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1、1一、一、 三重积分的概念三重积分的概念二、三重积分的计算三、小结及作业.2一、一、 三重积分的概念三重积分的概念采用 引例：设在空间有限闭区域引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀内分布着某种不均匀的物质，的物质， 密度函数为求分布在 内的物质的质量 M . 可得“分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限”.3定义定义: 设设存在 ,称为体积元素 若对 作任意分割, 及任意取点 , 以下“乘积和式的极限则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下也常写作.4性质性质中值定理中值定理: 设设 在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,使得其中V为 的体积.三重积分的性质与二重积分相似
2、 , 例如计算方法计算方法则存在一点.51、直角坐标系中将三重积分化为三次积分、直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算如图，如图，在直角坐标系下.6化三重积分为三次积分.7其中为三个坐标面及平面例例1. 计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域 . 解解:.8解解.9.10解解如图，如图，.11.12.13解解.14原式原式.15解解如图如图,.16.173、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：.18 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面.19如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元
3、素为中的体积元素为.20其中为由柱面例例1. 计算三重积分计算三重积分所围成半圆柱体.解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下及平面.21例例2. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面.22解解知交线为知交线为.23.24解解所围成的立体如图，所围成的立体如图， .25所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， .26.27.284、利用球面坐标计算三重积分.29规定：规定：如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面.30球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，.31球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，.32例例1. 计算三重积分计算三重积分 其中为解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体.锥面与球面.33.34.35.36解解.37.38三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结.39（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素（2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结.40A组组.
