多元函数的微分学及其应用

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1、 微微微微 积积积积 分分分分第十四章第十四章 多元函数的微分学及其应用多元函数的微分学及其应用14141 1 多元函数的概念多元函数的概念一一 一些基本概念一些基本概念二二 实值函数实值函数 向量值函数向量值函数三三 二元函数定义域二元函数定义域四四 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续微积分的研究对象是函数，我们已对一元函数作了一定的研究，但实际问题往往更复杂，许多量的变化取决于多个因素。这就需要我们对多元函数进行探讨。1、n维空间点“时间”空间1维空间R2维空间R23维空间R34维空间R43维空间R3 时间REinsteinn n维空间维空间R Rn n霍金 点点点距离距离在距离的基

2、础上给出“邻域”的概念。以下讨论R2平面点集平面点集平面上满足一定条件的点的集合，用D表示。2、邻域是平面上一点（圆形）邻域（圆形）邻域（方形）邻域（方形）邻域3、内点若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,则称 P 为 E 的内点内点若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,则称 P 为 E 的外点外点 ;若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E的外点 ,则称 P 为 E 的边界点边界点。 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 4、外点5、边界点E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E 。D6、

3、开集若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集。开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.1）开集与开区间有什么关系？连通的开集称为开区域 ,简称区域区域。7、开区域E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E。问题：2）R1中的开集与开区间是什么？8、闭区域 闭集9、有限区域 无限区域例如，例如，在平面上闭区域开区域有限区域2121开集非区域o无限区域1、二元函数D是R2上非空点集，R是实数集，自变量x，y则称z是x，y的二元（实值）函数。定义域D因变量z与之对应，二元函数的图形通常是一张曲面.2、n元函数3、向量值函数点函数例1 求解所求定义域为的定义域问题： “二重极限”与“二次极限”相等吗？比较：1）一元函数极限2）二次极限1、二重极限例2 求二重极限解：解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .例3 讨论函数而例6 讨论函数在(0,0)的极限解取其值随k的不同而变化，极限不存在2、连续性多元初等函数：常量、具不同自变量的一元基本初等函数经有限次四则运算法则和复合运算过程而构成的函数。如：结论：一切多元初等函数再其定义区域内连续。如：除点（0，0）外都连续。又如：上间断.在圆周作业：P76 1(1)(2) ，3， 4