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1、2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1 1/11/11 在现实中为什么很多数量指标都在现实中为什么很多数量指标都在现实中为什么很多数量指标都在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布服从或近似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成综合影响而成综合影响而成综合影响而成, , , ,即即即即近似近似近似近似当当当当 时时时时
2、, , , ,在什么情况下在什么情况下在什么情况下在什么情况下的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是的极限分布是2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理2 2/11/11设设设设 是独立是独立是独立是独立r.vr.vr.vr.v列列列列, , , ,均值和方差都存在均值和方差都存在均值和方差都存在均值和方差都存在令令令令则则则则部分和标准化部分和标准化部分和标准化部分和标准化r.vr.vr.vr.v的极限分布是否为的极限分布是否为的极限分布是否为的极限分布是否为一般地，答案是否定的一般地，答案是否定
3、的一般地，答案是否定的一般地，答案是否定的！除非除非除非除非 服从正态分布，否则结论就不真服从正态分布，否则结论就不真服从正态分布，否则结论就不真服从正态分布，否则结论就不真. . . .取取取取则则则则则称则称则称则称 服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理若若若若 的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数 对任意对任意对任意对任意 满足满足满足满足2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理3 3/11/11服从中心极限定理的条件是什么服从中心极限定理的条件是什么服从中心极限定理的条件是什么服从中心极限定理的条件是什么
4、相互独立相互独立相互独立相互独立都存在都存在都存在都存在2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理4 4/11/11同分布的同分布的同分布的同分布的 r.vr.v 列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为则则则则 服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数 对任意对任意对任意对任意 满足满足满足满足设设设设 为独立为独立为独立为独立, , , ,即标准化即标准化即标准化即标准化r.vr.vr.vr.v2 2 中心极限定理中
5、心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5 5/11/11对于均值为对于均值为对于均值为对于均值为 方差方差方差方差 的独立同分布的的独立同分布的的独立同分布的的独立同分布的 r.vr.vr.vr.v 列列列列有有有有近似近似近似近似即或即或即或即或近似近似近似近似这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到在实际问题中在实际问题中在实际问题中在实际问题中, , , ,如果某数量指标满足如果某数量指标满足如果某数量指标满足如果某数量指标满足该指标是由大
6、量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布突出的作用突出的作用突出的作用突出的作用 2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理6 6/11/11由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理由独立同分布的中心极限定理, , , ,有有有有设设设设 为服为服为服为服从从从从参数为参数为参
7、数为参数为的的的的 二项分布二项分布二项分布二项分布r.vr.vr.vr.v列列列列, , 则则则则对任意对任意对任意对任意 有有有有其中其中其中其中为独立同分布的为独立同分布的为独立同分布的为独立同分布的(0-1)(0-1)分布分布分布分布r.vr.vr.vr.v, , , ,且且且且因二项分布产生于因二项分布产生于因二项分布产生于因二项分布产生于 重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验重伯努利试验, , , ,故故故故 可分解为可分解为可分解为可分解为 该该该该定定定定理理理理是是是是概概概概率率率率论论论论历历历历史史史史上上上上第第第第一一一一个个个个中中中中心心心心极极极极限限限限定定
8、定定理理理理, , , ,由由由由棣棣棣棣莫莫莫莫弗弗弗弗于于于于1730173017301730年给出年给出年给出年给出到到到到时时时时的的的的证证证证明明明明, , , ,几几几几十十十十年年年年后后后后经经经经拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯推推推推广广广广的一般情形的一般情形的一般情形的一般情形. . . .2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理7 7/11/11对于一列二项分布对于一列二项分布对于一列二项分布对于一列二项分布r.vr.vr.vr.v ，有，有，有，有近似近似近似近似近似近似近似近似的图形为的图形为的图形为的图形为于是
9、当于是当于是当于是当 充分大时，可以认为充分大时，可以认为充分大时，可以认为充分大时，可以认为 近似近似近似近似人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍棣莫弗棣莫弗棣莫弗棣莫弗棣莫弗棣莫弗人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯拉普拉斯2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理8 8/11/11Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记记记记则则则则近似近似近似近似共共共共15151515层小钉层小钉层小钉层小钉小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向
10、右落下层钉后向右落下小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下高尔顿高尔顿高尔顿高尔顿( Francis ( Francis ( Francis ( Francis Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-1911) 1911) 1911) 1911) 英国人类学英国人类学英国人类学英国人类学家和气象学家家和气象学家家和气象学家家和气象学家2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理9 9/11/11在任一时刻，记在任一时刻，记在任一时刻，记在任
11、一时刻，记 某某某某单单单单位位位位电电电电话话话话交交交交换换换换机机机机接接接接有有有有500500500500部部部部电电电电话话话话, , , ,在在在在所所所所有有有有通通通通话话话话中中中中有有有有96%96%96%96%次次次次通通通通话话话话是是是是在在在在各各各各分分分分机机机机内内内内进进进进行行行行的的的的. . . .假假假假定定定定每每每每部部部部分分分分机机机机是是是是否否否否需需需需要要要要打打打打外外外外线线线线是是是是相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的, , , ,问问问问要要要要配配配配备备备备多多多多少少少少条条条条外外外外线线线线才才才才能能能能以
12、以以以95%95%95%95%的的的的概概概概率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？由独立同分布中心极限定理有由独立同分布中心极限定理有由独立同分布中心极限定理有由独立同分布中心极限定理有近似近似近似近似第第第第 台分机要用外线台分机要用外线台分机要用外线台分机要用外线否则否则否则否则独立同分布，且独立同分布，且独立同分布，且独立同分布，且则则则则设共需要设共需要设共需要设共需要 条外线才能满足要求，则应有条外线才能满足要求，则应有条外线才能满足要求，则应有条外线才能满足要求，则应有又又又又故至少
13、应配备故至少应配备故至少应配备故至少应配备28282828条外线才能满足要求条外线才能满足要求条外线才能满足要求条外线才能满足要求. . . .查正态分布表得查正态分布表得查正态分布表得查正态分布表得, , , ,故有故有故有故有2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1010/11/11设设设设 是独立是独立是独立是独立r.vr.v列列列列, , , ,它们具有数学期望和方差：它们具有数学期望和方差：它们具有数学期望和方差：它们具有数学期望和方差：若存在若存在若存在若存在 使得当使得当使得当使得当 时时时时, , , ,有有有有 近似近似近似
14、近似则则则则 服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理服从中心极限定理, , , ,即即即即人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件2 2 中心极限定理中心极限定理第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理1111/11/11ENDEND为什么叫为什么叫为什么叫为什么叫“中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理” 棣棣棣棣莫莫莫莫弗弗弗弗- - - -拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理是是是是棣棣棣棣莫莫莫莫弗弗弗弗于于于于173
15、0173017301730年年年年给给给给出出出出的的的的概概概概率率率率论论论论历历历历史史史史上上上上第第第第一一一一个个个个中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理. . . .在在在在此此此此后后后后的的的的大大大大约约约约200200200200年年年年中中中中，有有有有关关关关对对对对独独独独立立立立随随随随机机机机变变变变量量量量和和和和的的的的极极极极限限限限分分分分布布布布的的的的讨讨讨讨论论论论一一一一直直直直是是是是概概概概率论研究的中心，故称为率论研究的中心，故称为率论研究的中心，故称为率论研究的中心，故称为“中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理”. . . .1 1 1 1、3 3 3 3、4 4 4 4、5 5 5 5、7 7 7 7、8 8 8 8( ( ( (至少做四题至少做四题至少做四题至少做四题) ) ) )
