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1、一、一、k 级子式级子式 余子式余子式 代数余子式代数余子式二、拉普拉斯二、拉普拉斯(Laplace)定理定理三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级行列式行列式 D 中任意中任意选定定 k 行行 k 列列按照按照原来次序原来次序组成一个成一个 k 级行列式行列式 M，称，称为行列行列 ( ) )，位于位于这些行和列的交些行和列的交叉点上的叉点上的 个元素个元素式式 D 的一个的一个 k 级子式级子式；在；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称，称为 k 级子式子式 M 的的余子式余子
2、式； 余下的元素按照原来的次序组成的余下的元素按照原来的次序组成的 级级 行列行列 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则若若 k 级子式级子式 M 在在 D 中所在的行、列指标分别是中所在的行、列指标分别是 ，则在在 M 的余子式的余子式前前后称之后称之为为 M 的的代数代数加上符号加上符号余子式余子式，记为 . 注：注： k 级子式不是唯一的子式不是唯一的.（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级子式）子式） 时，D本身本身为一个一个n级子式子式时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级子式；子式；第二章第二章 行列式行列
3、式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例1：四阶行列式：四阶行列式选定选定1、3行，行，2、4列的一个二级子式列的一个二级子式MM的余子式和代数余子式分别为的余子式和代数余子式分别为第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例2：五阶行列式：五阶行列式中中与与是一对互余的子式是一对互余的子式.第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则二、二、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 与它的代数余子式与它的代数余子式
4、A的乘积中的每一项都是行列式的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的展开式中的一项，而且符号也一致的一项，而且符号也一致第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则Laplace 定理定理由由这 k 行行元素所组成的一切元素所组成的一切k级子式与它们的级子式与它们的设在行列式在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，代数余子式的乘积和等于代数余子式的乘积和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由行后，由这 k 行得到的行得到的 k 级子式子式则 .，它，它们对应的代数余子的代数余子式分别为式分别为为第二章第二章 行列式行列式 8
5、 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则 时，时，即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开； 注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行运用行运用Laplace 定理结果定理结果 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例 对于四阶行列式对于四阶行列式选定选定2、3行得子式和代数余子式分别为行得子式和代数余子式分别为第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则例例3：计算
6、行列式：计算行列式 解：选定一二行得六个子式解：选定一二行得六个子式 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则,. 它们的代数余子式为它们的代数余子式为第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则设有两个有两个n 级行列式行列式其中其中则则第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则证：证：作一个作一个2n级的行列式级的行列式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则又又对D作初等行作初等行变换：可得可得这里里第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则从而从而 第二章第二章 行列式行列式 8 8 拉普拉斯定理拉普拉斯定理 行列式乘法法则行列式乘法法则
