《高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件 新人教A版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定 课件 新人教A版必修2（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 自自 学学 导导 引引(学生用书学生用书P48) 1.理解两个平面垂直的定义及判定定理理解两个平面垂直的定义及判定定理,运用它解决有关的运用它解决有关的简单问题简单问题.2.了解二面角的概念了解二面角的概念,掌握二面角的表示方法掌握二面角的表示方法.课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P48) 1.两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面角是如果它们所成的二面角是_,就说就说这两个平面互相垂直这两个平面互相垂直.2.如果一个平面过另一个平面的一条如果一个平面过另一个平面的一条_,那么这两个平那么这两个平面互相垂直面互相垂直.3.从一
2、条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为_,这条直线叫做二面角的这条直线叫做二面角的_.以二面角的棱以二面角的棱上任一点为端点上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角这两条射线所成的角,叫做二面角的叫做二面角的_.4.二面角的大小二面角的大小,用它的平面角来度量用它的平面角来度量,二面角的平面角是几二面角的平面角是几度度,就说这个二面角是就说这个二面角是_.直二面角直二面角垂线垂线二面角二面角棱棱平面角平面角几度几度名名 师师 讲讲 解解 (学生用书学生用书P49) 两平面相交成直二
3、面角时两平面相交成直二面角时,两平面垂直两平面垂直.两平面相交的这一特两平面相交的这一特殊位置关系殊位置关系,决定着平面与平面垂直的概念决定着平面与平面垂直的概念 性质和判断性质和判断,涉涉及的空间知识极为丰富及的空间知识极为丰富,是高考的热点内容之一是高考的热点内容之一.除定义外除定义外,判断两平面垂直的最常用的判定定理是判断两平面垂直的最常用的判定定理是“一平面一平面过另一个平面的垂线过另一个平面的垂线”.证明两个平面垂直证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直、线面垂直来通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的实现的,同时同时,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、在关于垂直问题的论证中
4、要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化线面垂直、面面垂直的相互转化.异面直线所成的角异面直线所成的角 斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角 二面角统称为空间二面角统称为空间角角,其求解方法相同其求解方法相同,步骤是步骤是:第一步第一步,作出它们的平面角作出它们的平面角;第第二步二步,证明所作的角满足定义证明所作的角满足定义;第三步第三步,将作出的角放在三角将作出的角放在三角形中形中,计算出平面角的大小计算出平面角的大小,又简称为又简称为“一作一作 二证二证 三计算三计算”.在计算时在计算时,会受到三角函数知识的影响会受到三角函数知识的影响,因此学习直线和因此学习直线和平面所成的角平面所成
5、的角 二面角时二面角时,仅仅了解这两个概念即可仅仅了解这两个概念即可,不要在不要在其如何求解上过多纠缠其如何求解上过多纠缠,其求解方法将在选修中重点学习其求解方法将在选修中重点学习. 典典 例例 剖剖 析析 (学生用书学生用书P49) 题型一题型一 空间线与面的位置关系空间线与面的位置关系例例1:(1)已知已知m l是直线是直线, 是平面是平面,给出下列命题给出下列命题:若若l垂直于垂直于内两条相交直线内两条相交直线,则则l ;若若l平行于平行于,则则l平行于平行于内的所有直线内的所有直线;若若m ,l ,则则l m,则则 ;若若l ,且且l ,则则 ;若若m ,l ,且且 ,则则l m.其中
6、正确的命题的序号是其中正确的命题的序号是_.解析解析:本题考查线与线本题考查线与线 线与面线与面 面与面的位置关系面与面的位置关系.命题命题是是线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理,所以正确所以正确;命题命题,l ,但但l不能平不能平行于行于内所有直线内所有直线;命题命题,l m,不能保证不能保证l ,即分别包含即分别包含l与与m的平面的平面 可能平行也可能相交而不垂直可能平行也可能相交而不垂直;命题命题,为为面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理,所以正确所以正确;命题命题, ,但分别在但分别在 内的直线内的直线l与与m可能平行可能平行,也可能异面也可能异面.(2)如果直线如果直线l m与平面
7、与平面 满足满足l=,l ,m ,m ,那么必有那么必有( )A. 和和l m B. 和和m C.m 且且l mD. 和和 解析解析:在在“命题命题”形式的选择题中形式的选择题中,应会寻找恰当的数学模型应会寻找恰当的数学模型来否定其中一些错误命题来否定其中一些错误命题,如下图如下图.正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,取平面取平面CDD1C1为为,对角面对角面ABC1D1为为,对角对角面面A1B1CD为为,CB1为为m,C1D1为为l,于是由于是由m=C,可排除可排除B C两项两项;又由又由=CD,排除排除D项项;易证易证A正确正确.答案答案:A 规律技巧规律技巧:(1)题的关键是将符号
8、语言转化为图形语言题的关键是将符号语言转化为图形语言,要求要求考生根据符号提供的信息去画图考生根据符号提供的信息去画图,去进行推理和判断去进行推理和判断,试题试题形式上是填空题形式上是填空题,实际上是多选题实际上是多选题,是高考题型的一种新变是高考题型的一种新变化化.(2)排除法解立体几何选择题是常用的方法排除法解立体几何选择题是常用的方法,本题是通过构造本题是通过构造正方体中的线和面来举反例正方体中的线和面来举反例,寻找面面平行条件的关键是牢寻找面面平行条件的关键是牢记定义和定理记定义和定理.变式训练变式训练1:设有直线设有直线m,n和平面和平面,则下列命题中则下列命题中,正确正确的是的是(
9、 )A.若若m n,m,n ,则则 B.若若m ,m n,n ,则则 C.若若m n,n ,m,则则 D.若若m n,m ,n ,则则 解析解析:C中中,由由m n,n ,得得m .又又m, .答案答案:C题型二题型二 用定义证明两平面垂直用定义证明两平面垂直 例例2:如图如图,在四面体在四面体ABCD中中,求证求证:平面平面ABD 平面平面BCD.分析分析: ABD与与BCD有公共边有公共边BD,且都是等腰三角形且都是等腰三角形.因此取因此取BD的中点的中点E,连结连结AE CE.则则AEC为二面角为二面角A-BD-C的平面的平面角角.证该角为直角即可证该角为直角即可.证明证明:取取BD的中
10、点的中点E,连结连结AE,CE.由由AB=AD=CB=CD知知AE BD,CE BDAEC为二面角为二面角A-BD-C的平面角的平面角.在在ABD中中, 同理同理,在在BCD中中, AE2+CE2=a2=AC2 AE CE,即即AEC=90. 平面平面ABD 平面平面BCD. 规律技巧规律技巧:在立体几何中在立体几何中,常把空间问题常把空间问题,转化为平面问题转化为平面问题,用平面几何知识求解用平面几何知识求解.变式训练变式训练2:如图如图,已知已知:AB ,AB=B,AB.求证求证: .证明证明:如下图如下图,设设=a,则则B a. AB ,a AB a,在平面在平面内作内作BE a,则则A
11、BE为二面角为二面角-a-的平面角的平面角. AB ,BE . AB BE.ABE=90即二面角即二面角-a-为直二面角为直二面角 .题型三题型三 面面垂直的判定面面垂直的判定例例3:在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E F分别为分别为AB BB1的中点的中点.求证求证:平面平面DEF 平面平面A1BD1.分析分析:画出示意图画出示意图,利用正方体的性质利用正方体的性质,证面面垂直证面面垂直,可先证线可先证线面垂直面垂直,再用判定定理得证再用判定定理得证.证明证明:如下图所示如下图所示.由正方体的性质知由正方体的性质知,A1D1 平面平面A1B1BA.EF平面平面A1B1BA,
12、A1D1 EF.A1B AB1,EF AB1, A1B EF.又又A1D1A1B=A1, EF 平面平面A1BD1.而而EF 平面平面DEF, 平面平面DEF 平面平面A1BD1.变式训练变式训练3:如图如图,正方体正方体ABCD-A1B1C1D1中中,求求:(1)直线直线D1C与平面与平面AC所成的角所成的角;(2)二面角二面角D1BCD的大小的大小.分析分析: D1CD是直线是直线D1C与平面与平面AC所成的角所成的角,也是二面角也是二面角D1-BC-D的平面角的平面角.解解:(1) D1D 平面平面AC, D1C在平面在平面AC上的射影是上的射影是DC.D1CD是直线是直线D1C与平面与
13、平面AC所成的角所成的角.在在D1CD中中,D1D CD,D1D=CD,D1CD=45. 直线直线D1C与平面与平面AC所成的角是所成的角是45.(2)在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,BC CD,BC CC1, BC 平平面面D1C. BC D1C,BC CD.D1CD是二面角是二面角D1-BC-D的平面角的平面角.由由(1)知知D1CD=45, 二面角二面角D1-BC-D的大小是的大小是45.易错探究易错探究例例4:在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中中,底面底面ABCD为正方形为正方形,试试问问:截面截面ACB1与对角面与对角面BD1垂直吗垂直吗?错解错解:如图所示如
14、图所示,设设AC与与BD的交点为的交点为O,连接连接B1O,则则B1O是截是截面面ACB1与对角面与对角面BD1的交线的交线.因为因为B1O是底面的斜线是底面的斜线,所以所以截面截面ACB1与底面倾斜与底面倾斜,从而截面从而截面ACB1不可能与对角面不可能与对角面BD1垂直垂直.错因分析错因分析:错解从错解从B1O倾斜于底面倾斜于底面,就断定截面就断定截面ACB1不可能与不可能与对角面对角面BD1垂直垂直,这是没有根据的这是没有根据的,犯这种错误主要是由于对犯这种错误主要是由于对空间中的线面关系的理解不够透彻空间中的线面关系的理解不够透彻.正解正解:在正方形在正方形ABCD中中,连结连结AC
15、BD, 则则AC BD.又又BB1 平面平面ABCD.AC平面平面ABCD, AC BB1.又又BDBB1=B, AC 平面平面BD1.又又AC在平面在平面ACB1内内, 截面截面ACB1 对角面对角面BD1.技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P50) 基础强化基础强化1.若平面若平面与平面与平面不垂直不垂直,那么那么内能与内能与垂直的直线垂直的直线( )A.有有0条条 B.有一条有一条C.有有2条条D.有无数条有无数条答案答案:A2.过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为过一条直线与一个平面垂直的平面的个数为( )A.1B.2C.无数无数D.1或无数或无数解析解析:当当a 时时,过过a
16、与平面与平面垂直的平面有无数个垂直的平面有无数个;当当a不垂直不垂直时时,过过a与平面与平面垂直的平面有一个垂直的平面有一个.答案答案:D3.若平面若平面 平面平面,平面平面 平面平面,则则( )A. B. C.与与相交相交,但不垂直但不垂直D.以上都有可能以上都有可能解析解析:垂直同一平面的两个平面垂直同一平面的两个平面,相交相交 平行都有可能平行都有可能.答案答案:D4.如下图如下图,ABCD为正方形为正方形,PA 平面平面ABCD,则在平面则在平面PAB 平平面面PAD 平面平面PCD 平面平面PBC及平面及平面ABCD中中,互相垂直的有互相垂直的有( )A.3对对B.4对对C.5对对D
17、.6对对解析解析:互相垂直的平面有互相垂直的平面有:平面平面PAB 平面平面PAD.平面平面PAB 平面平面ABCD,平面平面PAD 平面平面ABCD,平面平面PAB 平面平面PBC,平面平面PAD 平面平面PCD.共共5对对.答案答案:C5.若两条直线若两条直线a与与b异面异面,则过则过a且与且与b垂直的平面垂直的平面( )A.有且只有一个有且只有一个B.可能有一个可能有一个,也可能不存在也可能不存在C.有无数多个有无数多个D.一定不存在一定不存在解析解析:当当a b时时,存在一个存在一个.当当a不垂直不垂直b时时,不存在不存在.答案答案:B6.自二面角内任一点分别向两个面引垂线自二面角内任
18、一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的则两垂线所成的角与二面角的关系是角与二面角的关系是( )A.相等相等B.互补互补C.互余互余D.无法确定无法确定解析解析:根据平面四边形内角和等于根据平面四边形内角和等于360知知,它们互补它们互补.答案答案:B7.在四面体在四面体ABCD中中,若有两组对棱互相垂直若有两组对棱互相垂直,则另一组对棱则另一组对棱所成的角为所成的角为_.90解析解析:借助于正方体做出判断借助于正方体做出判断.如图所示如图所示:在四面体在四面体ABCD中中,有有AB CD,AC BD.另一组对棱另一组对棱BC AD.因此因此,另一组对棱所另一组对棱所成的角为成的角为90.8.如
19、图如图,已知三棱锥已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等的三个侧面与底面全等,且且BC=2,则以则以BC为棱为棱,以面以面BCD与与BCA为面的二为面的二面角为面角为_.90解析解析:取取BC的中点的中点E,连结连结AE,DE,由题意知由题意知AE BC,DE BC,AED为所求二面角的平面角为所求二面角的平面角.计算得计算得AD=2. AE2+DE2=AD2,AED=90.能力提升能力提升9.如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中,底面是边长为底面是边长为a的正方形的正方形,侧棱侧棱 (1)求证求证:PD 平面平面ABCD;(2)求证求证:平面平面PAC 平面平面PBD;(3)求证求证:
20、 PCD为二面角为二面角P-BC-D的平面角的平面角.证明证明:(1) PC2=PD2+DC2, PD DC.同理可证同理可证:PD AD,又又ADDC=D, PD 平面平面ABCD.(2)由由(1)知知PD 平面平面ABCD, PD AC,而四边形而四边形ABCD为正方形为正方形, AC BD,又又BDPD=D, AC 平面平面PDB.又又AC 平面平面PAC, 平面平面PAC 平面平面PBD.(3)由由(1)知知PD BC,BC DC, BC 平面平面PDC, BC PC.PCD为二面角为二面角P-BC-D的平面角的平面角.10.如图如图,已知已知ABC为正三角形为正三角形,EC 平面平面
21、ABC,BD 平面平面ABC,且且EC DB在平面在平面ABC的同侧的同侧,M为为EA的中点的中点,CE=CA=2BD.求证求证:(1)DE=DA;(2)平面平面BDM 平面平面ECA;(3)平面平面DEA 平面平面ECA.证明证明:(1)如下图如下图,取取AC中点中点N,连结连结MN,BN.ABC为正三角形为正三角形, BN AC, EC 平面平面ABC,BD 平面平面ABC, EC BD,EC BN.又又M为为AE中点中点,EC=2BD, MN BD, 四边形四边形MNBD是平行是平行四边形四边形. BN DM.由由BN AC,BN EC,得得BN 平面平面AEC, DM 平面平面AEC,
22、 DM AE, AD=DE.(2) DM 平面平面AEC,DM 平面平面BDM, 平面平面BDM 平面平面ECA.(3) DM 平面平面AEC,DM 平面平面ADE, 平面平面DEA 平面平面ECA.品品 味味 高高 考考(学生用书学生用书P51)11.(2008四川四川)直线直线l 平面平面,经过经过外一点外一点A与与l,都成都成30角的直线有且只有角的直线有且只有( )A.1条条B.2条条C.3条条D.4条条解析解析:由最小角定理可知由最小角定理可知,过点过点A所得直线与平面所得直线与平面内的直线内的直线l所成的角和该直线与所成的角和该直线与所成角大小相等所成角大小相等, 这样的直线有且这
23、样的直线有且只有只有2条条.答案答案:B12.(2009江苏江苏)如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABCA1B1C1中中,E,F分别是分别是A1B,A1C的中点的中点,点点D在在B1C1上上,A1D B1C.求证求证:(1)EF 平面平面ABC;(2)平面平面A1FD 平面平面BB1C1C.证明证明:(1)如图如图,由由E F分别是分别是A1B,A1C的中点知的中点知EF BC,因为因为EF 平面平面ABC,BC 平面平面ABC,所以所以EF 平面平面ABC.(2)由三棱柱由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知为直三棱柱知CC1 平面平面A1B1C1,又又A1D 平面平面A1B1C1,故故CC1 A1D.又因为又因为A1D B1C,CC1B1C=C,CC1 B1C 平面平面BB1C1C,故故A1D 平平面面BB1C1C,又又A1D 平面平面A1FD,所以平面所以平面A1FD 平面平面BB1C1C.
