高等数学高等数学ⅠⅠ连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质9/5/20241 一、连续函数的和、差、积、商的 连续性定理定理1 1例如例如,9/5/20242 二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2例如例如,9/5/20243 定理定理3 3证证反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.9/5/20244 将上两步合起来将上两步合起来:9/5/20245 意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解9/5/20246 例例2 2解解同理可得同理可得9/5/20247 定理定理4 4注意 注意 定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,9/5/20248 三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.★★★★★★9/5/20249 定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .★★(均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的. .定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间. .9/5/202410 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意1 注意注意2 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.9/5/202411 例例3 3例例4 4解解解解9/5/202412 四、最大值和最小值定理定义定义例如例如, 函数在闭区间上连续的定义函数在闭区间上连续的定义.9/5/202413 定理定理7 7( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数 在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最 小值小值. .9/5/202414 注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立. 9/5/202415 五、介值定理定义定义9/5/202416 几何解释几何解释:9/5/202417 几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,9/5/202418 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值. .例例5 5证证由零点定理由零点定理,9/5/202419 例例6 6证证由零点定理由零点定理,9/5/202420 六、小结1.连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意 注意 1．闭区间；．闭区间； 2．连续函数．．连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立．这两点不满足上述定理不一定成立． 2.四个定理四个定理9/5/202421 思考题思考题9/5/202422 思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点 1.9/5/202423 不正确不正确.例函数例函数 2.9/5/202424 思考题思考题9/5/202425 作业作业 P70 3,4,6 P75 9，10 9/5/202426 。