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1、3.1.1 变化率问题 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的越来越慢从数学的加，气球的半径增加的越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？角度，如何描述这种现象呢？问题1:气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是：用V 表示r得：“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思的意思是：是：随着气球体积的增大，当气球体积随着气球体积的增大，当气球体积_时，时，相应半径的相应半径的
2、_越来越小越来越小. .增加量相同增加量相同增加量增加量从而从而:“:“随着气球体积的增大随着气球体积的增大, ,比值比值 ( (即平均即平均膨胀率膨胀率) )越来越小越来越小”。( )( )半径的增加量半径的增加量体积的增加量体积的增加量当V从0增加到1L时，气球的半径增加了当V从1增加到2L时，气球的半径增加了r(1)-r(0)0.62(dm)气球的平均膨胀率为r(2)-r(1)0.16(dm)气球的平均膨胀率为动画 观看第一次第二次0.62dm0.16dm观察小新接连两次观察小新接连两次吹气球时，吹气球时，气球的膨胀程度。气球的膨胀程度。当V从0增加到1L时，当V从1L增加到2L时，可以
3、看出，随着气球的体积逐渐变大，可以看出，随着气球的体积逐渐变大，气球的平均膨胀率逐渐变小了。气球的平均膨胀率逐渐变小了。当气球的空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？思考一般地，一般地，V1 1 V2 2时，平均膨胀率时，平均膨胀率=r(V2 2) r(V1 1) V2 2 V1 1问题问题2 2 高台跳水高台跳水在跳水运动中，运动员相对于水面高度在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位（单位:m）与起跳后的）与起跳后的时间时间t(单位单位:s)存在函数关系：存在函数关系：h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图）（如图）h(0.5) - h(0) 0.5 - 0
4、t:0 0.5时时, v=t:1 2时时, v= 4.05(m/s)h(2) h(1) 2 1= - 8.2(m/s)一般地一般地,t1 t2时时,v=h(t2) h(t1) t2 t1平均速度平均速度在某段时间内，高度相对于时间的变化率用在某段时间内，高度相对于时间的变化率用_描述。描述。平均变化率的定义如果上述两个问题中的函数关系用f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子上式称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。习惯上记：x=x2-x1y=f(x2)-f(x1)则平均变化率为x2=x1 +x另一种形式则平均变化率为注意：注意：1.式子式子 中中x 、 y 是一个整体符号，而不是与与x,
5、y相乘。相乘。2.式子式子 中中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0, y 的值可以为的值可以为03.若函数若函数f (x)为常函数时为常函数时, y =0 4. 变式变式例例1 已知已知f(x)=2x2+1(1)求求: 其从其从x1到到x2的平均变化率；的平均变化率；(2)求求: 其从其从x0到到x0+xx的平均变化率，并求的平均变化率，并求x0=1, x= x= 时，时， 的平均变化率。的平均变化率。解解: (1)yxf(x2) f(x1) x2 x1=2(x1+x2)(2x22+1) (2x12+1) x2 x1=(2)yx=f(x0+x) f(x0
6、) (x0+x) x0f(x0+x) f(x0) x=(2(x0+x)2+1) (2x02+1) x=4x0+2xyx= 4x0+2x = 5当当x0=1, x= 时，时，（1）计算函数改变量（2）计算自变量改变量小结：求平均变化率的步骤：y=f(x2)-f(x1)x=x2-x1（3）平均变化率为练习：求函数y=5x2+6在区间2，2+x 内的平均变化率。解： y=5(2+ x)2+6-(522+6) =20x+5x2 思考思考?观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直
7、线直线AB的斜率的斜率这是平均变化率的几何意义气球平均膨胀率气球平均膨胀率平均速度平均速度平均变化率定义平均变化率定义平均变化率几何意义平均变化率几何意义小小 结结:1.函数函数f(x)从从x1到到x2的平均变化率：的平均变化率：2.函数函数f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率平均变化率的几何意义：直线直线AB的斜率的斜率答答: (1)不是。先上升，后下降。不是。先上升，后下降。(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。它并不能反映某一刻的运动状态。计算运动员在计算运动员在0t t 这段时间这段时间里的平均速度：里的平均速度：v=_v=_，思考，思考下面的问题：下面的问题：(1)(1)运动员在这段时间里是静止运动员在这段时间里是静止 的吗？的吗？(2)(2)你认为用平均速度描述运动员你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？的运动状态有什么问题？0m/s
