小小结1 1、复数乘法运算法则及运算律；、复数乘法运算法则及运算律；2 2、共轭复数的判定及性质；、共轭复数的判定及性质；3 3、复数除法的运算法则及计算。、复数除法的运算法则及计算。结论：结论：（3 3）祝同学们祝同学们 学习进步学习进步如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.）设设 ,则有则有:事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式.(6)一些常用的计算结果一些常用的计算
9、结果拓拓 展展求满足下列条件的复数求满足下列条件的复数z:z:(1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3CC及及m,nNm,nN* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .另外另外, ,本题还可用几何知识来分析
10、本题还可用几何知识来分析. .考点一考点一复数的乘除法复数的乘除法考点突破考点突破1、计算解：解：原式原式原式原式考点二考点二共轭复数共轭复数2 2、(2013(2013年高考福建卷年高考福建卷) )已知复数已知复数z z的共轭复数的共轭复数（ 为虚数单位），则为虚数单位），则z z在复平面内对应的点位于（在复平面内对应的点位于（ ）A.A.第一象限第一象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限B.B.第二象限第二象限D D3 3、已知复数已知复数 ， 是是z z的共轭复数，则的共轭复数，则 的模的模等于（等于（ ）A.4A.4B.2B.2C.1C.1D.D.C C考点二考点二共轭复
11、数共轭复数4 4、（、（20132013年高考安徽卷）设年高考安徽卷）设 是虚数单位，是虚数单位， 是复数是复数的共轭复数，若的共轭复数，若 则则 等于（等于（ ）A.A.B.B.C.C.D.D.A A【思路点拨思路点拨】考点三考点三i的运算性质及应用的运算性质及应用 5、计算：算：ii2i3i2010.【思路点思路点拨】解答本解答本题可利用等比数列求和公式化可利用等比数列求和公式化简思考：能否利用思考：能否利用in的周期性化简？的周期性化简？法二：法二：ii2i3i4i1i10inin1in2in30(nN)原式原式ii2(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2007i2008i2009i2010)i101i.【思思维总结】等差、等比数列的求和公式在复等差、等比数列的求和公式在复数集数集C中仍适用，中仍适用，i的周期性要的周期性要记熟，即熟，即inin1in2in30(nN)计算：算：12i3i22011i2010的的值变式训练变式训练变式训练变式训练布置布置 作作业巩固巩固 提升提升若 是关于 的方程 的一个根，求 的值.解：解： 是方程 的根
