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1、第第 7 章章 参参 数数 估估 计计 7.2 7.2 点估计的评价标准点估计的评价标准 对于同一个未知参数对于同一个未知参数, ,不同的方法得不同的方法得到的估计量可能不同到的估计量可能不同, ,于是提出问题于是提出问题应该选用哪一种估计量应该选用哪一种估计量? ?用何标准来评价一个估计量的好坏用何标准来评价一个估计量的好坏? ?常用常用标准标准(1) 无偏性无偏性(3) 相合性相合性(一致性一致性)(2) 有效性有效性7.27.2若若 则称则称是是 的无偏估计量的无偏估计量. . 无偏性无偏性无偏定义定义我们不可能要求每一次由样本得到的我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但
2、可以要求这些估估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等计值的期望与真值相等. .定义的合理性是总体是总体X 的样本的样本,证明证明: 不论不论 X 服从什么分布服从什么分布(但期望存在但期望存在),是是的无偏估计量的无偏估计量.证证例例1 1 设总体设总体X 的的 k 阶矩阶矩存在存在因而因而由于由于例1则特别地 样本二阶原点矩样本二阶原点矩 是总体是总体是总体期望是总体期望 E( X ) 的的样本均值样本均值无偏估计量；无偏估计量；的无偏的无偏二阶原点矩二阶原点矩估计量估计量.例例2 2 设总体设总体 X 的期望的期望 与方差存在与方差存在, X 的的样本为样本为 (n 1)
3、 . (1) 不是不是 D( X )的无偏估的无偏估量量; (2) 是是 D( X ) 的无偏估计量的无偏估计量. 证证前已证证明证明例2因而故 证毕.都是总体参数都是总体参数 的的无偏估计量无偏估计量, 且且则称则称 比比 更有效更有效.定义定义 设设有效性有效性有效例例3 3 设总体设总体 X，且，且 E( X )= , D( X )= 2 为总体为总体 X 的一个样本的一个样本证明证明是是 的无偏估计量；的无偏估计量；(2) 证明证明比比更有效更有效.证证 (1) 例6(1) 设常数设常数(2) 而而结论结论算术均值比加权均值更有效算术均值比加权均值更有效. .例如例如 X N( , 2
4、 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本是一样本.都是都是 的的无偏估计量无偏估计量由前例知由前例知最有效最有效.定义定义 设设 是总体参数是总体参数 则称则称是总体参数是总体参数 的相合的相合(一致一致)估计量估计量.的估计量的估计量. 若对于任意的若对于任意的 , 当当n 时时, 相合性相合性(一致性一致性)依概率收敛于依概率收敛于 , 即即一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.一致关于一致性的两个常用结论关于一致性的两个常用结论 1. 样本样本 k 阶矩是总体阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量阶矩的一致性估计量. 是是 的一致估计量的一致估计量.由大数定律证明由大数定律证明用切贝雪夫不用切贝雪夫不 等式证明等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下在一定条件下, 极大似然估计具有一致极大似然估计具有一致性性2. 设设 是是 的无偏估的无偏估计计 量量, 且且 , 则则例例4 4为常数证 是 的无偏、有效、一致估计量.例8
