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1、 1. 位置矢量的微分位置矢量的微分 用下面的符号表示某个矢量的微分用下面的符号表示某个矢量的微分: -位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度. -位置矢量的速度可以通过计算位置矢量的速度可以通过计算Q相对于坐标系相对于坐标系B的微分进的微分进行描述行描述. -速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左上标注明上标注明:第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.1 5.1 时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示 速
2、度矢量与空间某点相关，而描述此点速度的大小取决于两个坐标系：一个是进行微分运算的坐标系，另一个是描述这个速度矢量的坐标系. -微分运算的坐标系B，描述速度矢量的坐标系 B: 当两个上标相同时，不需要给出外层上标. -微分运算的坐标系A，描述速度矢量的坐标系 B: 用相对于参考坐标系的旋转矩阵表示.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.1 5.1 时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示自由矢量: 可能出现在空间任意位置但保持大小和方向不变的矢量. 速度、力和力矩矢量是自由矢量。 我们讨论的是一个坐标系原点相对于某个常见的世界参
3、考坐标系的速度，而不考虑相对于任意坐标系中一般点的速度，对于这种情况，定义一个缩写符号: 式中的点为坐标系 C的原点，参考坐标系为 U. 用 表示坐标系 C原点的速度， 是坐标系C的原点在坐标系A中表示的速度 (尽管微分是相对于坐标系 U进行的). 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.1 5.1 时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示 例子: U 是固定世界坐标系. T固连在速度为 100 mph的火车上.坐标系 C固连在速度为 30 mph的汽车上. 两车前进方向为 U的X方向。旋转矩阵 已知并且为常数. 第第第第5 5
4、章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.1 5.1 时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示 2. 角速度 线速度描述了点的一种属性，角速度描述了刚体的一种属性。坐标系总是固连在被描述的刚体上，所以可以用角速度来描述坐标系的旋转运动. 描述了坐标系 B相对于A的旋转. 的方向就是 B 相对于 A的瞬时旋转轴, 大小表示旋转速度. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.1 5.1 时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示 像任意矢量一样, 角速度矢量可以在任意坐标系中描述，所以
5、需要附加另一个左上标,例如 就是坐标系 B 相对于 A 的角速度在坐标系 C中的描述. 一种情况下的简化符号: 这里, 为坐标系 C 相对于某个已知参考坐标系 U的角速度. 例如, 是坐标系 C 的角速度在坐标系 A 中的描述(尽管这个角速度是相对于 U的). 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.1 5.1 时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示时变位姿的符号表示 1. 线速度 把坐标系 B 固连在一个刚体上，要求描述相对于坐标系 A 的运动 . 坐标系B 相对于A的位置矢量用 和旋转矩阵 来描述.假设方位 不随时间变化，则Q点相对于坐标系
6、A的运动是由于 或 随时间的变化引起的. 坐标系A 中的Q点的线速度: 适用于坐标系B和坐标系A的相对方位保持不变的情况.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.2 5.2 刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度 2. 角速度 考虑两坐标系重合，相对线速度为零的情况. 它们原点始终保持重合.坐标系 B相对于 A的方位随时间变化。B相对于A的旋转速度用矢量 来表示, 已知 是坐标系B中一个固定点的位置。 Question: 从坐标系 A看固定在坐标系 B中的矢量，这个矢量将如何随时间变化?这个系统是否转动？ 第第第第5
7、5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.2 5.2 刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度 假设从坐标系 B看矢量Q是不变的: . 从坐标系A中看点Q的速度为旋转角速度 . 的微分增量一定垂直于 和 . 微分增量的大小为: 矢量的大小和方向满足: 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.2 5.2 刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度 如果 Q 相对于 B是变化的: 利用旋转矩阵消掉双上标: 3. 线速度和角速度同时存在的情况 第第第第5 5章章章章:
8、:速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.2 5.2 刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度刚体的线速度和角速度 1. 正交矩阵的导数性质 对任何 的正交矩阵 R ，有: 求导，得到: 定义 , 由此有 . S 是一个反对称阵（skew-symmetric matrix）. 正交矩阵的微分与反对称阵之间存在如下特性: .第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.3 5.3 对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究 2. 由于参考系旋转的点速度 假定固定矢量 相对于坐标系 B是不变的. 如果坐标系
9、 B是 旋转的 ( 的微分非零), 也是变化的，即使 为常数。 引入 的表达式 : 利用正交矩阵的性质: 旋转矩阵通常称为角速度矩阵.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.3 5.3 对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究 3. 反对称阵和矢量积 如果反对称阵 S 的各元素如下: 容易证明: (P 是任意矢量). 定义 为角速度矢量. 因此，得到: 这里与 相关的的符号 表明该角速度矢量确定了坐标系 B 相对于 A运动.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.3 5.3 对角速度的进
10、一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究 4. 角速度矢量的物理概念 对旋转矩阵 直接求导: 把 写成两个矩阵的组合: 式中，在时间间隔 中, 绕轴 的微量旋转为 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.3 5.3 对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究 已知 于是有:第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.3 5.3 对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究 最后，用 除以这个矩阵，并取极限得: 于是有: 角速度矢量
11、 的物理意义是，在任一时刻，旋转坐标系方位的变化可以看作是绕着某个轴 的旋转。这个瞬时转动轴，可作为单位矢量，与绕这个轴的旋转速度标量 构成角速度矢量。第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.3 5.3 对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究对角速度的进一步研究 操作臂是一个链式结构，每一个连杆的运动都与它的相邻杆有关，由于这种结构的特点，我们可以由基坐标系依次计算各连杆的速度。连杆i+1的速度就是连杆i的速度加上那些附加到关节i+1上新的速度分量. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机
12、器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动 1. 角速度 连杆i+1的角速度等于连杆的角速度加上一个由于关节i+1的角速度引起的分量 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动 2. 线速度 坐标系 i+1原点的线速度等于坐标系 i原点的线速度加上一个 由于连杆i的角速度引起的新的分量. 在坐标系 i+1中: 对于转动关节: 对于移动关节:第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的
13、运动机器人连杆的运动 从一个连杆到下一个连杆依次应用这些公式，可以计算出最后一个连杆的角速度 和线速度 ，注意，这两个速度是按照坐标系N表达的。在后面可以看到。如果用基坐标来表达角速度和线速度的话，就可以用 去左乘速度，向基坐标进行旋转变换.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动 例子: 一个具有两个转动关节的操作臂.计算操作臂末端的速度，将它表达成关节速度的函数。给出两种形式的解答，一种是用坐标系3来表示的，另一种是用坐标系0来表示的。 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和
14、静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动 基坐标系的速度为零: Frame 13: 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.4 5.4 机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动机器人连杆的运动 1. 雅可比 Jacobian 假设6个函数，每个函数都有6个独立的变量： 计算 的微分关于 的微分的函数 :第第第第5 5章章章章: :速度和静
15、力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比矩阵雅可比矩阵雅可比矩阵雅可比矩阵 雅可比Jacobian: 偏导数矩阵就是雅可比矩阵, 这些偏导数都是 的函数 . 将上式两端同时除以时间微分，将雅可比矩阵看成是X中的速度向Y中速度的映射: . 在任一瞬时，X都有一个确定的值， 是一个线性变换。在每一个新时刻，如果X改变，线性变换也会随之而变。所以，雅可比是时变的线性变换.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 2. 在机器人中的 应用 在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来: 这里
16、 是操作臂关节角矢量， 是笛卡尔速度矢量. 给雅可比表达式附加上左上标，以此表示笛卡尔速度所参考的坐标系. 对于任意已知的操作臂位形，关节速度和操作臂末端的速度的关系是线性的，然而这种线性关系仅仅是瞬时的，因为在下一刻，雅可比矩阵就会有微小的变化.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 对于通常的6关节机器人，雅可比矩阵是 66阶的矩阵，61的笛卡尔速度矢量是由一个 31的线速度矢量和一个 31 的角速度矢量组合起来的： 雅可比矩阵的行数等于操作臂在笛卡尔空间的自由度数量，雅可比矩阵的列数等于操作臂的关节数量。第第第第5
17、5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 例子: 以两连杆操作臂为例, 写出该操作臂的雅可比矩阵，该矩阵将关节速度和末端执行器的速度联系起来。 We could also consider a 32 Jacobian that would include the angular velocity of the end-effector. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比
18、雅可比雅可比雅可比另一种雅可比矩阵的计算方法 另一种雅可比矩阵的计算方法，通过对操作臂的运动方程直接微分求雅克比矩阵： 这种方法可以直接求得线速度，但得不到 31的方位矢量，而这个矢量的导数就是 . 还有很多方法求雅可比矩阵.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 3. 奇异性 如果这个矩阵是非奇异的，那么一直笛卡尔速度的话，就可以对该矩阵求逆计算出关节的速度: 雅可比矩阵可逆性的性质: 雅可比矩阵对于所有的 值都是可逆的吗？如果不是，在什么位置不可逆? 大多数操作臂都有使得雅可比矩阵出现奇异的 值，这些位置就称为操作臂的
19、奇异位形或简称奇异状态。 所有的操作臂在工作空间的边界都存在奇异位形，并且大多数操作臂在它们的工作空间也有奇异位形. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 奇异位形大致分为两类: 1) 工作空间边界的奇异位形 出现在操作臂完全展开或者收回使得末端执行器处于或非常接近空间边界的情况. 2) 工作空间内部的奇异位形 出现在远离工作空间的边界，通常是由于两个或两个以上的关节轴线共线引起的. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 当一个操作臂处于奇异位形时
20、，它会失去一个或多个自由度。.在笛卡尔空间的某个方向上（或某个子空间中），无论选择什么样的关节速度都不能使机器人手臂运动.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 例子: 简单的两连杆操作臂，奇异位形在 什么位置?奇异位形的物理意义是什么? 它们是工作空间边界的奇异位形还是工作空间内部的奇异位形? 当 等于0 或者 180度时，操作臂处于奇异位形.当 , 操作臂完全展开，末端执行器仅可以沿着笛卡尔坐标的某个方向，因此，操作臂失去了一个自由度.当 , 操作臂完全收回，手臂只能沿着一个方向运动. 由于这类奇异位形处于操作臂工作空
21、间的边界上，因此称为工作空间边界的奇异位形.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 例子: 对于两自由度操作臂，末端执行器沿着 轴以的速度运动.当操作臂远离奇异位形时， 关节速度都在允许范围内。但是当 操作臂接近奇异位形，此时关节速度趋向于无穷大. 首先计算坐标系 0中雅可比矩阵的逆: 当末端执行器以 1m/s 的速度沿着 方向运动时，按照操作臂位形的函数计算出关节速度: 当操作臂伸展到接近 , 两个关节的速度趋向无穷大.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可
22、比雅可比 例子: 对于puma560，给出两个可能出现的奇异位形的位置. 当 接近于 -90 度，存在一个奇异位形.在这种情况下，连杆2和连杆3完全展开。这种情况属于工作空间边界的奇异位形. 只要 , 操作臂都会处于奇异位置.在这个位形，关节轴4和关节轴6成一直线，所以这两个关节轴的动作会使末端执行器产生相同的运动。由于这个奇异位形出现在工作空间内部，所以它属于工作空间内部的奇异位形。第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.5 5.5 雅可比雅可比雅可比雅可比 1. 作用在操作臂上的静力 考虑力和力矩如何从一个连杆向下一个连杆传递 考虑操作臂的自由末端在工作空
23、间推动某个物体.或者用操作臂举起某个负载的情况. 我们希望求出 保持系统静态平衡的关节扭矩. 首先锁定所有的关节已使操作臂的结构固定. 写出力和力矩对于各连杆坐标系的平衡关系. 最后，为了保持操作臂的静态平衡，计算出需要对各关节轴依次施加多大的静力矩. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 为相邻连杆所施加的力和力矩定义以下特殊符号： 连杆i-1施加在连杆i上的力 连杆i-1施加在连杆i上的力矩 将力相加并令其等于零: 将绕坐标系i原点的力矩相加： 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速
24、度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用出每一个连杆上的力和力矩: 为了按照定义在连杆本体坐标系中的力和力矩写出这些表达式，用坐标系i+1相对于坐标系i描述的旋转矩阵进行变换，得到连杆之间静力传递的表达式: 一个问题：为了平衡施加在连杆上的力和力矩，需要在关节上施加多大的力矩？第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 除了绕关节轴的力矩外，力和力矩矢量的
25、所有分量都可以由操作臂机构本身来平衡，为求出保持系统静平衡所需的关节力矩，应计算关节轴矢量和施加在连杆上的力矩矢量的点积: 对于关节是移动关节的情况，可以计算出关节驱动力为： 通常，将使关节角增大的旋转方向定义为关节力矩的正方向.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 例: 两连杆操作臂，在末端执行器施加作用力矢量 ，求出所需的关节力矩. Starting from the last link and going toward the base of the robot:第第第第5 5章章章
26、章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 Therefore: The relationship can be written as a matrix operator: It is not a coincidence that this matrix is the transpose of the Jacobian.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和
27、静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 2. 力域中的雅可比 在静态下，可知关节力矩完全与在手部上的力平衡。当力作用在机构上时，如果机构有一个位移，就做了功. 如果令位移无穷小，就可以用虚功来描述静止的情况. 第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 功是一个力或力矩矢量与位移矢量的点积.: 雅可比的定义为: 于是有: 雅可比矩阵的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效的关节力矩.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力 当雅可比矩阵不满秩时，存在某些特定方向，末端执行器在这些方向上不能施加期望的静力. 在某些方向上的增大或减小与所求的 值无关。这也意味着，在奇异位形附近，很小的关节力矩就可以在末端执行器产生很大的力.第第第第5 5章章章章: :速度和静力速度和静力速度和静力速度和静力 5.6 5.6 操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力操作臂上的静力
