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1、第第二二章章函函数、数、导导数数及及其其应应用用第第十十节节函函数数模模型型及及其其应应用用抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练返回 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 长的含义长的含义2.了解函数模型了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段如指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等在社会生活中普遍使用的函数模型函数等在社会生活中普遍
2、使用的函数模型)的广泛应用的广泛应用.返回怎怎 么么 考考1.现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问 题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函 数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查 建模能力及分析问题和解决问题的能力；建模能力及分析问题和解决问题的能力；2.题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解 答题为主答题为主.返回返回1三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函
3、数模型的图象与性质 函数函数性质性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上的增上的增减性减性增长速度增长速度相对平稳相对平稳图象的变化图象的变化随随x增大逐渐表增大逐渐表现为与现为与 平行平行随随x增大逐渐表增大逐渐表现为与现为与 平行平行随随n值变化值变化而不同而不同增函数增函数增函数增函数增函数增函数越来越快越来越快越来越慢越来越慢y轴轴x轴轴返回2三种增长型函数之间增长速度的比较三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数指数函数yax(a1)与幂函数与幂函数yxn(n0)在区间在区间(0，)，无论，无论n比比a大多少，尽管在大多少，尽管在x的一定范围的一定范围
4、内内ax会小于会小于xn，但由于，但由于ax的增长的增长 xn的增长，因而总的增长，因而总存在一个存在一个x0，当，当xx0时有时有 .快于快于axxn返回(2)对数函数对数函数ylogax(a1)与幂函数与幂函数yxn(n0)对数函数对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论的增长速度，不论a与与n值的大小值的大小如何总会如何总会 yxn的增长速度，因而在定义域内总的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数存在一个实数x0，使，使xx0时有时有 .由由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此但它
5、们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在在(0，)上，总会存在一个上，总会存在一个x0，使，使xx0时有时有 .慢于慢于axxnlogaxlogaxg(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)答案：答案： B返回2一根蜡烛长一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时，燃烧时剩下的高度剩下的高度h(cm)与燃烧时间与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表的函数关系用图象表示为图中的示为图中的 ()答案：答案：B解析：解析：由题意由题意h205t,0t4.结合图象知应选结合图象知应选B.返回3某种商品进价为每件某种商
6、品进价为每件100元，按进价增加元，按进价增加25%出售，出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利 ()A25元元 B20.5元元C15元元 D12.5元元返回答案：答案： D解析：解析：九折出售时价格为九折出售时价格为100(125%)90%112.5元，元，此时每件还获利此时每件还获利112.510012.5元元返回答案：答案：ya(1r)x，xN*4(教材习题改编教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金某种储蓄按复利计算利息，若本金为为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期是，存期是x，本利和，本利和(本金加利本金加利息息)为为y元，则本
7、利和元，则本利和y随存期随存期x变化的函数关系式是变化的函数关系式是_返回5有一批材料可以建成有一批材料可以建成200 m的围墙，的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形料隔成三个面积相等的矩形(如图所示如图所示)，则围成的矩，则围成的矩形最大面积为形最大面积为_(围墙厚度不计围墙厚度不计)返回答案：答案： 2 500 m2 返回返回1解函数应用题的步骤解函数应用题的步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其
8、中的数学本质；数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型， 将实际问题转化为数学问题；将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论返回2解函数应用题常见的错误：解函数应用题常见的错误：(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件在求解
9、过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件返回返回返回返回返回返回返回巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)1(2012广州月考广州月考)为了发展电信事业方便用户，电信公为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如如意卡意卡”与与“便民卡便民卡”在某市范围内每月在某市范围内每月(30天天)的通话时间的通话时间x(分分)与通话费与通话费y(元元)的关系如图所示的关系如图所示返回则通话费则通话费y1，y2与通话时间与通话时间x之间的函数关系式分别为之间的函数关系式分别为_，_.返回返回2(
10、2012抚州质检抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为角边长分别为40 cm与与60 cm，现将它剪成一个矩形，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？才能使剩下的残料最少？返回返回返回冲关锦囊冲关锦囊 1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大自变量的系数大于于0)或直线下降或直线下降(自变量的系数小于自变量的系数小于0)，构建一次
11、函数，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解模型，利用一次函数的图象与单调性求解2.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决次函数图象与单调性解决3.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域返回精析考题精析考题例例2 (2012日照模拟日照模拟)据气象中心据气象中心观察和预测：发生于观察和预测：发生于M地的沙尘暴地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度一直向正南方向移动，其
12、移动速度v(km/h)与时间与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段的函数图象如图所示，过线段OC上一点上一点T(t,0)作横轴的垂线作横轴的垂线l，梯形，梯形OABC在直线在直线l左侧部分的面积左侧部分的面积即为即为t(h)内沙尘暴所经过的路程内沙尘暴所经过的路程s(km)返回(1)当当t4时，求时，求s的值；的值；(2)将将s随随t变化的规律用数学关系式表示出来；变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若若N城位于城位于M地正南方向，且距地正南方向，且距M地地650 km，试判断，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它
13、将侵袭到后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由城？如果不会，请说明理由返回返回返回返回3(2011惠州二模惠州二模)2011年年8月世界大学生运动会在深圳举月世界大学生运动会在深圳举行，某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为行，某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销元的价格销售时该店一年可销售售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚念章
14、的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加元的基础上每减少一元则增加销售销售400枚，而每增加一元则减少销售枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚枚，现设每枚纪念章的销售价格为纪念章的销售价格为x(元元)返回(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润润y(元元)与每枚纪念章的销售价格与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式的函数关系式(并写出并写出这个函数的定义域这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店为多少元时，该特许专营店一年内利润一年内利润y(元元)最大，并求出这个最大值最
15、大，并求出这个最大值返回返回返回冲关锦囊冲关锦囊1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同， 可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出 来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别 是端点值是端点值2.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不 重不漏重不漏.返回返回(1)求每年砍伐面积的百分比；求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？到今年为止，该森林已
16、砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？今后最多还能砍伐多少年？返回返回返回返回巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)4(2012宜昌联考宜昌联考)某医药研究所开发的某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量的含药量y(微克微克)与时间与时间t(小时小时)之间近之间近似满足如图所示的曲线似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后写出第一次服药后y与与t之间的函数关系式之间的函数关系式yf(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于据进一步
17、测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？返回返回返回冲关锦囊冲关锦囊1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；可以利用指数函数模型来表示；2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模
18、型函数模型3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解通常利用指数运算与对数函数的性质求解返回返回答题模板（二）函数应用问题的答题流程答题模板（二）函数应用问题的答题流程返回考题范例考题范例(12分分)(2012天津质检天津质检)在扶贫活动中，为了尽快脱贫在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债无债务务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证
19、企业乙的全体职工每月最低生活费的开支的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转元后，逐步偿还转让费让费(不计息不计息)在甲提供的资料中有：在甲提供的资料中有：这种消费品的进价这种消费品的进价为每件为每件14元；元；该店月销量该店月销量Q(百件百件)与销售价格与销售价格P(元元)的关系的关系如图所示；如图所示；每月需各种开支每月需各种开支2 000元元返回(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？企业乙只依靠该店，最早
20、可望在几年后脱贫？返回返回返回返回(2)设可在设可在n年内脱贫，年内脱贫，依题意有依题意有12n45050 00058 0000，解得解得n20.即最早可望在即最早可望在20年后脱贫年后脱贫 (12分分)返回题后悟道题后悟道 解函数应用题的一般程序是：解函数应用题的一般程序是：第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量第一步：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；本题条件是价格提高，销量降低，支出固定，结关系；本题条件是价格提高，销量降低，支出固定，结论是求余额论是求余额返回第二步：建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知第二步：建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；本题是列出识建立相应的数学模型；本题是列出P与与L的函数关系的函数关系第三步：求模：求解数学模型，得到数学结论；求出第三步：求模：求解数学模型，得到数学结论；求出P的取值的取值第四步：还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问第四步：还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义本题是确定销售价格题的意义本题是确定销售价格返回点击此图进入点击此图进入
