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1、3.1.2导数的概念导数的概念高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用1 1、平均变化率、平均变化率 一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 一一.复习复习 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。曲线的割线）的斜率。 在高台跳水运动中，运动员相对于水面在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为的高度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s )存在函数关系存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？2我们先
2、考察我们先考察2附近的情况。附近的情况。任取一个时刻任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为也可以是负值，但不为0.当当0时，在时，在2之前；之前；当当0时，在时，在2之后。之后。0时时20时时2二二.新授课学习新授课学习t0时时, 在在2, 2 +t 这段这段时间内时间内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上
3、的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?瞬时速度 在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如
4、何表示?、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作或或 , 即即导数的作用：导数的作用：在例在例2中，高度中，高度h关于时间关于时间t的导数是运动员的的导数是运动员的瞬时速度；瞬时速度；在例在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关关于体积于体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬瞬时膨膨胀率率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的
5、意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点
6、运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 三典例分析三典例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例例1.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典
7、例分析题型二：求函数在某型二：求函数在某处的的导数数例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数; (2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.练习练习: 计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大原油温度大约以以3的速率上升。的速率上升。练习：P76小结：小结： 1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量ss= =s(t+t)-s(ts(t+t)-s(t) ) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限作作业：P80 3、4三三维设计：P48
